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19. 已知关于 $ x $，$ y $ 的方程组 $\begin{cases}2x - 3y = -10, \\ax + by = 14\end{cases}$ 和方程组 $\begin{cases}3x + 2y = 11, \\ay - bx = 5\end{cases}$ 的解相同.
（1）求这两个方程组的解.
（2）求 $ 2a + b $ 的立方根.
（1）求这两个方程组的解.
（2）求 $ 2a + b $ 的立方根.
答案
19. (1) 由题意,得 $\begin{cases}2x-3y=-10, \\3x+2y=11,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x=1, \\y=4.\end{cases}$
(2) 将 $\begin{cases}x=1, \\y=4,\end{cases}$ 代入方程组,得 $\begin{cases}a+4b=14, \\4a-b=5.\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a=2, \\b=3.\end{cases}$ $\therefore 2a+b=2×2+3=7.\therefore 2a+b$ 的立方根为 $\sqrt[3]{7}.$
(2) 将 $\begin{cases}x=1, \\y=4,\end{cases}$ 代入方程组,得 $\begin{cases}a+4b=14, \\4a-b=5.\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a=2, \\b=3.\end{cases}$ $\therefore 2a+b=2×2+3=7.\therefore 2a+b$ 的立方根为 $\sqrt[3]{7}.$
20. 小明从家到学校的路程为 3.3 km，且从家到学校分别为一段上坡路、一段平路和一段下坡路.如果保持上坡路每小时走 3 km，平路每小时走 4 km，下坡路每小时走 5 km，那么小明从家到学校要用 1 h，从学校到家要用 44 min.求小明家到学校之间上坡路、平路、下坡路各是多少千米.
答案
20. 设小明家到学校之间上坡路是 $x$ km,平路是 $y$ km,下坡路是 $z$ km.
由题意,得 $\begin{cases} x+y+z=3.3, \\ \dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{4}+\dfrac{z}{5}=1, \\ \dfrac{z}{3}+\dfrac{y}{4}+\dfrac{x}{5}=\dfrac{44}{60}, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x=2.25, \\y=0.8, \\z=0.25.\end{cases}$
答:小明家到学校之间上坡路是 2.25 km,平路是 0.8 km,下坡路是 0.25 km.
由题意,得 $\begin{cases} x+y+z=3.3, \\ \dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{4}+\dfrac{z}{5}=1, \\ \dfrac{z}{3}+\dfrac{y}{4}+\dfrac{x}{5}=\dfrac{44}{60}, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x=2.25, \\y=0.8, \\z=0.25.\end{cases}$
答:小明家到学校之间上坡路是 2.25 km,平路是 0.8 km,下坡路是 0.25 km.
21. 阅读材料,解答问题:
材料:解方程组$\begin{cases}3(x+y)-(x-y)=2,\\5(x+y)+3(x-y)=8,\end{cases}$
可以设$x+y=a,x-y=b$,则原方程组可以变形为$\begin{cases}3a - b=2,\\5a + 3b=8,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=1,\\b=1,\end{cases}$即$\begin{cases}x+y=1,\\x-y=1,\end{cases}$再解这个方程组,得$\begin{cases}x=1,\\y=0.\end{cases}$这种解方程组的方法叫作换元法.
请用换元法解方程组:
$\begin{cases}3(x+y)-2(x-y)=1,\\(x+y)+(x-y)=7.\end{cases}$
材料:解方程组$\begin{cases}3(x+y)-(x-y)=2,\\5(x+y)+3(x-y)=8,\end{cases}$
可以设$x+y=a,x-y=b$,则原方程组可以变形为$\begin{cases}3a - b=2,\\5a + 3b=8,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=1,\\b=1,\end{cases}$即$\begin{cases}x+y=1,\\x-y=1,\end{cases}$再解这个方程组,得$\begin{cases}x=1,\\y=0.\end{cases}$这种解方程组的方法叫作换元法.
请用换元法解方程组:
$\begin{cases}3(x+y)-2(x-y)=1,\\(x+y)+(x-y)=7.\end{cases}$
答案
21. 设 $x+y=a,x-y=b$,则原方程组可以变形为 $\begin{cases}3a-2b=1, \\a+b=7,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a=3, \\b=4,\end{cases}$ 即 $\begin{cases}x+y=3, \\x-y=4,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x=\dfrac{7}{2}, \\y=-\dfrac{1}{2}.\end{cases}$
22. 为奖励优秀学生，某校准备购买一批文具袋和圆规作为奖品.已知购买1个文具袋和2个圆规需21元；购买2个文具袋和3个圆规需39元.
（1）求文具袋和圆规的售价.
（2）学校准备购买文具袋20个，圆规若干个，文具店给出两种优惠方案：
方案一:购买1个文具袋送1个圆规.
方案二:购买圆规10个以上时，超出10个的部分按原价打八折，文具袋不打折.
① 设购买圆规 $ m $ 个$(m≥ 20)$，则选择方案一的总费用为
② 若学校购买圆规100个，则选择哪种方案更合算？请说明理由.
（1）求文具袋和圆规的售价.
（2）学校准备购买文具袋20个，圆规若干个，文具店给出两种优惠方案：
方案一:购买1个文具袋送1个圆规.
方案二:购买圆规10个以上时，超出10个的部分按原价打八折，文具袋不打折.
① 设购买圆规 $ m $ 个$(m≥ 20)$，则选择方案一的总费用为
$3m+240$
元；选择方案二的总费用为$2.4m+306$
元.② 若学校购买圆规100个，则选择哪种方案更合算？请说明理由.
答案
22. (1) 设文具袋的售价为 $x$ 元/个,圆规的售价为 $y$ 元/个.由题意,得 $\begin{cases}x+2y=21, \\2x+3y=39,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x=15, \\y=3.\end{cases}$
答:文具袋的售价为 15 元/个,圆规的售价为 3 元/个.
(2) ① $3m+240$ $2.4m+306$ ② 选择方案一更合算.理由如下:当 $m=100$ 时,$3m+240=540$,$2.4m+306=546$.$\because 540＜546$,$\therefore$ 选择方案一更合算.
答:文具袋的售价为 15 元/个,圆规的售价为 3 元/个.
(2) ① $3m+240$ $2.4m+306$ ② 选择方案一更合算.理由如下:当 $m=100$ 时,$3m+240=540$,$2.4m+306=546$.$\because 540＜546$,$\therefore$ 选择方案一更合算.
