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11.计算:(1)$\sqrt{20}+\sqrt{5}(2+\sqrt{5})$；(2)$\sqrt{48}÷\sqrt{3}-\sqrt{\frac{1}{2}}×\sqrt{12}+\sqrt{24}$。
答案
11.解:(1)$\sqrt{20}+\sqrt{5}(2+\sqrt{5})=2\sqrt{5}+2\sqrt{5}+(\sqrt{5})^2=4\sqrt{5}+5$.
(2)$\sqrt{48}÷\sqrt{3}-\sqrt{\frac{1}{2}}×\sqrt{12}+\sqrt{24}=4-\sqrt{6}+2\sqrt{6}=4+\sqrt{6}$.
(2)$\sqrt{48}÷\sqrt{3}-\sqrt{\frac{1}{2}}×\sqrt{12}+\sqrt{24}=4-\sqrt{6}+2\sqrt{6}=4+\sqrt{6}$.
解析
【分析】
这两道题都是二次根式的混合运算，解题思路遵循整式混合运算的顺序：先乘除后加减，可结合运算律简化计算。
第(1)题：第一步先将$\sqrt{20}$化简为最简二次根式；第二步利用乘法分配律计算$\sqrt{5}(2+\sqrt{5})$，展开得到两项；第三步合并同类二次根式与常数项即可得到结果。
第(2)题：第一步先分别计算乘除部分，按照二次根式乘除法则，乘除运算中被开方数可先乘除再开方；第二步将所有根式化简为最简二次根式；第三步合并同类二次根式即可得到结果。
【解析】
(1) 先化简二次根式，再展开计算：
$\begin{aligned}\sqrt{20}+\sqrt{5}(2+\sqrt{5})&=2\sqrt{5}+\sqrt{5}×2+\sqrt{5}×\sqrt{5}\\&=2\sqrt{5}+2\sqrt{5}+(\sqrt{5})^2\\&=4\sqrt{5}+5\end{aligned}$
(2) 先计算乘除，再化简合并：
$\begin{aligned}\sqrt{48}÷\sqrt{3}-\sqrt{\frac{1}{2}}×\sqrt{12}+\sqrt{24}&=\sqrt{48÷3}-\sqrt{\frac{1}{2}×12}+2\sqrt{6}\\&=\sqrt{16}-\sqrt{6}+2\sqrt{6}\\&=4+\sqrt{6}\end{aligned}$
【答案】
(1)$4\sqrt{5}+5$；(2)$4+\sqrt{6}$
【知识点】
二次根式化简、二次根式乘除运算、二次根式加减运算
【点评】
本题属于二次根式基础运算题，核心是熟练掌握二次根式的化简方法和乘除运算法则，运算时注意遵循运算顺序，合并同类二次根式时仔细核对系数即可避免出错。
【难度系数】
0.8
这两道题都是二次根式的混合运算，解题思路遵循整式混合运算的顺序：先乘除后加减，可结合运算律简化计算。
第(1)题：第一步先将$\sqrt{20}$化简为最简二次根式；第二步利用乘法分配律计算$\sqrt{5}(2+\sqrt{5})$，展开得到两项；第三步合并同类二次根式与常数项即可得到结果。
第(2)题：第一步先分别计算乘除部分，按照二次根式乘除法则，乘除运算中被开方数可先乘除再开方；第二步将所有根式化简为最简二次根式；第三步合并同类二次根式即可得到结果。
【解析】
(1) 先化简二次根式，再展开计算：
$\begin{aligned}\sqrt{20}+\sqrt{5}(2+\sqrt{5})&=2\sqrt{5}+\sqrt{5}×2+\sqrt{5}×\sqrt{5}\\&=2\sqrt{5}+2\sqrt{5}+(\sqrt{5})^2\\&=4\sqrt{5}+5\end{aligned}$
(2) 先计算乘除，再化简合并：
$\begin{aligned}\sqrt{48}÷\sqrt{3}-\sqrt{\frac{1}{2}}×\sqrt{12}+\sqrt{24}&=\sqrt{48÷3}-\sqrt{\frac{1}{2}×12}+2\sqrt{6}\\&=\sqrt{16}-\sqrt{6}+2\sqrt{6}\\&=4+\sqrt{6}\end{aligned}$
【答案】
(1)$4\sqrt{5}+5$；(2)$4+\sqrt{6}$
【知识点】
二次根式化简、二次根式乘除运算、二次根式加减运算
【点评】
本题属于二次根式基础运算题，核心是熟练掌握二次根式的化简方法和乘除运算法则，运算时注意遵循运算顺序，合并同类二次根式时仔细核对系数即可避免出错。
【难度系数】
0.8
12. 已知 $y=\sqrt{2x-3}+\sqrt{3-2x}-4$，求 $x-y^2$ 的值.
答案
12.解:由题意,得$\begin{cases}2x-3≥0,\\3-2x≥0,\end{cases}$解得$x=\frac{3}{2}$.
当$x=\frac{3}{2}$时,$y=-4$,$\therefore x-y^2=\frac{3}{2}-(-4)^2=-\frac{29}{2}$.
当$x=\frac{3}{2}$时,$y=-4$,$\therefore x-y^2=\frac{3}{2}-(-4)^2=-\frac{29}{2}$.
解析
【分析】
要计算$x-y^2$的值，需先求出x、y的取值。观察y的表达式，其中包含两个二次根式，根据二次根式有意义的规则：被开方数必须为非负数，可得$2x-3$和$3-2x$均要大于等于0。注意到$3-2x$是$2x-3$的相反数，两个互为相反数的数同时非负，只能两者都等于0，据此可先求出x的值，再代入原式得到y的值，最后代入$x-y^2$计算即可。
【解析】
解：由二次根式有意义的条件，得：
$\begin{cases}2x-3≥0 \\ 3-2x≥0 \end{cases}$
解不等式$2x-3≥0$得$x≥\frac{3}{2}$，解不等式$3-2x≥0$得$x≤\frac{3}{2}$，因此不等式组的解为$x=\frac{3}{2}$。
将$x=\frac{3}{2}$代入$y=\sqrt{2x-3}+\sqrt{3-2x}-4$，得：
$y=\sqrt{0}+\sqrt{0}-4=-4$
把$x=\frac{3}{2}$、$y=-4$代入$x-y^2$计算：
$x-y^2=\frac{3}{2}-(-4)^2=\frac{3}{2}-16=-\frac{29}{2}$
【答案】
$-\frac{29}{2}$
【知识点】
二次根式有意义的条件；解一元一次不等式组；代数式求值
【点评】
本题属于二次根式性质的基础应用题型，解题核心是利用二次根式被开方数的非负性确定x的取值，解题时需注意平方运算的符号规则，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.7
要计算$x-y^2$的值，需先求出x、y的取值。观察y的表达式，其中包含两个二次根式，根据二次根式有意义的规则：被开方数必须为非负数，可得$2x-3$和$3-2x$均要大于等于0。注意到$3-2x$是$2x-3$的相反数，两个互为相反数的数同时非负，只能两者都等于0，据此可先求出x的值，再代入原式得到y的值，最后代入$x-y^2$计算即可。
【解析】
解：由二次根式有意义的条件，得：
$\begin{cases}2x-3≥0 \\ 3-2x≥0 \end{cases}$
解不等式$2x-3≥0$得$x≥\frac{3}{2}$，解不等式$3-2x≥0$得$x≤\frac{3}{2}$，因此不等式组的解为$x=\frac{3}{2}$。
将$x=\frac{3}{2}$代入$y=\sqrt{2x-3}+\sqrt{3-2x}-4$，得：
$y=\sqrt{0}+\sqrt{0}-4=-4$
把$x=\frac{3}{2}$、$y=-4$代入$x-y^2$计算：
$x-y^2=\frac{3}{2}-(-4)^2=\frac{3}{2}-16=-\frac{29}{2}$
【答案】
$-\frac{29}{2}$
【知识点】
二次根式有意义的条件；解一元一次不等式组；代数式求值
【点评】
本题属于二次根式性质的基础应用题型，解题核心是利用二次根式被开方数的非负性确定x的取值，解题时需注意平方运算的符号规则，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.7
13. 如图所示，在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中，$∠ ABC=90°$，$AB=4\ \mathrm{cm}$，$BC=3\ \mathrm{cm}$，$AD=12\ \mathrm{cm}$，$CD=13\ \mathrm{cm}$，判断$△ ACD$的形状，并说明理由.
答案
13.解:$△ ACD$是直角三角形.理由如下:
$\because△ ABC$是直角三角形,$∠ ABC=90°$,$AB=4\ \mathrm{cm}$,$BC=3\ \mathrm{cm}$,
$\therefore AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5(\mathrm{cm})$.
$\because AD=12\ \mathrm{cm}$,$CD=13\ \mathrm{cm}$,$\therefore5^2+12^2=13^2$.
$\therefore△ ACD$是直角三角形.
$\because△ ABC$是直角三角形,$∠ ABC=90°$,$AB=4\ \mathrm{cm}$,$BC=3\ \mathrm{cm}$,
$\therefore AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5(\mathrm{cm})$.
$\because AD=12\ \mathrm{cm}$,$CD=13\ \mathrm{cm}$,$\therefore5^2+12^2=13^2$.
$\therefore△ ACD$是直角三角形.
解析
【分析】
要判断△ACD的形状，我们可以利用勾股定理的逆定理：若三角形三边满足两条短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形。首先△ACD已知AD=12cm、CD=13cm，缺少边AC的长度，而AC是Rt△ABC的斜边，我们可以先在Rt△ABC中用勾股定理求出AC的长度，再验证△ACD的三边平方关系即可得出结论。
【解析】
△ACD是直角三角形，理由如下：
∵△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，AB=4cm，BC=3cm，
∴根据勾股定理，$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5(\mathrm{cm})$。
∵AD=12cm，CD=13cm，
∴$AC^2+AD^2=5^2+12^2=25+144=169$，$CD^2=13^2=169$，即$AC^2+AD^2=CD^2$，
∴根据勾股定理的逆定理，△ACD是直角三角形。
【答案】
△ACD是直角三角形
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理
【点评】
本题属于基础几何应用题，重点考查勾股定理和勾股定理逆定理的组合应用，解题的关键是先求出公共边AC的长度，再通过三边的平方关系判定三角形形状，熟练掌握两个定理的适用条件就能轻松解答。
【难度系数】
0.8
要判断△ACD的形状，我们可以利用勾股定理的逆定理：若三角形三边满足两条短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形。首先△ACD已知AD=12cm、CD=13cm，缺少边AC的长度，而AC是Rt△ABC的斜边，我们可以先在Rt△ABC中用勾股定理求出AC的长度，再验证△ACD的三边平方关系即可得出结论。
【解析】
△ACD是直角三角形，理由如下：
∵△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，AB=4cm，BC=3cm，
∴根据勾股定理，$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5(\mathrm{cm})$。
∵AD=12cm，CD=13cm，
∴$AC^2+AD^2=5^2+12^2=25+144=169$，$CD^2=13^2=169$，即$AC^2+AD^2=CD^2$，
∴根据勾股定理的逆定理，△ACD是直角三角形。
【答案】
△ACD是直角三角形
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理
【点评】
本题属于基础几何应用题，重点考查勾股定理和勾股定理逆定理的组合应用，解题的关键是先求出公共边AC的长度，再通过三边的平方关系判定三角形形状，熟练掌握两个定理的适用条件就能轻松解答。
【难度系数】
0.8
14.“以形助数”是指借助形的几何直观来阐明数之间的某种关系.如图所示,两个正方形的面积分别为27与3,则它们的边长之间的关系可以解释下列哪个等式（
A.$\sqrt{27}=3\sqrt{3}$
B.$\sqrt[3]{27}=3$
C.$3^3=27$
D.$3×9=27$
A
）A.$\sqrt{27}=3\sqrt{3}$
B.$\sqrt[3]{27}=3$
C.$3^3=27$
D.$3×9=27$
答案
14.A
解析
【分析】
解题思路：首先回忆正方形面积与边长的关系，正方形面积等于边长的平方，因此边长是对应面积的算术平方根，先分别求出两个正方形的边长；再结合图形判断大正方形和小正方形的边长倍数关系，最后匹配对应的等式，同时区分平方根和立方根的适用场景，排除不符合的选项即可。
【解析】
解：
∵正方形的面积=边长²，因此正方形的边长是其面积的算术平方根，
∴面积为27的正方形边长为$\sqrt{27}$，面积为3的正方形边长为$\sqrt{3}$。
结合图形可知大正方形的边长是小正方形边长的3倍，因此可得：
$\sqrt{27}=3\sqrt{3}$。
逐一分析剩余选项：
B选项$\sqrt[3]{27}=3$是求27的立方根，和本题正方形边长对应的算术平方根无关，排除；
C选项$3^3=27$是立方运算，不符合本题平方根的应用场景，排除；
D选项$3×9=27$是整数乘法，未体现边长对应的二次根式关系，排除。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
正方形面积计算，算术平方根，二次根式化简
【点评】
本题结合几何图形考查二次根式的相关知识，渗透了数形结合的数学思想，解题的关键是明确正方形边长与面积的对应关系，掌握二次根式的基本化简规则。
【难度系数】
0.8
解题思路：首先回忆正方形面积与边长的关系，正方形面积等于边长的平方，因此边长是对应面积的算术平方根，先分别求出两个正方形的边长；再结合图形判断大正方形和小正方形的边长倍数关系，最后匹配对应的等式，同时区分平方根和立方根的适用场景，排除不符合的选项即可。
【解析】
解：
∵正方形的面积=边长²，因此正方形的边长是其面积的算术平方根，
∴面积为27的正方形边长为$\sqrt{27}$，面积为3的正方形边长为$\sqrt{3}$。
结合图形可知大正方形的边长是小正方形边长的3倍，因此可得：
$\sqrt{27}=3\sqrt{3}$。
逐一分析剩余选项：
B选项$\sqrt[3]{27}=3$是求27的立方根，和本题正方形边长对应的算术平方根无关，排除；
C选项$3^3=27$是立方运算，不符合本题平方根的应用场景，排除；
D选项$3×9=27$是整数乘法，未体现边长对应的二次根式关系，排除。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
正方形面积计算，算术平方根，二次根式化简
【点评】
本题结合几何图形考查二次根式的相关知识，渗透了数形结合的数学思想，解题的关键是明确正方形边长与面积的对应关系，掌握二次根式的基本化简规则。
【难度系数】
0.8
15.有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图所示.如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，那么“生长”了2026次后形成的图形中所有正方形的面积和是
2 027
.答案
15.2 027
解析
【分析】
解题时首先结合勾股定理的几何意义分析“生长”的规律：直角三角形两条直角边对应正方形的面积和等于斜边对应正方形的面积。初始（生长0次）仅1个面积为1的大正方形；第一次生长新增的2个小正方形面积和为1，总面积变为2；第二次生长新增的4个小正方形面积和仍为1，总面积变为3，以此类推可得：每生长1次，所有正方形的总面积增加1，生长n次后总面积为n+1，代入n=2026即可求解。
【解析】
解：①初始状态（生长0次）：仅1个边长为1的大正方形，面积为$1×1=1$。
②根据勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，而正方形面积等于边长的平方，因此每次“生长”时，新长出的所有正方形的面积之和等于初始大正方形的面积1。
③推导规律：
生长1次后，总面积$=1+1=2$；
生长2次后，总面积$=2+1=3$；
……
生长$n$次后，所有正方形的面积和为$n+1$。
④代入计算：当$n=2026$时，总面积$=2026+1=2027$。
【答案】
2027
【知识点】
勾股定理，规律探究，正方形面积计算
【点评】
本题将勾股定理与图形变化规律结合，核心是理解勾股定理的几何意义，发现每次生长新增的正方形面积和恒为1的规律，考查数形结合思想和归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合勾股定理的几何意义分析“生长”的规律：直角三角形两条直角边对应正方形的面积和等于斜边对应正方形的面积。初始（生长0次）仅1个面积为1的大正方形；第一次生长新增的2个小正方形面积和为1，总面积变为2；第二次生长新增的4个小正方形面积和仍为1，总面积变为3，以此类推可得：每生长1次，所有正方形的总面积增加1，生长n次后总面积为n+1，代入n=2026即可求解。
【解析】
解：①初始状态（生长0次）：仅1个边长为1的大正方形，面积为$1×1=1$。
②根据勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，而正方形面积等于边长的平方，因此每次“生长”时，新长出的所有正方形的面积之和等于初始大正方形的面积1。
③推导规律：
生长1次后，总面积$=1+1=2$；
生长2次后，总面积$=2+1=3$；
……
生长$n$次后，所有正方形的面积和为$n+1$。
④代入计算：当$n=2026$时，总面积$=2026+1=2027$。
【答案】
2027
【知识点】
勾股定理，规律探究，正方形面积计算
【点评】
本题将勾股定理与图形变化规律结合，核心是理解勾股定理的几何意义，发现每次生长新增的正方形面积和恒为1的规律，考查数形结合思想和归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
