登录
16. 已知$a=\sqrt{3}-2$，$b=\sqrt{3}+2$，分别求下列代数式的值：
(1)$a^2b - ab^2$；
(2)$a^2 + ab + b^2$。
(1)$a^2b - ab^2$；
(2)$a^2 + ab + b^2$。
答案
16.解:(1)$\because a=\sqrt{3}-2$,$b=\sqrt{3}+2$,
$\therefore a^2b-ab^2=ab(a-b)=(\sqrt{3}-2)(\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-2-\sqrt{3}-2)=[(\sqrt{3})^2-2^2]·(-4)=(-1)·(-4)=4$.
(2)$\because a=\sqrt{3}-2$,$b=\sqrt{3}+2$,
$\therefore a^2+ab+b^2=(a+b)^2-ab=(\sqrt{3}-2+\sqrt{3}+2)^2-(\sqrt{3}-2)(\sqrt{3}+2)=(2\sqrt{3})^2-[(\sqrt{3})^2-2^2]=12+1=13$.
$\therefore a^2b-ab^2=ab(a-b)=(\sqrt{3}-2)(\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-2-\sqrt{3}-2)=[(\sqrt{3})^2-2^2]·(-4)=(-1)·(-4)=4$.
(2)$\because a=\sqrt{3}-2$,$b=\sqrt{3}+2$,
$\therefore a^2+ab+b^2=(a+b)^2-ab=(\sqrt{3}-2+\sqrt{3}+2)^2-(\sqrt{3}-2)(\sqrt{3}+2)=(2\sqrt{3})^2-[(\sqrt{3})^2-2^2]=12+1=13$.
解析
【分析】
本题若直接将a、b的值代入代数式计算，运算量较大且容易出错，因此优先考虑对代数式进行变形简化：(1)对于$a^2b - ab^2$，先提取公因式$ab$，变形为$ab(a-b)$，只需先计算$ab$和$a-b$的值再代入即可，其中$ab$符合平方差公式的结构，计算更简便；(2)对于$a^2 + ab + b^2$，结合完全平方公式变形为$(a+b)^2 - ab$，只需先计算$a+b$和$ab$的值再代入即可，大幅降低运算难度。
【解析】
(1) 先对原式因式分解：$a^2b - ab^2 = ab(a - b)$
已知$a=\sqrt{3}-2$，$b=\sqrt{3}+2$，代入得：
$ab=(\sqrt{3}-2)(\sqrt{3}+2)=(\sqrt{3})^2 - 2^2=3-4=-1$
$a-b=(\sqrt{3}-2)-(\sqrt{3}+2)=\sqrt{3}-2-\sqrt{3}-2=-4$
因此原式$=(-1)×(-4)=4$
(2) 利用完全平方公式变形原式：$a^2 + ab + b^2=(a+b)^2 - ab$
代入$a$、$b$的值计算：
$a+b=(\sqrt{3}-2)+(\sqrt{3}+2)=2\sqrt{3}$，则$(a+b)^2=(2\sqrt{3})^2=12$
$ab=-1$（同(1)计算结果）
因此原式$=12 - (-1)=13$
【答案】
(1) $\boxed{4}$；(2) $\boxed{13}$
【知识点】
因式分解，平方差公式，完全平方公式
【点评】
本题是代数式求值的典型题型，核心技巧是先通过因式分解、乘法公式对所求代数式进行合理变形，再代入数值计算，能有效简化运算过程，降低出错率，需要熟练掌握常见乘法公式和因式分解的方法。
【难度系数】
0.7
本题若直接将a、b的值代入代数式计算，运算量较大且容易出错，因此优先考虑对代数式进行变形简化：(1)对于$a^2b - ab^2$，先提取公因式$ab$，变形为$ab(a-b)$，只需先计算$ab$和$a-b$的值再代入即可，其中$ab$符合平方差公式的结构，计算更简便；(2)对于$a^2 + ab + b^2$，结合完全平方公式变形为$(a+b)^2 - ab$，只需先计算$a+b$和$ab$的值再代入即可，大幅降低运算难度。
【解析】
(1) 先对原式因式分解：$a^2b - ab^2 = ab(a - b)$
已知$a=\sqrt{3}-2$，$b=\sqrt{3}+2$，代入得：
$ab=(\sqrt{3}-2)(\sqrt{3}+2)=(\sqrt{3})^2 - 2^2=3-4=-1$
$a-b=(\sqrt{3}-2)-(\sqrt{3}+2)=\sqrt{3}-2-\sqrt{3}-2=-4$
因此原式$=(-1)×(-4)=4$
(2) 利用完全平方公式变形原式：$a^2 + ab + b^2=(a+b)^2 - ab$
代入$a$、$b$的值计算：
$a+b=(\sqrt{3}-2)+(\sqrt{3}+2)=2\sqrt{3}$，则$(a+b)^2=(2\sqrt{3})^2=12$
$ab=-1$（同(1)计算结果）
因此原式$=12 - (-1)=13$
【答案】
(1) $\boxed{4}$；(2) $\boxed{13}$
【知识点】
因式分解，平方差公式，完全平方公式
【点评】
本题是代数式求值的典型题型，核心技巧是先通过因式分解、乘法公式对所求代数式进行合理变形，再代入数值计算，能有效简化运算过程，降低出错率，需要熟练掌握常见乘法公式和因式分解的方法。
【难度系数】
0.7
17.《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位。在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地。送行二步与人齐，五尺人高曾记。仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉。良工高士素好奇，算出索长有几。”（注：1步＝5尺）译文：有一架秋千[如图(1)所示]，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺[水平距离，如图(2)所示]时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，问绳索有多长。请解答问题。
答案
17.解:设秋千的绳索长为$x$尺.根据题意,可列方程为$x^2=10^2+(x-4)^2$,解得$x=\frac{29}{2}$.$\therefore$秋千的绳索长为$\frac{29}{2}$尺.
解析
【分析】
解决这道题首先要把实际问题转化为直角三角形几何模型：秋千摆动过程中绳索长度始终不变，可作为直角三角形的斜边，水平推送的10尺是其中一条直角边，再求出竖直方向的另一条直角边长度即可用勾股定理列方程求解。我们先明确高度差：静止时踏板离地1尺，推送后踏板高5尺，说明踏板竖直升高了$5-1=4$尺，若设绳索长为$x$尺，那么绳索顶端到推送后踏板的竖直高度就是$x-4$尺，由此即可结合勾股定理建立方程。
【解析】
解：设秋千的绳索长为$x$尺。
根据题意，秋千推送后形成直角三角形：斜边长为绳索长$x$尺，水平直角边长为10尺，竖直直角边长为$(x-(5-1))=(x-4)$尺。
由勾股定理（直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方）可列方程：
$x^2=10^2+(x-4)^2$
展开得：$x^2=100+x^2-8x+16$
移项消去$x^2$后化简：$8x=116$
解得：$x=\frac{29}{2}$，结果符合实际意义。
【答案】
秋千的绳索长为$\frac{29}{2}$尺。
【知识点】
勾股定理；列方程解应用题；实际问题建模
【点评】
本题以中国古代数学名著中的经典问题为载体，将生活场景与数学知识相结合，既考查了勾股定理的实际应用，也锻炼了学生将实际问题转化为数学模型的能力，能让学生感受到数学的实用性和中国古代数学的智慧。
【难度系数】
0.65
解决这道题首先要把实际问题转化为直角三角形几何模型：秋千摆动过程中绳索长度始终不变，可作为直角三角形的斜边，水平推送的10尺是其中一条直角边，再求出竖直方向的另一条直角边长度即可用勾股定理列方程求解。我们先明确高度差：静止时踏板离地1尺，推送后踏板高5尺，说明踏板竖直升高了$5-1=4$尺，若设绳索长为$x$尺，那么绳索顶端到推送后踏板的竖直高度就是$x-4$尺，由此即可结合勾股定理建立方程。
【解析】
解：设秋千的绳索长为$x$尺。
根据题意，秋千推送后形成直角三角形：斜边长为绳索长$x$尺，水平直角边长为10尺，竖直直角边长为$(x-(5-1))=(x-4)$尺。
由勾股定理（直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方）可列方程：
$x^2=10^2+(x-4)^2$
展开得：$x^2=100+x^2-8x+16$
移项消去$x^2$后化简：$8x=116$
解得：$x=\frac{29}{2}$，结果符合实际意义。
【答案】
秋千的绳索长为$\frac{29}{2}$尺。
【知识点】
勾股定理；列方程解应用题；实际问题建模
【点评】
本题以中国古代数学名著中的经典问题为载体，将生活场景与数学知识相结合，既考查了勾股定理的实际应用，也锻炼了学生将实际问题转化为数学模型的能力，能让学生感受到数学的实用性和中国古代数学的智慧。
【难度系数】
0.65
18.综合探究
阅读下列材料，然后回答问题：
在进行类似于二次根式$\frac{2}{\sqrt{3}+1}$的运算时，通常有如下两种方法将其进一步化简：
方法一：$\frac{2}{\sqrt{3}+1}=\frac{2(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}=\frac{2(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3})^2 -1}=\sqrt{3}-1$
方法二：$\frac{2}{\sqrt{3}+1}=\frac{3-1}{\sqrt{3}+1}=\frac{(\sqrt{3})^2 -1}{\sqrt{3}+1}=\frac{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}{\sqrt{3}+1}=\sqrt{3}-1$
(1)请用两种不同的方法化简：$\frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$.
(2)化简：$\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{4}}+\frac{1}{$
$}+\dots+\frac{1}{\sqrt{2012}+\sqrt{2010}}$.
阅读下列材料，然后回答问题：
在进行类似于二次根式$\frac{2}{\sqrt{3}+1}$的运算时，通常有如下两种方法将其进一步化简：
方法一：$\frac{2}{\sqrt{3}+1}=\frac{2(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}=\frac{2(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3})^2 -1}=\sqrt{3}-1$
方法二：$\frac{2}{\sqrt{3}+1}=\frac{3-1}{\sqrt{3}+1}=\frac{(\sqrt{3})^2 -1}{\sqrt{3}+1}=\frac{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}{\sqrt{3}+1}=\sqrt{3}-1$
(1)请用两种不同的方法化简：$\frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$.
(2)化简：$\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{4}}+\frac{1}{$
$}+\dots+\frac{1}{\sqrt{2012}+\sqrt{2010}}$.答案
18.解:(1)方法一:$\frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=\frac{2(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})}=\frac{2(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{(\sqrt{5})^2-(\sqrt{3})^2}=\sqrt{5}-\sqrt{3}$.
方法二:$\frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=\frac{5-3}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=\frac{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=\sqrt{5}-\sqrt{3}$.
(2)$\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{8}+\sqrt{6}}+\dots+\frac{1}{\sqrt{2012}+\sqrt{2010}}$
$=\frac{1}{2}(\sqrt{4}-\sqrt{2}+\sqrt{6}-\sqrt{4}+\sqrt{8}-\sqrt{6}+\dots+\sqrt{2012}-\sqrt{2010})$
$=\frac{1}{2}(\sqrt{2012}-\sqrt{2})$
$=\sqrt{503}-\frac{\sqrt{2}}{2}$.
方法二:$\frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=\frac{5-3}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=\frac{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=\sqrt{5}-\sqrt{3}$.
(2)$\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{8}+\sqrt{6}}+\dots+\frac{1}{\sqrt{2012}+\sqrt{2010}}$
$=\frac{1}{2}(\sqrt{4}-\sqrt{2}+\sqrt{6}-\sqrt{4}+\sqrt{8}-\sqrt{6}+\dots+\sqrt{2012}-\sqrt{2010})$
$=\frac{1}{2}(\sqrt{2012}-\sqrt{2})$
$=\sqrt{503}-\frac{\sqrt{2}}{2}$.
解析
【分析】
第(1)问直接套用题目给出的两种化简方法即可：方法一利用平方差公式，给分子分母同乘分母的有理化因式$\sqrt{5}-\sqrt{3}$，消去分母中的根号；方法二将分子的2改写为$5-3$，转化为平方差形式后因式分解，再和分母约分即可。
第(2)问先观察每一项的结构，均和第(1)问的式子形式类似，先对每一项做分母有理化，可发现每一项化简后都是两个二次根式的差乘$\frac{1}{2}$的形式，展开所有项后中间的二次根式会两两抵消，仅剩首尾两项，合并计算即可得到结果。
【解析】
(1) 方法一：
$\frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=\frac{2(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})}=\frac{2(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{(\sqrt{5})^2-(\sqrt{3})^2}=\frac{2(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{2}=\sqrt{5}-\sqrt{3}$
方法二：
$\frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=\frac{5-3}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=\frac{(\sqrt{5})^2-(\sqrt{3})^2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=\frac{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=\sqrt{5}-\sqrt{3}$
(2) 对原式每一项先做分母有理化：
$\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{8}+\sqrt{6}}+\dots+\frac{1}{\sqrt{2012}+\sqrt{2010}}$
$=\frac{1}{2}(\sqrt{4}-\sqrt{2}+\sqrt{6}-\sqrt{4}+\sqrt{8}-\sqrt{6}+\dots+\sqrt{2012}-\sqrt{2010})$
中间项两两抵消后仅剩首尾两项：
$=\frac{1}{2}(\sqrt{2012}-\sqrt{2})$
化简得：
$=\frac{1}{2}×2\sqrt{503}-\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{503}-\frac{\sqrt{2}}{2}$
【答案】
(1) $\sqrt{5}-\sqrt{3}$；(2) $\sqrt{503}-\frac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
二次根式分母有理化，平方差公式，裂项相消计算
【点评】
本题重点考查二次根式的化简运算，需要熟练掌握分母有理化的两种常用方法，第二问需要先观察式子的共同特征，通过裂项抵消中间项简化计算，掌握这类规律可以有效降低二次根式多项求和的计算难度。
【难度系数】
0.6
第(1)问直接套用题目给出的两种化简方法即可：方法一利用平方差公式，给分子分母同乘分母的有理化因式$\sqrt{5}-\sqrt{3}$，消去分母中的根号；方法二将分子的2改写为$5-3$，转化为平方差形式后因式分解，再和分母约分即可。
第(2)问先观察每一项的结构，均和第(1)问的式子形式类似，先对每一项做分母有理化，可发现每一项化简后都是两个二次根式的差乘$\frac{1}{2}$的形式，展开所有项后中间的二次根式会两两抵消，仅剩首尾两项，合并计算即可得到结果。
【解析】
(1) 方法一：
$\frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=\frac{2(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})}=\frac{2(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{(\sqrt{5})^2-(\sqrt{3})^2}=\frac{2(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{2}=\sqrt{5}-\sqrt{3}$
方法二：
$\frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=\frac{5-3}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=\frac{(\sqrt{5})^2-(\sqrt{3})^2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=\frac{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=\sqrt{5}-\sqrt{3}$
(2) 对原式每一项先做分母有理化：
$\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{8}+\sqrt{6}}+\dots+\frac{1}{\sqrt{2012}+\sqrt{2010}}$
$=\frac{1}{2}(\sqrt{4}-\sqrt{2}+\sqrt{6}-\sqrt{4}+\sqrt{8}-\sqrt{6}+\dots+\sqrt{2012}-\sqrt{2010})$
中间项两两抵消后仅剩首尾两项：
$=\frac{1}{2}(\sqrt{2012}-\sqrt{2})$
化简得：
$=\frac{1}{2}×2\sqrt{503}-\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{503}-\frac{\sqrt{2}}{2}$
【答案】
(1) $\sqrt{5}-\sqrt{3}$；(2) $\sqrt{503}-\frac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
二次根式分母有理化，平方差公式，裂项相消计算
【点评】
本题重点考查二次根式的化简运算，需要熟练掌握分母有理化的两种常用方法，第二问需要先观察式子的共同特征，通过裂项抵消中间项简化计算，掌握这类规律可以有效降低二次根式多项求和的计算难度。
【难度系数】
0.6
