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1.若$\sqrt{x-3}$在实数范围内有意义，则$x$的取值范围是 （
A.$x＞0$
B.$x＞3$
C.$x≥0$
D.$x≥3$
D
）A.$x＞0$
B.$x＞3$
C.$x≥0$
D.$x≥3$
答案
1.D
解析
【分析】
要确定二次根式在实数范围内有意义时x的取值范围，首先回忆二次根式的相关性质：二次根式的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义。因此我们只需要让根号内的代数式x-3大于等于0，解出这个不等式的解集，再对应选项选出答案即可。
【解析】
解：根据二次根式在实数范围内有意义的条件，可得：
被开方数$x-3≥0$
解这个不等式，移项得$x≥3$
因此x的取值范围是$x≥3$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
二次根式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】
本题是基础常考题，核心考查二次根式的成立条件，只要牢记被开方数为非负数这一规则，结合简单的一元一次不等式求解就能快速得分。
【难度系数】
0.9
要确定二次根式在实数范围内有意义时x的取值范围，首先回忆二次根式的相关性质：二次根式的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义。因此我们只需要让根号内的代数式x-3大于等于0，解出这个不等式的解集，再对应选项选出答案即可。
【解析】
解：根据二次根式在实数范围内有意义的条件，可得：
被开方数$x-3≥0$
解这个不等式，移项得$x≥3$
因此x的取值范围是$x≥3$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
二次根式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】
本题是基础常考题，核心考查二次根式的成立条件，只要牢记被开方数为非负数这一规则，结合简单的一元一次不等式求解就能快速得分。
【难度系数】
0.9
2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（
A.$\sqrt{3}$
B.$\sqrt{0.5}$
C.$\sqrt{12}$
D.$\frac{1}{\sqrt{3}}$
A
）A.$\sqrt{3}$
B.$\sqrt{0.5}$
C.$\sqrt{12}$
D.$\frac{1}{\sqrt{3}}$
答案
2.A
解析
【分析】
解决这道题的核心是先牢记最简二次根式的两个判定标准：①被开方数的因数是整数，不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。解题时我们只需要对照这两个标准，逐一排查每个选项，排除不符合要求的选项即可得到正确答案。
【解析】
我们先明确最简二次根式的判定规则，再逐个分析选项：
1. 选项A：$\sqrt{3}$的被开方数是3，属于整数，且3不存在能开得尽方的因数，同时满足最简二次根式的两个条件，是最简二次根式。
2. 选项B：$\sqrt{0.5}=\sqrt{\frac{1}{2}}$，被开方数含有分母，不符合最简二次根式的要求，可化简为$\frac{\sqrt{2}}{2}$。
3. 选项C：$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}$，被开方数中含有能开得尽方的因数4，不符合要求，可化简为$2\sqrt{3}$。
4. 选项D：$\frac{1}{\sqrt{3}}$的分母含有根号，被开方数在分母位置，不符合要求，可化简为$\frac{\sqrt{3}}{3}$。
综上，只有选项A是最简二次根式。
【答案】
A
【知识点】
最简二次根式判定、二次根式化简
【点评】
本题属于基础概念类考题，主要考查对最简二次根式定义的掌握，只要准确记住判定的两个条件，逐一验证选项就能快速得出答案，不容易出错。
【难度系数】
0.8
解决这道题的核心是先牢记最简二次根式的两个判定标准：①被开方数的因数是整数，不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。解题时我们只需要对照这两个标准，逐一排查每个选项，排除不符合要求的选项即可得到正确答案。
【解析】
我们先明确最简二次根式的判定规则，再逐个分析选项：
1. 选项A：$\sqrt{3}$的被开方数是3，属于整数，且3不存在能开得尽方的因数，同时满足最简二次根式的两个条件，是最简二次根式。
2. 选项B：$\sqrt{0.5}=\sqrt{\frac{1}{2}}$，被开方数含有分母，不符合最简二次根式的要求，可化简为$\frac{\sqrt{2}}{2}$。
3. 选项C：$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}$，被开方数中含有能开得尽方的因数4，不符合要求，可化简为$2\sqrt{3}$。
4. 选项D：$\frac{1}{\sqrt{3}}$的分母含有根号，被开方数在分母位置，不符合要求，可化简为$\frac{\sqrt{3}}{3}$。
综上，只有选项A是最简二次根式。
【答案】
A
【知识点】
最简二次根式判定、二次根式化简
【点评】
本题属于基础概念类考题，主要考查对最简二次根式定义的掌握，只要准确记住判定的两个条件，逐一验证选项就能快速得出答案，不容易出错。
【难度系数】
0.8
3. 下列各组数中,能构成直角三角形的是 （
A.4,5,6
B.1,1,$\sqrt{2}$
C.6,8,11
D.5,12,2
B
）A.4,5,6
B.1,1,$\sqrt{2}$
C.6,8,11
D.5,12,2
答案
3.B
解析
【分析】
本题考查直角三角形的判定，解题核心是运用勾股定理的逆定理。思考步骤如下：1. 先对每组三个数按大小排序，找到最长边；2. 先验证三个数是否满足三角形三边关系（任意两边之和大于第三边），不满足的直接排除；3. 计算两个较短边的平方和，再计算最长边的平方，若二者相等，则该组数能构成直角三角形。
【解析】
根据勾股定理的逆定理：若三角形三边长$a,b,c$（$c$为最长边）满足$a^2+b^2=c^2$，则该三角形为直角三角形，结合三角形三边关系逐一验证选项：
A. 三边长为4,5,6，最长边为6。$4^2+5^2=16+25=41$，$6^2=36$，$41≠36$，不能构成直角三角形；
B. 三边长为1,1,$\sqrt{2}$，最长边为$\sqrt{2}$。$1^2+1^2=1+1=2$，$(\sqrt{2})^2=2$，满足$1^2+1^2=(\sqrt{2})^2$，且$1+1＞\sqrt{2}$符合三边关系，能构成直角三角形；
C. 三边长为6,8,11，最长边为11。$6^2+8^2=36+64=100$，$11^2=121$，$100≠121$，不能构成直角三角形；
D. 三边长为5,12,2，$2+5=7＜12$，不满足三角形三边关系，无法构成三角形。
综上，只有B选项符合要求。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理的逆定理；三角形三边关系
【点评】
本题是勾股定理逆定理的基础应用题型，解题时需注意先确认三边能构成三角形，再验证平方和的关系，避免忽略三边关系直接计算导致错误。
【难度系数】
0.8
本题考查直角三角形的判定，解题核心是运用勾股定理的逆定理。思考步骤如下：1. 先对每组三个数按大小排序，找到最长边；2. 先验证三个数是否满足三角形三边关系（任意两边之和大于第三边），不满足的直接排除；3. 计算两个较短边的平方和，再计算最长边的平方，若二者相等，则该组数能构成直角三角形。
【解析】
根据勾股定理的逆定理：若三角形三边长$a,b,c$（$c$为最长边）满足$a^2+b^2=c^2$，则该三角形为直角三角形，结合三角形三边关系逐一验证选项：
A. 三边长为4,5,6，最长边为6。$4^2+5^2=16+25=41$，$6^2=36$，$41≠36$，不能构成直角三角形；
B. 三边长为1,1,$\sqrt{2}$，最长边为$\sqrt{2}$。$1^2+1^2=1+1=2$，$(\sqrt{2})^2=2$，满足$1^2+1^2=(\sqrt{2})^2$，且$1+1＞\sqrt{2}$符合三边关系，能构成直角三角形；
C. 三边长为6,8,11，最长边为11。$6^2+8^2=36+64=100$，$11^2=121$，$100≠121$，不能构成直角三角形；
D. 三边长为5,12,2，$2+5=7＜12$，不满足三角形三边关系，无法构成三角形。
综上，只有B选项符合要求。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理的逆定理；三角形三边关系
【点评】
本题是勾股定理逆定理的基础应用题型，解题时需注意先确认三边能构成三角形，再验证平方和的关系，避免忽略三边关系直接计算导致错误。
【难度系数】
0.8
4. 在平面直角坐标系中，已知点P的坐标是(3,4)，则OP的长为 （
A.3
B.4
C.5
D.$\sqrt{7}$
C
）A.3
B.4
C.5
D.$\sqrt{7}$
答案
4.C
解析
【分析】
要计算原点O到点P的线段长度，首先明确平面直角坐标系中点的坐标的几何意义：点的横坐标绝对值是该点到y轴的距离，纵坐标绝对值是该点到x轴的距离。我们可以过点P向x轴作垂线，此时OP、点P到x轴的垂线段、x轴上从原点到垂足的线段刚好构成直角三角形，OP为直角三角形的斜边，两条直角边长度分别对应点P的横、纵坐标数值，再用勾股定理即可算出OP的长度。
【解析】
解：
∵平面直角坐标系的原点O坐标为(0,0)，点P的坐标为(3,4)，
过点P作PA⊥x轴于点A，可得OA=3，PA=4，△OPA为直角三角形。
根据勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，
∴$OP^2 = OA^2 + PA^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$，
∵线段长度为正数，
∴$OP=\sqrt{25}=5$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；平面直角坐标系坐标意义
【点评】
本题是基础应用类题目，只要掌握点的坐标和对应线段长度的转换关系，结合勾股定理就能快速得出结果。
【难度系数】
0.9
要计算原点O到点P的线段长度，首先明确平面直角坐标系中点的坐标的几何意义：点的横坐标绝对值是该点到y轴的距离，纵坐标绝对值是该点到x轴的距离。我们可以过点P向x轴作垂线，此时OP、点P到x轴的垂线段、x轴上从原点到垂足的线段刚好构成直角三角形，OP为直角三角形的斜边，两条直角边长度分别对应点P的横、纵坐标数值，再用勾股定理即可算出OP的长度。
【解析】
解：
∵平面直角坐标系的原点O坐标为(0,0)，点P的坐标为(3,4)，
过点P作PA⊥x轴于点A，可得OA=3，PA=4，△OPA为直角三角形。
根据勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，
∴$OP^2 = OA^2 + PA^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$，
∵线段长度为正数，
∴$OP=\sqrt{25}=5$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；平面直角坐标系坐标意义
【点评】
本题是基础应用类题目，只要掌握点的坐标和对应线段长度的转换关系，结合勾股定理就能快速得出结果。
【难度系数】
0.9
5. 如果最简二次根式$\sqrt{3a-8}$与$\sqrt{17-2a}$能够合并，那么$a$的值为 （
A.2
B.3
C.4
D.5
D
）A.2
B.3
C.4
D.5
答案
5.D
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确核心性质：能够合并的最简二次根式属于同类二次根式，它们的被开方数完全相等；同时二次根式要有意义，被开方数必须是非负数。解题思路为：第一步根据同类二次根式的性质列等式，第二步解方程求出a的候选值，第三步检验候选值能否让两个二次根式都有意义，最终确定a的取值。
【解析】
∵ 最简二次根式$\sqrt{3a-8}$与$\sqrt{17-2a}$能够合并
∴ 二者的被开方数相等，可列方程：
$3a-8=17-2a$
移项得：$3a+2a=17+8$
合并同类项得：$5a=25$
系数化为1得：$a=5$
检验：当$a=5$时，$3a-8=3×5-8=7≥0$，$17-2a=17-2×5=7≥0$，两个二次根式均有意义，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
同类二次根式，二次根式有意义的条件，一元一次方程解法
【点评】
本题是基础概念应用题，解题关键是牢记可合并的最简二次根式被开方数相同的性质，求解后注意验证二次根式的被开方数非负，避免出现无意义的错误结果。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先要明确核心性质：能够合并的最简二次根式属于同类二次根式，它们的被开方数完全相等；同时二次根式要有意义，被开方数必须是非负数。解题思路为：第一步根据同类二次根式的性质列等式，第二步解方程求出a的候选值，第三步检验候选值能否让两个二次根式都有意义，最终确定a的取值。
【解析】
∵ 最简二次根式$\sqrt{3a-8}$与$\sqrt{17-2a}$能够合并
∴ 二者的被开方数相等，可列方程：
$3a-8=17-2a$
移项得：$3a+2a=17+8$
合并同类项得：$5a=25$
系数化为1得：$a=5$
检验：当$a=5$时，$3a-8=3×5-8=7≥0$，$17-2a=17-2×5=7≥0$，两个二次根式均有意义，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
同类二次根式，二次根式有意义的条件，一元一次方程解法
【点评】
本题是基础概念应用题，解题关键是牢记可合并的最简二次根式被开方数相同的性质，求解后注意验证二次根式的被开方数非负，避免出现无意义的错误结果。
【难度系数】
0.8
6. 如图所示，一棵大树在一次强台风中距地面 5 m 处折断，倒下后树顶端着地点 A 距树底端 B 的距离为 12 m，这棵大树在折断前的高度为 （
A.10 m
B.15 m
C.18 m
D.20 m
C
）A.10 m
B.15 m
C.18 m
D.20 m
答案
6.C
解析
【分析】
这道题可以将实际场景转化为直角三角形的数学模型求解：未折断的树干、地面AB、折断的树干部分刚好构成直角三角形，其中未折断的树干长5m、地面AB长12m，二者是直角三角形的两条直角边，折断的树干为斜边。我们先通过勾股定理求出折断部分的长度，再加上未折断的5m，就能得到大树折断前的总高度。
【解析】
解：设折断点为C，由题意得△ABC为直角三角形，∠B=90°，BC=5m，AB=12m。
根据勾股定理，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，可得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13(m)$
大树折断前的高度为折断部分长度加未折断部分长度：$13+5=18(m)$
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；实际问题应用
【点评】
本题是勾股定理在生活中的典型应用，解题的核心是将实际问题转化为直角三角形的数学问题，计算时要注意所求为大树原高度，不要遗漏未折断部分的长度。
【难度系数】
0.7
这道题可以将实际场景转化为直角三角形的数学模型求解：未折断的树干、地面AB、折断的树干部分刚好构成直角三角形，其中未折断的树干长5m、地面AB长12m，二者是直角三角形的两条直角边，折断的树干为斜边。我们先通过勾股定理求出折断部分的长度，再加上未折断的5m，就能得到大树折断前的总高度。
【解析】
解：设折断点为C，由题意得△ABC为直角三角形，∠B=90°，BC=5m，AB=12m。
根据勾股定理，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，可得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13(m)$
大树折断前的高度为折断部分长度加未折断部分长度：$13+5=18(m)$
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；实际问题应用
【点评】
本题是勾股定理在生活中的典型应用，解题的核心是将实际问题转化为直角三角形的数学问题，计算时要注意所求为大树原高度，不要遗漏未折断部分的长度。
【难度系数】
0.7
7. 能使等式$\sqrt{\dfrac{x}{x-2}}=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x-2}}$成立的$x$的取值范围是（
A.$x≠2$
B.$x≥0$
C.$x＞2$
D.$x≥2$
C
）A.$x≠2$
B.$x≥0$
C.$x＞2$
D.$x≥2$
答案
7.C
解析
【分析】
要确定等式成立的x的取值范围，需依据二次根式除法法则的成立条件：$\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$只有当$a≥0$且$b＞0$时才成立，因为二次根式的被开方数必须是非负数，同时分母不能为0。我们只需将等式中的对应部分代入条件，列出不等式组求解，再取解集的公共部分即可得到x的取值范围。
【解析】
根据二次根式的除法运算性质：$\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$成立的条件为$\begin{cases}a≥0\\b＞0\end{cases}$，
结合题目中的等式，可得：
$\begin{cases}x≥0\\x-2＞0\end{cases}$
解不等式$x-2＞0$，得$x＞2$，
两个不等式的公共解集为$x＞2$，因此符合条件的x的取值范围是$x＞2$。
【答案】
C
【知识点】
二次根式有意义的条件；分式有意义的条件；二次根式除法性质
【点评】
本题是二次根式性质应用的基础题型，易错点是容易忽略分母的二次根式不能为0，误选$x≥2$的选项，解题时需同时兼顾被开方数非负、分母不为0两个限制条件。
【难度系数】
0.7
要确定等式成立的x的取值范围，需依据二次根式除法法则的成立条件：$\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$只有当$a≥0$且$b＞0$时才成立，因为二次根式的被开方数必须是非负数，同时分母不能为0。我们只需将等式中的对应部分代入条件，列出不等式组求解，再取解集的公共部分即可得到x的取值范围。
【解析】
根据二次根式的除法运算性质：$\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$成立的条件为$\begin{cases}a≥0\\b＞0\end{cases}$，
结合题目中的等式，可得：
$\begin{cases}x≥0\\x-2＞0\end{cases}$
解不等式$x-2＞0$，得$x＞2$，
两个不等式的公共解集为$x＞2$，因此符合条件的x的取值范围是$x＞2$。
【答案】
C
【知识点】
二次根式有意义的条件；分式有意义的条件；二次根式除法性质
【点评】
本题是二次根式性质应用的基础题型，易错点是容易忽略分母的二次根式不能为0，误选$x≥2$的选项，解题时需同时兼顾被开方数非负、分母不为0两个限制条件。
【难度系数】
0.7
8.计算：$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=$
$\frac{\sqrt{6}}{3}$
.答案
8.$\frac{\sqrt{6}}{3}$
解析
【分析】
本题考查二次根式的化简，解题核心是掌握分母有理化的方法：当分母是单个二次根式时，给分子、分母同时乘分母中的二次根式，即可消去分母中的根号，最终将结果化为最简二次根式。第一步先确定分母为$\sqrt{3}$，第二步给分子分母同时乘$\sqrt{3}$，第三步分别计算分子、分母的运算结果，得到最简形式即可。
【解析】
要对$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$进行化简，需进行分母有理化：
给分子、分母同时乘$\sqrt{3}$，可得：
$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}×\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}$
根据二次根式的乘法法则$\sqrt{a}×\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$，分子计算为$\sqrt{2×3}=\sqrt{6}$，分母计算为$\sqrt{3×3}=\sqrt{9}=3$，因此化简结果为$\frac{\sqrt{6}}{3}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{6}}{3}$
【知识点】
分母有理化、二次根式乘法运算
【点评】
本题属于二次根式化简的基础题型，核心是掌握分母有理化的操作规则，运算时要注意分子和分母需同时乘同一个非零数，保证原式的值不变，最终结果要化为最简二次根式。
【难度系数】
0.9
本题考查二次根式的化简，解题核心是掌握分母有理化的方法：当分母是单个二次根式时，给分子、分母同时乘分母中的二次根式，即可消去分母中的根号，最终将结果化为最简二次根式。第一步先确定分母为$\sqrt{3}$，第二步给分子分母同时乘$\sqrt{3}$，第三步分别计算分子、分母的运算结果，得到最简形式即可。
【解析】
要对$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$进行化简，需进行分母有理化：
给分子、分母同时乘$\sqrt{3}$，可得：
$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}×\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}$
根据二次根式的乘法法则$\sqrt{a}×\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$，分子计算为$\sqrt{2×3}=\sqrt{6}$，分母计算为$\sqrt{3×3}=\sqrt{9}=3$，因此化简结果为$\frac{\sqrt{6}}{3}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{6}}{3}$
【知识点】
分母有理化、二次根式乘法运算
【点评】
本题属于二次根式化简的基础题型，核心是掌握分母有理化的操作规则，运算时要注意分子和分母需同时乘同一个非零数，保证原式的值不变，最终结果要化为最简二次根式。
【难度系数】
0.9
9.如图所示,有一个圆柱形物体,一只蚂蚁要绕着圆柱外壁从A点爬到B点,圆周率π取3,则蚂蚁爬行的最短路径长为
$6\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
.答案
9.$6\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
解析
【分析】
要求蚂蚁绕圆柱外壁从A到B的最短路径，需将立体图形上的路径问题转化为平面图形的线段距离问题，思路如下：1. 把圆柱侧面沿过A点的母线展开为长方形，将立体问题转化为平面问题；2. 确定展开后A、B两点对应的水平、竖直距离；3. 利用“两点之间线段最短”的原理，结合勾股定理计算两点连线的长度，即为最短路径。
【解析】
将圆柱侧面沿过A点的母线展开得到长方形：
1. 计算底面半周长：已知圆柱底面直径为4cm，π取3，底面半周长为$\frac{1}{2}×π×4=\frac{1}{2}×3×4=6\ \mathrm{cm}$，即展开后A、B两点的水平距离为6cm；
2. 展开后A、B两点的竖直距离等于圆柱的高，为6cm；
3. 最短路径为直角三角形的斜边，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{6^2+6^2}=\sqrt{72}=6\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
【答案】
$6\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
圆柱侧面展开；勾股定理；最短路径求解
【点评】
本题是立体图形最短路径的典型题型，解题核心是将立体图形转化为平面图形，结合两点之间线段最短的原理，用勾股定理计算长度，解题时要注意展开后的水平距离是底面半周长，避免误用整周长计算。
【难度系数】
0.6
要求蚂蚁绕圆柱外壁从A到B的最短路径，需将立体图形上的路径问题转化为平面图形的线段距离问题，思路如下：1. 把圆柱侧面沿过A点的母线展开为长方形，将立体问题转化为平面问题；2. 确定展开后A、B两点对应的水平、竖直距离；3. 利用“两点之间线段最短”的原理，结合勾股定理计算两点连线的长度，即为最短路径。
【解析】
将圆柱侧面沿过A点的母线展开得到长方形：
1. 计算底面半周长：已知圆柱底面直径为4cm，π取3，底面半周长为$\frac{1}{2}×π×4=\frac{1}{2}×3×4=6\ \mathrm{cm}$，即展开后A、B两点的水平距离为6cm；
2. 展开后A、B两点的竖直距离等于圆柱的高，为6cm；
3. 最短路径为直角三角形的斜边，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{6^2+6^2}=\sqrt{72}=6\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
【答案】
$6\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
圆柱侧面展开；勾股定理；最短路径求解
【点评】
本题是立体图形最短路径的典型题型，解题核心是将立体图形转化为平面图形，结合两点之间线段最短的原理，用勾股定理计算长度，解题时要注意展开后的水平距离是底面半周长，避免误用整周长计算。
【难度系数】
0.6
10.如图所示，点B到数轴的距离为1，AB=AC，则数轴上点C所表示的数为
$-1+\sqrt{5}$
.答案
10.$-1+\sqrt{5}$
解析
【分析】
解题时首先观察图形，明确AB是直角三角形的斜边，要得到点C表示的数，需先求出AC的长度：1. 先根据数轴刻度确定点A表示的数为-1，点B在数轴上的垂足表示的数为1，算出水平直角边的长度；2. 结合点B到数轴的距离为1，用勾股定理求出AB的长度；3. 利用AB=AC得到AC的长度，再结合点A的位置，即可求出点C表示的数。
【解析】
由数轴可得，点A表示的数是-1，点B向数轴作垂线的垂足对应的数是1，因此水平方向直角边的长度为：$1 - (-1) = 2$。
已知点B到数轴的距离为1，即垂直方向直角边长度为1，根据勾股定理，斜边$AB = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$。
因为$AB = AC$，所以$AC = \sqrt{5}$。
点C在点A的右侧，因此点C表示的数为点A表示的数加上AC的长度，即$-1 + \sqrt{5}$。
【答案】
$\boldsymbol{-1+\sqrt{5}}$
【知识点】
勾股定理，数轴与实数，等量代换
【点评】
本题是勾股定理和数轴知识的基础综合应用，解题的核心是先通过勾股定理求出AB的长度，再结合数轴上点的位置特征计算对应数值，能很好地考察数形结合的能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察图形，明确AB是直角三角形的斜边，要得到点C表示的数，需先求出AC的长度：1. 先根据数轴刻度确定点A表示的数为-1，点B在数轴上的垂足表示的数为1，算出水平直角边的长度；2. 结合点B到数轴的距离为1，用勾股定理求出AB的长度；3. 利用AB=AC得到AC的长度，再结合点A的位置，即可求出点C表示的数。
【解析】
由数轴可得，点A表示的数是-1，点B向数轴作垂线的垂足对应的数是1，因此水平方向直角边的长度为：$1 - (-1) = 2$。
已知点B到数轴的距离为1，即垂直方向直角边长度为1，根据勾股定理，斜边$AB = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$。
因为$AB = AC$，所以$AC = \sqrt{5}$。
点C在点A的右侧，因此点C表示的数为点A表示的数加上AC的长度，即$-1 + \sqrt{5}$。
【答案】
$\boldsymbol{-1+\sqrt{5}}$
【知识点】
勾股定理，数轴与实数，等量代换
【点评】
本题是勾股定理和数轴知识的基础综合应用，解题的核心是先通过勾股定理求出AB的长度，再结合数轴上点的位置特征计算对应数值，能很好地考察数形结合的能力。
【难度系数】
0.7
