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9. [2026 合肥期末]如图,在$△ ABC$中,BM、CM 分别平分$∠ ABC$和$∠ ACB$,连接 AM,已知$∠ MBC=25°$,$∠ MCA=30°$,则$∠ MAB$的度数为 (
A.$25°$
B.$30°$
C.$35°$
D.$40°$
C
)A.$25°$
B.$30°$
C.$35°$
D.$40°$
答案
C
解析
【分析】
首先我们知道三角形的三条角平分线交于同一点，已知BM平分∠ABC、CM平分∠ACB，可推出AM是∠BAC的角平分线，因此要求∠MAB，只需先求出∠BAC的度数再取其一半即可。解题步骤如下：第一步根据角平分线的定义，由已知的∠MBC、∠MCA分别求出∠ABC和∠ACB的度数；第二步利用三角形内角和为180°算出∠BAC的度数；第三步结合AM是角平分线的性质，求出∠MAB的度数。
【解析】
∵ BM平分∠ABC，∠MBC=25°
∴ ∠ABC=2∠MBC=2×25°=50°
∵ CM平分∠ACB，∠MCA=30°
∴ ∠ACB=2∠MCA=2×30°=60°
在△ABC中，根据三角形内角和定理得：
∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-50°-60°=70°
又
∵ 三角形的三条角平分线交于一点，BM、CM分别是∠ABC、∠ACB的角平分线
∴ AM平分∠BAC
∴ ∠MAB=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×70°=35°
【答案】
C
【知识点】
角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形角平分线性质
【点评】
本题属于基础题型，核心考查角平分线相关性质和三角形内角和定理的应用，解题的关键是推导得出AM为∠BAC的角平分线，此类题型是三角形性质部分的常考类型。
【难度系数】
0.7
首先我们知道三角形的三条角平分线交于同一点，已知BM平分∠ABC、CM平分∠ACB，可推出AM是∠BAC的角平分线，因此要求∠MAB，只需先求出∠BAC的度数再取其一半即可。解题步骤如下：第一步根据角平分线的定义，由已知的∠MBC、∠MCA分别求出∠ABC和∠ACB的度数；第二步利用三角形内角和为180°算出∠BAC的度数；第三步结合AM是角平分线的性质，求出∠MAB的度数。
【解析】
∵ BM平分∠ABC，∠MBC=25°
∴ ∠ABC=2∠MBC=2×25°=50°
∵ CM平分∠ACB，∠MCA=30°
∴ ∠ACB=2∠MCA=2×30°=60°
在△ABC中，根据三角形内角和定理得：
∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-50°-60°=70°
又
∵ 三角形的三条角平分线交于一点，BM、CM分别是∠ABC、∠ACB的角平分线
∴ AM平分∠BAC
∴ ∠MAB=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×70°=35°
【答案】
C
【知识点】
角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形角平分线性质
【点评】
本题属于基础题型，核心考查角平分线相关性质和三角形内角和定理的应用，解题的关键是推导得出AM为∠BAC的角平分线，此类题型是三角形性质部分的常考类型。
【难度系数】
0.7
10. 应用意识 将两张三角形纸片按如图所示摆放，量得$∠1+∠2+∠3+∠4=220°$，则$∠5$的度数为（
A.$30°$
B.$40°$
C.$45°$
D.$50°$
B
）A.$30°$
B.$40°$
C.$45°$
D.$50°$
答案
B
解析
【分析】
解题需结合三角形内角和定理与对顶角性质推导：首先，∠1、∠2属于同一个三角形，∠3、∠4属于另一个三角形，可先根据两个三角形的内角总和，减去已知的∠1+∠2+∠3+∠4的度数，得到剩下两个内角的和；再利用对顶角相等，将这两个角转化为包含∠5的小三角形的两个内角，最后根据三角形内角和定理即可求出∠5的度数。
【解析】
根据三角形内角和定理，单个三角形内角和为180°，因此图中两个独立三角形的内角总和为：
$180° × 2 = 360°$
已知$∠1+∠2+∠3+∠4=220°$，因此两个三角形剩余的两个内角之和为：
$360° - 220° = 140°$
由对顶角相等可知，这两个角分别与包含∠5的小三角形的两个内角相等，即该小三角形除∠5外的两个内角和为140°。再次根据三角形内角和定理可得：
$∠5 = 180° - 140° = 40°$
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理；对顶角的性质
【点评】
本题是三角形内角和的典型应用题型，解题核心是能从重叠的图形中识别出角度的等量关系，通过对顶角完成角度转化，考查学生的图形观察能力和逻辑推导能力。
【难度系数】
0.7
解题需结合三角形内角和定理与对顶角性质推导：首先，∠1、∠2属于同一个三角形，∠3、∠4属于另一个三角形，可先根据两个三角形的内角总和，减去已知的∠1+∠2+∠3+∠4的度数，得到剩下两个内角的和；再利用对顶角相等，将这两个角转化为包含∠5的小三角形的两个内角，最后根据三角形内角和定理即可求出∠5的度数。
【解析】
根据三角形内角和定理，单个三角形内角和为180°，因此图中两个独立三角形的内角总和为：
$180° × 2 = 360°$
已知$∠1+∠2+∠3+∠4=220°$，因此两个三角形剩余的两个内角之和为：
$360° - 220° = 140°$
由对顶角相等可知，这两个角分别与包含∠5的小三角形的两个内角相等，即该小三角形除∠5外的两个内角和为140°。再次根据三角形内角和定理可得：
$∠5 = 180° - 140° = 40°$
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理；对顶角的性质
【点评】
本题是三角形内角和的典型应用题型，解题核心是能从重叠的图形中识别出角度的等量关系，通过对顶角完成角度转化，考查学生的图形观察能力和逻辑推导能力。
【难度系数】
0.7
11. 立德树人·关注生活 如图,这是某品牌共享单车放在水平地面的示意图,其中AB,CD都与地面$l$平行,$∠BCD=60°,∠BAC=50°$,当$∠MAC$为
70
$°$时,$AM// BE$.答案
70
解析
【分析】
要使$AM// BE$，可结合平行线的性质推导角的数量关系。首先由$AB$、$CD$都平行于地面$l$，可得$AB// CD$，根据平行线同旁内角互补的性质求出$∠ ABC$的度数；再根据$AM// BE$时内错角相等的性质，得到$∠ MAB$与$∠ ABC$的等量关系，最后结合角的和差关系即可计算出$∠ MAC$的度数。
【解析】
解：$\because AB$、$CD$都与地面$l$平行，
$\therefore AB// CD$，
$\therefore ∠ ABC + ∠ BCD = 180°$（两直线平行，同旁内角互补）。
$\because ∠ BCD=60°$，
$\therefore ∠ ABC=180°-60°=120°$。
当$AM// BE$时，$∠ MAB=∠ ABC=120°$（两直线平行，内错角相等）。
又$\because ∠ MAB=∠ MAC + ∠ BAC$，且$∠ BAC=50°$，
$\therefore ∠ MAC=∠ MAB - ∠ BAC=120°-50°=70°$。
【答案】
$70$
【知识点】
平行线的性质；平行公理的推论；角度和差计算
【点评】
本题结合共享单车的生活情境命题，体现了数学和实际生活的联系，解题核心是熟练掌握平行线的性质，准确梳理角之间的数量关系，进而求解未知角。
【难度系数】
$0.7$
要使$AM// BE$，可结合平行线的性质推导角的数量关系。首先由$AB$、$CD$都平行于地面$l$，可得$AB// CD$，根据平行线同旁内角互补的性质求出$∠ ABC$的度数；再根据$AM// BE$时内错角相等的性质，得到$∠ MAB$与$∠ ABC$的等量关系，最后结合角的和差关系即可计算出$∠ MAC$的度数。
【解析】
解：$\because AB$、$CD$都与地面$l$平行，
$\therefore AB// CD$，
$\therefore ∠ ABC + ∠ BCD = 180°$（两直线平行，同旁内角互补）。
$\because ∠ BCD=60°$，
$\therefore ∠ ABC=180°-60°=120°$。
当$AM// BE$时，$∠ MAB=∠ ABC=120°$（两直线平行，内错角相等）。
又$\because ∠ MAB=∠ MAC + ∠ BAC$，且$∠ BAC=50°$，
$\therefore ∠ MAC=∠ MAB - ∠ BAC=120°-50°=70°$。
【答案】
$70$
【知识点】
平行线的性质；平行公理的推论；角度和差计算
【点评】
本题结合共享单车的生活情境命题，体现了数学和实际生活的联系，解题核心是熟练掌握平行线的性质，准确梳理角之间的数量关系，进而求解未知角。
【难度系数】
$0.7$
12. 新题型当三角形中一个内角∠α是另一个内角的一半时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中∠α称为“特征角”.如果一个“特征三角形”恰好是直角三角形，求这个“特征角”的度数.
答案
解：这个“特征角”的度数为$45°$或$30°$.
解析
【分析】
解题时首先明确新定义：“特征角”∠α是三角形中另一个内角的一半，即另一个内角为2α，且该三角形为直角三角形。首先可排除α为直角的情况：若α=90°，则2α=180°，不符合三角形内角的要求，因此只需分两种情况讨论：①两倍于特征角的内角2α是直角；②2α是锐角，直角为第三个内角。再结合三角形内角相关性质分别计算即可，注意分类要全面，避免漏解。
【解析】
设这个“特征角”的度数为$α$，则三角形中另一个内角的度数为$2α$，已知该三角形是直角三角形，分两种情况讨论：
1. 若$2α$为直角，即$2α=90°$，解得$α=45°$，此时三角形三个内角为$45°、45°、90°$，符合直角三角形的要求；
2. 若$2α$不是直角，则直角为第三个内角，根据直角三角形两锐角互余可得：$α+2α=90°$，解得$α=30°$，此时三角形三个内角为$30°、60°、90°$，符合要求。
综上可得出特征角的度数。
【答案】
这个“特征角”的度数为$45°$或$30°$
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形的性质；分类讨论思想
【点评】
本题结合新定义考查三角形内角相关知识的应用，解题的关键是根据直角的位置合理分类讨论，不要忽略两倍角为直角的情况，避免出现漏解的问题。
【难度系数】
0.6
解题时首先明确新定义：“特征角”∠α是三角形中另一个内角的一半，即另一个内角为2α，且该三角形为直角三角形。首先可排除α为直角的情况：若α=90°，则2α=180°，不符合三角形内角的要求，因此只需分两种情况讨论：①两倍于特征角的内角2α是直角；②2α是锐角，直角为第三个内角。再结合三角形内角相关性质分别计算即可，注意分类要全面，避免漏解。
【解析】
设这个“特征角”的度数为$α$，则三角形中另一个内角的度数为$2α$，已知该三角形是直角三角形，分两种情况讨论：
1. 若$2α$为直角，即$2α=90°$，解得$α=45°$，此时三角形三个内角为$45°、45°、90°$，符合直角三角形的要求；
2. 若$2α$不是直角，则直角为第三个内角，根据直角三角形两锐角互余可得：$α+2α=90°$，解得$α=30°$，此时三角形三个内角为$30°、60°、90°$，符合要求。
综上可得出特征角的度数。
【答案】
这个“特征角”的度数为$45°$或$30°$
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形的性质；分类讨论思想
【点评】
本题结合新定义考查三角形内角相关知识的应用，解题的关键是根据直角的位置合理分类讨论，不要忽略两倍角为直角的情况，避免出现漏解的问题。
【难度系数】
0.6
13. 能力训练点·探究建模 将三角尺（$△ MPN$，$∠ MPN=90°$）放置在$△ ABC$上（点$P$在$△ ABC$内），如图①所示，三角尺的两边$PM$，$PN$恰好分别经过点$B$、点$C$，我们来研究$∠ ABP$与$∠ ACP$是否存在某种数量关系。
(1)特例探究：$∠ PBC+∠ PCB=$
(2)类比探究：$∠ ABP$，$∠ ACP$，$∠ A$之间的数量关系；
(3)变式探究：如图②所示，将图①中$△ ABC$的形状改变，同时改变三角尺的位置，使点$P$在$△ ABC$外，三角尺的两边$PM$，$PN$仍恰好分别经过点$B$、点$C$，探究$∠ ABP$，$∠ ACP$，$∠ A$之间的数量关系。
(1)特例探究：$∠ PBC+∠ PCB=$
90
$°$，若$∠ A=50°$，则$∠ ABP+∠ ACP=$40
$°$；(2)类比探究：$∠ ABP$，$∠ ACP$，$∠ A$之间的数量关系；
(3)变式探究：如图②所示，将图①中$△ ABC$的形状改变，同时改变三角尺的位置，使点$P$在$△ ABC$外，三角尺的两边$PM$，$PN$仍恰好分别经过点$B$、点$C$，探究$∠ ABP$，$∠ ACP$，$∠ A$之间的数量关系。
答案
(1)90;40
(2)$∠ABP+∠ACP=90°−∠A$.
(3)$∠ACP−∠ABP=90°−∠A$.
(2)$∠ABP+∠ACP=90°−∠A$.
(3)$∠ACP−∠ABP=90°−∠A$.
解析
【分析】
本题围绕三角形内角和定理展开探究，解题思路如下：
1. 第(1)问：先在△PBC中，利用三角形内角和180°结合已知∠BPC=90°，直接算出∠PBC+∠PCB的度数；再在△ABC中算出∠ABC+∠ACB的和，将∠ABC拆为∠ABP+∠PBC、∠ACB拆为∠ACP+∠PCB，整体作差即可得到∠ABP+∠ACP的度数。
2. 第(2)问：将第(1)问的特殊角度∠A=50°替换为一般的∠A，沿用上述角的拆分和整体代换的方法，即可推导出三者的数量关系。
3. 第(3)问：点P在△ABC外时，仍利用两个三角形的内角和关系，结合此时角的和差变化，对式子整理变形即可得到新的数量关系。
【解析】
(1) 在△PBC中，∠BPC=∠MPN=90°，根据三角形内角和为180°，得：
$∠ PBC+∠ PCB=180°-∠ BPC=180°-90°=90°$。
当$∠ A=50°$时，在△ABC中，$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A=180°-50°=130°$。
又
∵$∠ ABC=∠ ABP+∠ PBC$，$∠ ACB=∠ ACP+∠ PCB$，
∴$∠ ABP+∠ ACP=(∠ ABC+∠ ACB)-(∠ PBC+∠ PCB)=130°-90°=40°$。
(2) 推导三者数量关系：
在△ABC中，由内角和定理得：$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A$，
即$(∠ ABP+∠ PBC)+(∠ ACP+∠ PCB)=180°-∠ A$，
整理得：$(∠ ABP+∠ ACP)+(∠ PBC+∠ PCB)=180°-∠ A$，
∵△PBC中$∠ PBC+∠ PCB=90°$，代入上式得：
$∠ ABP+∠ ACP+90°=180°-∠ A$，
∴$∠ ABP+∠ ACP=90°-∠ A$。
(3) 当点P在△ABC外时：
仍由三角形内角和定理得，△ABC中$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A$，△PBC中$∠ PBC+∠ PCB=90°$。
观察角的和差关系可得：$∠ PBC=∠ ABC+∠ ABP$，$∠ PCB=∠ ACB-∠ ACP$，代入△PBC的内角和结论：
$(∠ ABC+∠ ABP)+(∠ ACB-∠ ACP)=90°$，
整理得：$(∠ ABC+∠ ACB)+∠ ABP-∠ ACP=90°$，
将$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A$代入得：
$180°-∠ A +∠ ABP -∠ ACP=90°$，
移项整理得：$∠ ACP -∠ ABP=90°-∠ A$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{90}$；$\boldsymbol{40}$
(2) $\boldsymbol{∠ABP+∠ACP=90°−∠A}$
(3) $\boldsymbol{∠ACP−∠ABP=90°−∠A}$
【知识点】
三角形内角和定理，角的和差运算
【点评】
本题遵循从特殊到一般的探究逻辑，重点考查三角形内角和定理的灵活应用，解题的核心是通过角的拆分与整体代换建立不同三角形内角之间的联系，点位置变化时要准确判断角的和差关系，能有效锻炼逻辑推理和几何探究能力。
【难度系数】
0.6
本题围绕三角形内角和定理展开探究，解题思路如下：
1. 第(1)问：先在△PBC中，利用三角形内角和180°结合已知∠BPC=90°，直接算出∠PBC+∠PCB的度数；再在△ABC中算出∠ABC+∠ACB的和，将∠ABC拆为∠ABP+∠PBC、∠ACB拆为∠ACP+∠PCB，整体作差即可得到∠ABP+∠ACP的度数。
2. 第(2)问：将第(1)问的特殊角度∠A=50°替换为一般的∠A，沿用上述角的拆分和整体代换的方法，即可推导出三者的数量关系。
3. 第(3)问：点P在△ABC外时，仍利用两个三角形的内角和关系，结合此时角的和差变化，对式子整理变形即可得到新的数量关系。
【解析】
(1) 在△PBC中，∠BPC=∠MPN=90°，根据三角形内角和为180°，得：
$∠ PBC+∠ PCB=180°-∠ BPC=180°-90°=90°$。
当$∠ A=50°$时，在△ABC中，$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A=180°-50°=130°$。
又
∵$∠ ABC=∠ ABP+∠ PBC$，$∠ ACB=∠ ACP+∠ PCB$，
∴$∠ ABP+∠ ACP=(∠ ABC+∠ ACB)-(∠ PBC+∠ PCB)=130°-90°=40°$。
(2) 推导三者数量关系：
在△ABC中，由内角和定理得：$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A$，
即$(∠ ABP+∠ PBC)+(∠ ACP+∠ PCB)=180°-∠ A$，
整理得：$(∠ ABP+∠ ACP)+(∠ PBC+∠ PCB)=180°-∠ A$，
∵△PBC中$∠ PBC+∠ PCB=90°$，代入上式得：
$∠ ABP+∠ ACP+90°=180°-∠ A$，
∴$∠ ABP+∠ ACP=90°-∠ A$。
(3) 当点P在△ABC外时：
仍由三角形内角和定理得，△ABC中$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A$，△PBC中$∠ PBC+∠ PCB=90°$。
观察角的和差关系可得：$∠ PBC=∠ ABC+∠ ABP$，$∠ PCB=∠ ACB-∠ ACP$，代入△PBC的内角和结论：
$(∠ ABC+∠ ABP)+(∠ ACB-∠ ACP)=90°$，
整理得：$(∠ ABC+∠ ACB)+∠ ABP-∠ ACP=90°$，
将$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A$代入得：
$180°-∠ A +∠ ABP -∠ ACP=90°$，
移项整理得：$∠ ACP -∠ ABP=90°-∠ A$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{90}$；$\boldsymbol{40}$
(2) $\boldsymbol{∠ABP+∠ACP=90°−∠A}$
(3) $\boldsymbol{∠ACP−∠ABP=90°−∠A}$
【知识点】
三角形内角和定理，角的和差运算
【点评】
本题遵循从特殊到一般的探究逻辑，重点考查三角形内角和定理的灵活应用，解题的核心是通过角的拆分与整体代换建立不同三角形内角之间的联系，点位置变化时要准确判断角的和差关系，能有效锻炼逻辑推理和几何探究能力。
【难度系数】
0.6
