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概念建构
三角形的内角和等于
三角形的内角和等于
180°
.答案
180°
解析
【分析】
本题是对三角形内角和定理的基础概念考查，解题时可直接调用已学的三角形内角和相关结论，也可通过剪拼验证、结合平行线性质推导的方式得出结果，属于基础识记类题目，无需复杂运算。
【解析】
我们可通过推导验证得到结论：
1. 剪拼验证：将任意三角形的三个内角剪下，把三个角的顶点重合拼接，会得到一个平角，平角的度数为180°，因此三角形内角和等于180°。
2. 定理证明：过三角形的任意一个顶点作对边的平行线，根据平行线的内错角相等的性质，可将三角形的三个内角转化为同一顶点处的三个角，这三个角恰好组成一个平角，平角度数为180°，由此可证三角形内角和为180°。
【答案】
180°
【知识点】
三角形内角和定理，平角的定义，平行线的性质
【点评】
本题属于基础概念题，是后续求解三角形角度、推导多边形内角和等内容的核心基础，需熟练掌握该结论。
【难度系数】
0.95
本题是对三角形内角和定理的基础概念考查，解题时可直接调用已学的三角形内角和相关结论，也可通过剪拼验证、结合平行线性质推导的方式得出结果，属于基础识记类题目，无需复杂运算。
【解析】
我们可通过推导验证得到结论：
1. 剪拼验证：将任意三角形的三个内角剪下，把三个角的顶点重合拼接，会得到一个平角，平角的度数为180°，因此三角形内角和等于180°。
2. 定理证明：过三角形的任意一个顶点作对边的平行线，根据平行线的内错角相等的性质，可将三角形的三个内角转化为同一顶点处的三个角，这三个角恰好组成一个平角，平角度数为180°，由此可证三角形内角和为180°。
【答案】
180°
【知识点】
三角形内角和定理，平角的定义，平行线的性质
【点评】
本题属于基础概念题，是后续求解三角形角度、推导多边形内角和等内容的核心基础，需熟练掌握该结论。
【难度系数】
0.95
1. 新题型 阅读材料:为了证明"三角形的内角和是$180°$",林老师给出了如图所示四种作辅助线的方法,请回答下列问题:
(1)图①②在证明三角形内角和定理的过程中应用的数学思想是 (
A.转化思想 B.整体思想
C.方程思想 D.数形结合思想
(2)请选用③或④证明三角形的内角和为$180°$.
(1)图①②在证明三角形内角和定理的过程中应用的数学思想是 (
A
)A.转化思想 B.整体思想
C.方程思想 D.数形结合思想
(2)请选用③或④证明三角形的内角和为$180°$.
答案
(1)A (2)(答案不唯一)证明略.
解析
【分析】
(1) 先明确常见数学思想的含义：转化思想是将未知的待解决问题，转化为已经学过的已知问题来求解。图①②都是通过作平行线，把三角形的三个内角的和转化为已知度数为180°的平角，以此推导三角形内角和，符合转化思想的特征，因此选A。
(2) 若选择图③证明：可借助平行线的性质，把△ABC的三个内角分别转化到AB边上点D处的三个角，这三个角恰好组成一个平角，结合平角为180°即可完成证明；若选择图④证明：可利用平行线的内错角相等、同旁内角互补的性质，把三角形三个内角的和转化为一组互补的同旁内角的和，即可得到结论。
【解析】
(1) 解：图①②的证明思路为：通过作平行线，将三角形三个内角的和转化为平角的度数（180°），把未知的三角形内角和问题转化为已知的平角问题，应用的是转化思想，故选A。
(2) 示例：选图③证明：
已知$△ ABC$，求证$∠ A+∠ B+∠ ACB=180°$。
证明：过$AB$上一点$D$作$DE// BC$，$DF// AC$。
$\because DE// BC$，$\therefore ∠ ADE=∠ B$，$∠ AED=∠ ACB$（两直线平行，同位角相等）。
$\because DF// AC$，$\therefore ∠ EDF=∠ AED$（两直线平行，内错角相等），$∠ BDF=∠ A$（两直线平行，同位角相等）。
$\therefore ∠ EDF=∠ ACB$。
又$\because$点$D$在$AB$上，$\therefore ∠ ADE+∠ EDF+∠ BDF=180°$（平角的定义）。
等量代换得：$∠ B+∠ ACB+∠ A=180°$，即三角形内角和为$180°$。
（选图④证明方法合理即可）
【答案】
(1) $\boxed{A}$
(2) 证明见上述解析（答案不唯一，逻辑正确即可）
【知识点】
平行线的性质、平角的定义、三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形内角和定理证明的典型题，核心是通过作平行线构造辅助线，将内角和问题转化为已学的平角、平行线性质相关的问题，很好地体现了转化思想在几何证明中的应用，掌握平行线的性质是解题的基础。
【难度系数】
0.7
(1) 先明确常见数学思想的含义：转化思想是将未知的待解决问题，转化为已经学过的已知问题来求解。图①②都是通过作平行线，把三角形的三个内角的和转化为已知度数为180°的平角，以此推导三角形内角和，符合转化思想的特征，因此选A。
(2) 若选择图③证明：可借助平行线的性质，把△ABC的三个内角分别转化到AB边上点D处的三个角，这三个角恰好组成一个平角，结合平角为180°即可完成证明；若选择图④证明：可利用平行线的内错角相等、同旁内角互补的性质，把三角形三个内角的和转化为一组互补的同旁内角的和，即可得到结论。
【解析】
(1) 解：图①②的证明思路为：通过作平行线，将三角形三个内角的和转化为平角的度数（180°），把未知的三角形内角和问题转化为已知的平角问题，应用的是转化思想，故选A。
(2) 示例：选图③证明：
已知$△ ABC$，求证$∠ A+∠ B+∠ ACB=180°$。
证明：过$AB$上一点$D$作$DE// BC$，$DF// AC$。
$\because DE// BC$，$\therefore ∠ ADE=∠ B$，$∠ AED=∠ ACB$（两直线平行，同位角相等）。
$\because DF// AC$，$\therefore ∠ EDF=∠ AED$（两直线平行，内错角相等），$∠ BDF=∠ A$（两直线平行，同位角相等）。
$\therefore ∠ EDF=∠ ACB$。
又$\because$点$D$在$AB$上，$\therefore ∠ ADE+∠ EDF+∠ BDF=180°$（平角的定义）。
等量代换得：$∠ B+∠ ACB+∠ A=180°$，即三角形内角和为$180°$。
（选图④证明方法合理即可）
【答案】
(1) $\boxed{A}$
(2) 证明见上述解析（答案不唯一，逻辑正确即可）
【知识点】
平行线的性质、平角的定义、三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形内角和定理证明的典型题，核心是通过作平行线构造辅助线，将内角和问题转化为已学的平角、平行线性质相关的问题，很好地体现了转化思想在几何证明中的应用，掌握平行线的性质是解题的基础。
【难度系数】
0.7
2. [2026杭州期末]一个缺角的$△ ABC$残片如图所示，量得$∠ A＝55°$，$∠ B＝70°$，则这个三角形残缺前的$∠ C$的度数为（
A.$75°$
B.$65°$
C.$55°$
D.$45°$
C
）A.$75°$
B.$65°$
C.$55°$
D.$45°$
答案
C
解析
【分析】
解答本题首先回忆三角形内角和定理：任意一个三角形的三个内角之和为180°。本题已知残缺三角形的两个内角∠A、∠B的度数，要求残缺前的∠C，直接利用三角形内角和定理，用180°减去已知两个角的度数即可得到∠C的度数。
【解析】
根据三角形内角和定理可知，三角形三个内角的和为180°，即：
$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$
已知$∠ A=55°$，$∠ B=70°$，代入得：
$∠ C = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 55° - 70° = 55°$
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题，是对三角形内角和定理的直接应用，熟练掌握定理内容即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9
解答本题首先回忆三角形内角和定理：任意一个三角形的三个内角之和为180°。本题已知残缺三角形的两个内角∠A、∠B的度数，要求残缺前的∠C，直接利用三角形内角和定理，用180°减去已知两个角的度数即可得到∠C的度数。
【解析】
根据三角形内角和定理可知，三角形三个内角的和为180°，即：
$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$
已知$∠ A=55°$，$∠ B=70°$，代入得：
$∠ C = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 55° - 70° = 55°$
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题，是对三角形内角和定理的直接应用，熟练掌握定理内容即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9
3.在$△ ABC$中，$∠ C=50°$，$∠ A=∠ B$，则$∠ A$的度数为
65°
。答案
65°
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形内角和的基本结论：三角形三个内角的和为180°。已知∠C的度数，可先求出∠A与∠B的度数之和；又因为题目给出∠A=∠B，说明两个角大小相等，将二者的度数和平均分为2份，每份的大小就是∠A的度数。
【解析】
解：根据三角形内角和定理，三角形的内角和为180°，可得：
$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$
已知$∠ C=50°$，代入上式得：
$∠ A + ∠ B = 180° - 50° = 130°$
又因为$∠ A = ∠ B$，因此：
$∠ A = 130° ÷ 2 = 65°$
【答案】
$65°$
【知识点】
三角形内角和定理，角的和差运算
【点评】
本题属于基础题型，主要考查三角形内角和定理的直接应用，只要熟练掌握三角形内角和为180°的结论，结合题目给出的角的等量关系即可快速求解，是三角形相关概念的常规考查题。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆三角形内角和的基本结论：三角形三个内角的和为180°。已知∠C的度数，可先求出∠A与∠B的度数之和；又因为题目给出∠A=∠B，说明两个角大小相等，将二者的度数和平均分为2份，每份的大小就是∠A的度数。
【解析】
解：根据三角形内角和定理，三角形的内角和为180°，可得：
$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$
已知$∠ C=50°$，代入上式得：
$∠ A + ∠ B = 180° - 50° = 130°$
又因为$∠ A = ∠ B$，因此：
$∠ A = 130° ÷ 2 = 65°$
【答案】
$65°$
【知识点】
三角形内角和定理，角的和差运算
【点评】
本题属于基础题型，主要考查三角形内角和定理的直接应用，只要熟练掌握三角形内角和为180°的结论，结合题目给出的角的等量关系即可快速求解，是三角形相关概念的常规考查题。
【难度系数】
0.9
4. 新情境 如图，这是小李绘制的某大桥断裂的现场草图，若$∠ 1=38°$，$∠ 2=23°$，则桥面断裂处$∠ BCD$的度数为
119°
。答案
119°
解析
【分析】
要求∠BCD的度数，观察发现∠BCD是△BCD的内角，我们可以先利用对顶角相等的性质，得到△BCD中另外两个内角的度数，再结合三角形内角和定理即可求出∠BCD的度数。第一步先找∠2的对顶角，得到∠CBD=∠2；第二步找∠1的对顶角，得到∠CDB=∠1；第三步利用三角形内角和为180°计算∠BCD。
【解析】
根据对顶角相等的性质可得：
∠CBD = ∠2 = 23°，∠CDB = ∠1 = 38°。
在△BCD中，由三角形内角和定理可知，三角形三个内角的和为180°，因此：
∠BCD = 180° - ∠CBD - ∠CDB = 180° - 23° - 38° = 119°。
【答案】
119°
【知识点】
对顶角相等；三角形内角和定理
【点评】
本题结合生活实际情境考查几何基础知识点的应用，解题的关键是准确识别图中的对顶角，将已知角转化为三角形的内角，再结合内角和定理求解，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.8
要求∠BCD的度数，观察发现∠BCD是△BCD的内角，我们可以先利用对顶角相等的性质，得到△BCD中另外两个内角的度数，再结合三角形内角和定理即可求出∠BCD的度数。第一步先找∠2的对顶角，得到∠CBD=∠2；第二步找∠1的对顶角，得到∠CDB=∠1；第三步利用三角形内角和为180°计算∠BCD。
【解析】
根据对顶角相等的性质可得：
∠CBD = ∠2 = 23°，∠CDB = ∠1 = 38°。
在△BCD中，由三角形内角和定理可知，三角形三个内角的和为180°，因此：
∠BCD = 180° - ∠CBD - ∠CDB = 180° - 23° - 38° = 119°。
【答案】
119°
【知识点】
对顶角相等；三角形内角和定理
【点评】
本题结合生活实际情境考查几何基础知识点的应用，解题的关键是准确识别图中的对顶角，将已知角转化为三角形的内角，再结合内角和定理求解，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.8
5.已知在$△ ABC$中，$∠ A=120°,2∠ B+∠ C=80°$,则$∠ B=$
20
$°.$答案
20
解析
【分析】
本题可根据三角形内角和定理先求出∠B与∠C的度数和，再结合题目给出的2∠B+∠C的度数，通过作差消去∠C，即可求出∠B的度数。解题时首先回忆三角形内角和为180°，代入已知的∠A的度数，得到∠B+∠C的数值，再将其与已知的含∠B、∠C的等式联立，作差即可直接得到∠B的值，无需额外计算∠C。
【解析】
根据三角形内角和定理，三角形三个内角的和为180°，可得：
$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$
已知$∠ A=120°$，代入上式得：
$120° + ∠ B + ∠ C = 180°$
整理得：$∠ B + ∠ C = 60°$ ---①
又已知$2∠ B + ∠ C = 80°$ ---②
用②式减去①式，可得：
$(2∠ B + ∠ C) - (∠ B + ∠ C) = 80° - 60°$
化简后得：$∠ B = 20°$
【答案】
20
【知识点】
三角形内角和定理；角度的和差计算
【点评】
本题是基础类题目，主要考查对三角形内角和定理的掌握，解题的关键是熟练运用三角形内角和公式得到未知角的数量关系，通过简单的代数运算即可求出结果。
【难度系数】
0.9
本题可根据三角形内角和定理先求出∠B与∠C的度数和，再结合题目给出的2∠B+∠C的度数，通过作差消去∠C，即可求出∠B的度数。解题时首先回忆三角形内角和为180°，代入已知的∠A的度数，得到∠B+∠C的数值，再将其与已知的含∠B、∠C的等式联立，作差即可直接得到∠B的值，无需额外计算∠C。
【解析】
根据三角形内角和定理，三角形三个内角的和为180°，可得：
$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$
已知$∠ A=120°$，代入上式得：
$120° + ∠ B + ∠ C = 180°$
整理得：$∠ B + ∠ C = 60°$ ---①
又已知$2∠ B + ∠ C = 80°$ ---②
用②式减去①式，可得：
$(2∠ B + ∠ C) - (∠ B + ∠ C) = 80° - 60°$
化简后得：$∠ B = 20°$
【答案】
20
【知识点】
三角形内角和定理；角度的和差计算
【点评】
本题是基础类题目，主要考查对三角形内角和定理的掌握，解题的关键是熟练运用三角形内角和公式得到未知角的数量关系，通过简单的代数运算即可求出结果。
【难度系数】
0.9
6. [2026 滁州期末] 如图，$BE ⊥ AC$，$CD ⊥ AB$ 且 $BE$，$CD$ 相交于点 $O$. 已知 $∠ A = 65°$，求 $∠ BOC$ 的度数. 
答案
解：$∠ BOC=115°$.
解析
【分析】
解题时先从已知的垂直条件入手，由垂直可得两个90°的角；观察图形可知∠BOC和∠DOE是对顶角，二者相等，因此只需先求∠DOE的度数即可。∠DOE在四边形ADOE内，已知四边形内角和为360°，结合已知的∠A=65°和两个直角，就能算出∠DOE的度数，进而得到∠BOC的度数。
【解析】
解：
∵ BE⊥AC，CD⊥AB，
∴ ∠ADC = ∠AEB = 90°（垂直的定义），
∵ 四边形的内角和为360°，
∴ 在四边形ADOE中，∠DOE = 360° - ∠A - ∠ADC - ∠AEB，
将∠A=65°代入得：
∠DOE = 360° - 65° - 90° - 90° = 115°，
又
∵ ∠BOC与∠DOE是对顶角，
∴ ∠BOC = ∠DOE = 115°。
【答案】
∠BOC=115°
【知识点】
垂直的定义；四边形内角和定理；对顶角相等
【点评】
本题属于角度计算的基础题型，解题的核心是找准已知角和待求角的位置关系，结合垂直的性质、四边形内角和以及对顶角的性质逐步推导即可，计算时注意角度的加减不要出错。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知的垂直条件入手，由垂直可得两个90°的角；观察图形可知∠BOC和∠DOE是对顶角，二者相等，因此只需先求∠DOE的度数即可。∠DOE在四边形ADOE内，已知四边形内角和为360°，结合已知的∠A=65°和两个直角，就能算出∠DOE的度数，进而得到∠BOC的度数。
【解析】
解：
∵ BE⊥AC，CD⊥AB，
∴ ∠ADC = ∠AEB = 90°（垂直的定义），
∵ 四边形的内角和为360°，
∴ 在四边形ADOE中，∠DOE = 360° - ∠A - ∠ADC - ∠AEB，
将∠A=65°代入得：
∠DOE = 360° - 65° - 90° - 90° = 115°，
又
∵ ∠BOC与∠DOE是对顶角，
∴ ∠BOC = ∠DOE = 115°。
【答案】
∠BOC=115°
【知识点】
垂直的定义；四边形内角和定理；对顶角相等
【点评】
本题属于角度计算的基础题型，解题的核心是找准已知角和待求角的位置关系，结合垂直的性质、四边形内角和以及对顶角的性质逐步推导即可，计算时注意角度的加减不要出错。
【难度系数】
0.8
7. [2026淮南期中]将一副三角尺按如图方式叠放,则∠1的度数为 (
A.$45°$
B.$60°$
C.$75°$
D.$15°$
C
)A.$45°$
B.$60°$
C.$75°$
D.$15°$
答案
C
解析
【分析】
解题首先要明确一副三角尺各角的固定度数：其中一个三角尺的三个角为30°、60°、90°，等腰直角三角尺的三个角为45°、45°、90°。接下来找到∠1所在的三角形，确定该三角形另外两个内角的度数，最后利用三角形内角和为180°即可求出∠1的度数。
【解析】
解：由三角尺的角度特征可知，等腰直角三角尺的锐角为45°，另一个三角尺的最小锐角为30°。
观察图形，∠1所在的直角三角形中，除直角90°外，另一个锐角的度数为：$45° - 30° = 15°$。
根据三角形内角和定理，三角形内角和为$180°$，因此：
$∠ 1 = 180° - 90° - 15° = 75°$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
三角尺的角度特征；三角形内角和定理；角的和差计算
【点评】
本题是角度计算的基础题型，解题的关键是熟记三角尺的固定角度，结合三角形内角和定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题首先要明确一副三角尺各角的固定度数：其中一个三角尺的三个角为30°、60°、90°，等腰直角三角尺的三个角为45°、45°、90°。接下来找到∠1所在的三角形，确定该三角形另外两个内角的度数，最后利用三角形内角和为180°即可求出∠1的度数。
【解析】
解：由三角尺的角度特征可知，等腰直角三角尺的锐角为45°，另一个三角尺的最小锐角为30°。
观察图形，∠1所在的直角三角形中，除直角90°外，另一个锐角的度数为：$45° - 30° = 15°$。
根据三角形内角和定理，三角形内角和为$180°$，因此：
$∠ 1 = 180° - 90° - 15° = 75°$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
三角尺的角度特征；三角形内角和定理；角的和差计算
【点评】
本题是角度计算的基础题型，解题的关键是熟记三角尺的固定角度，结合三角形内角和定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
8.如图,一轮船在海上往东行驶,在A处测得灯塔C位于北偏东$60°$方向,在B处测得灯塔C位于北偏东$25°$方向,则$∠ ACB$的度数为（
A.$45°$
B.$35°$
C.$25°$
D.$30°$
B
）A.$45°$
B.$35°$
C.$25°$
D.$30°$
答案
B
解析
【分析】
解题时首先结合方向角的定义，将题目给出的方位信息转化为三角形中的对应角度：先求出△ABC中内角∠CAB的度数，再求出AB向东延长线与BC的夹角（即△ABC的外角）的度数，最后利用三角形外角的性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），即可计算出∠ACB的度数。
【解析】
设将AB向东延长至点D：
1. 求∠CAB的度数：A处正北方向与正东方向（AB方向）垂直，灯塔C在A处北偏东60°，因此$∠ CAB = 90° - 60° = 30°$。
2. 求外角∠CBD的度数：B处正北方向与正东方向（BD方向）垂直，灯塔C在B处北偏东25°，因此BC与正东方向BD的夹角为$90° - 25° = 65°$，即$∠ CBD=65°$。
3. 根据三角形外角定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得：$∠ CBD = ∠ CAB + ∠ ACB$。
代入角度计算：$∠ ACB = ∠ CBD - ∠ CAB = 65° - 30° = 35°$。
【答案】
B
【知识点】
方向角的识别，三角形外角的性质
【点评】
本题是方向角与三角形角度计算的结合题型，解题核心是准确将方位描述转化为几何图形中的已知角度，再结合三角形的角度性质求解，属于基础类的常考题。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合方向角的定义，将题目给出的方位信息转化为三角形中的对应角度：先求出△ABC中内角∠CAB的度数，再求出AB向东延长线与BC的夹角（即△ABC的外角）的度数，最后利用三角形外角的性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），即可计算出∠ACB的度数。
【解析】
设将AB向东延长至点D：
1. 求∠CAB的度数：A处正北方向与正东方向（AB方向）垂直，灯塔C在A处北偏东60°，因此$∠ CAB = 90° - 60° = 30°$。
2. 求外角∠CBD的度数：B处正北方向与正东方向（BD方向）垂直，灯塔C在B处北偏东25°，因此BC与正东方向BD的夹角为$90° - 25° = 65°$，即$∠ CBD=65°$。
3. 根据三角形外角定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得：$∠ CBD = ∠ CAB + ∠ ACB$。
代入角度计算：$∠ ACB = ∠ CBD - ∠ CAB = 65° - 30° = 35°$。
【答案】
B
【知识点】
方向角的识别，三角形外角的性质
【点评】
本题是方向角与三角形角度计算的结合题型，解题核心是准确将方位描述转化为几何图形中的已知角度，再结合三角形的角度性质求解，属于基础类的常考题。
【难度系数】
0.7
