1.直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC可以写成Rt△ABC.
2.直角三角形的性质:直角三角形的两个锐角.
3.直角三角形的判定:有两个角的三角形是直角三角形.

2.互余 3.互余

【分析】
本题考查直角三角形性质与判定的基础概念，解题时结合三角形内角和定理推导即可：1.推导性质时，已知直角三角形有一个90°的直角，结合三角形内角和为180°，可算出两个锐角的和，进而得出二者的关系；2.推导判定时，若两个角的和为90°（互余），同样结合内角和定理可算出第三个角为90°，即可判断三角形为直角三角形。
【解析】
2. 已知三角形内角和为180°，直角三角形存在一个90°的直角，因此两个锐角的和为180°-90°=90°，和为90°的两个角互为余角，即直角三角形的两个锐角互余。
3. 若一个三角形有两个角互余，即这两个角的和为90°，结合三角形内角和为180°，可得第三个角的度数为180°-90°=90°，有一个角是直角的三角形为直角三角形，因此有两个角互余的三角形是直角三角形。
【答案】
2.互余 3.互余
【知识点】
直角三角形的性质；直角三角形的判定；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对直角三角形性质和判定定义的记忆与理解，熟练掌握这类基础概念是解决直角三角形相关几何题的前提。
【难度系数】
0.9

1.在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，则$∠ A+∠ B$的大小为 （）

A.$30°$
B.$60°$
C.$90°$
D.$180°$

1.C

【分析】
解题时首先回忆三角形内角和的相关知识，任意三角形的三个内角之和为180°，题目中已经给出△ABC是直角三角形，∠C=90°，要求∠A+∠B的度数，只需要用三角形内角和减去∠C的度数即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 任意三角形的内角和为180°，
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
∴ $∠ A+∠ B=180°-∠ C=180°-90°=90°$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础题型，主要考查对三角形内角和定理以及直角三角形性质的掌握，牢记相关定理即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9

【变式·转化思想】如图，已知$AC ⊥ BC$于点$C$，$CD ⊥ AB$于点$D$，$∠ A=56°$，则$∠ DCB$的度数是。

56°

【分析】
解题时可以先从已知的垂直条件入手，先明确图中的直角三角形：①由AC⊥BC可得△ACB是直角三角形，根据直角三角形两锐角互余，可得到∠A与∠B的和为90°；②由CD⊥AB可得△CDB是直角三角形，同理可得∠DCB与∠B的和为90°。此时发现∠A和∠DCB都是∠B的余角，根据同角的余角相等即可直接得出∠DCB=∠A，也可以先计算出∠B的度数，再代入求∠DCB的度数。
【解析】
方法一：
∵ AC ⊥ BC，
∴ ∠ACB=90°，
在Rt△ACB中，∠A + ∠B = 90°，
∵ ∠A=56°，
∴ ∠B=90° - 56°=34°，
又
∵ CD ⊥ AB，
∴ ∠CDB=90°，
在Rt△CDB中，∠DCB + ∠B = 90°，
∴ ∠DCB=90° - 34°=56°。
方法二：
∵ AC ⊥ BC，
∴ ∠ACB=90°，
∴ ∠A + ∠B = 90°，
∵ CD ⊥ AB，
∴ ∠CDB=90°，
∴ ∠DCB + ∠B = 90°，
根据同角的余角相等，可得∠DCB=∠A=56°。
【答案】
56°
【知识点】
直角三角形两锐角互余；同角的余角相等
【点评】
本题是基础的角度计算题，核心考查直角三角形的内角性质，解题时可以通过互余关系逐步推导，也可以利用余角的性质快速得到等角，熟练掌握直角三角形的相关性质是解决这类题的前提。
【难度系数】
0.85

2. [2026台州模拟]将一个含$30°$角的直角三角尺和一把等宽的直尺按如图所示的位置摆放，其中$∠ C=30°$，若$∠ ADE=50°$，则$∠ FBC$的度数是。

2.20°

【分析】
解题时首先明确直尺的对边互相平行，可利用平行线的性质得到与已知∠ADE相等的角，再结合三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，代入已知的∠C=30°，即可求出∠FBC的度数。
【解析】
解：
∵直尺的对边互相平行，
∴$DE// BC$，
∴与∠ADE为同位角的∠BFD=∠ADE=50°（两直线平行，同位角相等）。
∵∠BFD是△BFC的外角，
∴∠BFD=∠FBC+∠C（三角形外角等于不相邻两个内角的和）。
已知∠C=30°，代入得：
∠FBC=∠BFD-∠C=50°-30°=20°。
【答案】
$20°$
【知识点】
平行线的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，主要考查平行线性质和三角形外角性质的结合应用，解题的关键是准确识别平行线形成的同位角，以及判断外角和对应内角的关系，是同类题型中较为常见的考查方向。
【难度系数】
0.7

3. [2026合肥期中]如图，AB//CD，AC平分∠BAD，DB平分∠ADC，AC和DB交于点E. 求证：△ADE是直角三角形.

证明：
∵ AB//CD，
∴ ∠BAD + ∠ADC = 180°。
∵ AC平分∠BAD，DB平分∠ADC，
∴ ∠DAE = $\frac{1}{2}$∠BAD，∠ADE = $\frac{1}{2}$∠ADC。
∴ ∠DAE + ∠ADE = $\frac{1}{2}$(∠BAD + ∠ADC) = $\frac{1}{2}$×180° = 90°。
在△ADE中，∠AED = 180° - (∠DAE + ∠ADE) = 180° - 90° = 90°，
∴ △ADE是直角三角形。

【分析】
要证明△ADE是直角三角形，可通过证明三角形有一个内角为90°来实现。首先从已知条件出发：AB//CD，根据平行线的性质可得同旁内角∠BAD与∠ADC的和为180°；再结合AC、DB分别是∠BAD和∠ADC的角平分线，可推出∠DAE、∠ADE分别是对应角的一半，因此两个角的和为180°的一半即90°；最后根据三角形内角和定理，可算出∠AED为90°，即可得证。
【解析】
证明：
∵ AB//CD，
∴ ∠BAD + ∠ADC = 180°。
∵ AC平分∠BAD，DB平分∠ADC，
∴ ∠DAE = $\frac{1}{2}$∠BAD，∠ADE = $\frac{1}{2}$∠ADC。
∴ ∠DAE + ∠ADE = $\frac{1}{2}$(∠BAD + ∠ADC) = $\frac{1}{2}$×180° = 90°。
在△ADE中，∠AED = 180° - (∠DAE + ∠ADE) = 180° - 90° = 90°，
∴ △ADE是直角三角形。
【答案】
△ADE是直角三角形
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义；直角三角形的判定
【点评】
本题是基础的几何证明题，综合考察了平行线、角平分线和直角三角形判定的相关知识，解题的关键是利用平行线的性质得到同旁内角互补，再结合角平分线的定义推导出三角形中两个锐角互余，进而完成判定，解题过程要注意逻辑连贯，每一步推导要有依据。
【难度系数】
0.8

4. [2026合肥期末]有下列条件:①$∠A+∠C=∠B$;②$∠A:∠B:∠C=2:3:5$;③$∠A=∠B=2∠C$;④$∠A=∠B=\frac{1}{2}∠C$,其中能确定$△ ABC$是直角三角形的有()

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

4.C

【分析】
本题要判定△ABC是否为直角三角形，核心依据是三角形内角和为180°，只要能通过给出的角度关系计算出其中一个内角为90°，即可判定为直角三角形。解题时只需将每个条件分别与内角和定理结合，逐个验证即可。
【解析】
已知三角形内角和为$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$，逐个分析条件：
1. 条件①：$∠ A + ∠ C = ∠ B$，代入内角和公式得$∠ B + ∠ B = 180°$，解得$∠ B=90°$，可确定△ABC是直角三角形；
2. 条件②：设$∠ A=2x$，$∠ B=3x$，$∠ C=5x$，代入内角和公式得$2x+3x+5x=180°$，解得$x=18°$，则最大角$∠ C=5×18°=90°$，可确定△ABC是直角三角形；
3. 条件③：设$∠ C=x$，则$∠ A=∠ B=2x$，代入内角和公式得$2x+2x+x=180°$，解得$x=36°$，三个角分别为$72°、72°、36°$，没有90°角，不能确定△ABC是直角三角形；
4. 条件④：设$∠ A=∠ B=x$，则$∠ C=2x$，代入内角和公式得$x+x+2x=180°$，解得$x=45°$，则$∠ C=2×45°=90°$，可确定△ABC是直角三角形。
综上，能确定为直角三角形的有①②④，共3个。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形的判定
【点评】
本题属于基础题型，重点考查角度关系结合三角形内角和定理判断三角形形状的能力，解题时通过设未知数列方程计算角度的方法清晰直观，熟练掌握内角和定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7

5. 跨学科·物理 一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力$ G $的方向竖直向下，支持力$ F_1 $的方向与斜面垂直，摩擦力$ F_2 $的方向与斜面平行。若斜面的坡角$ α = 25° $，则摩擦力$ F_2 $与重力$ G $方向的夹角$ β $的度数为（）


A.$ 155° $
B.$ 125° $
C.$ 115° $
D.$ 65° $

5.C

【分析】
解题时先明确各力方向的位置关系：首先支持力$F_1$垂直斜面、摩擦力$F_2$平行斜面，因此$F_1$和$F_2$的夹角为$90°$；再结合斜面坡角$α=25°$，重力$G$竖直向下（垂直水平面），利用“若两个锐角的两边分别互相垂直，则两个锐角相等”的性质，可推出$F_1$与$G$的夹角等于$α=25°$；最终所求$β$就是上述两个角的和，相加即可得到结果。
【解析】
1. 由题意可知，支持力$F_1$与斜面垂直，摩擦力$F_2$与斜面平行，因此$F_1⊥ F_2$，即$F_1$与$F_2$的夹角为$90°$。
2. 斜面坡角$α$是斜面与水平面的夹角，重力$G$的方向竖直向下（与水平面垂直），$F_1$的方向与斜面垂直，根据两个锐角的两边分别互相垂直时两角相等，可得$F_1$与$G$的夹角等于$α=25°$。
3. 观察图形可知，摩擦力$F_2$与重力$G$的夹角$β=90°+25°=115°$。
【答案】
C
【知识点】
垂直的定义，角度计算，互余的性质
【点评】
本题结合物理受力分析的场景考查几何角度计算，解题的核心是找准各力方向之间的位置关系，将物理问题转化为熟悉的几何角度运算问题，注重跨学科知识的融合应用。
【难度系数】
0.7

6. 几何直观 如图，在$△ ABC$中，$AE$平分$∠ BAC$，$∠ B=26°$，$∠ C=64°$。
(1)求$∠ CAE$的度数；
(2)若$AD⊥ BC$于点$D$，$∠ ADF=71°$，试说明：$△ ADF$是直角三角形。

6.解：(1)$∠CAE=45°$. (2)略.

【分析】
(1) 要求∠CAE的度数，已知AE是∠BAC的角平分线，因此先利用三角形内角和为180°求出∠BAC的度数，再根据角平分线平分对应角的性质，计算∠BAC的一半即可得到∠CAE的度数。
(2) 要说明△ADF是直角三角形，只需证明三角形内有一个内角为90°即可。首先结合AD⊥BC的条件求出∠CAD的度数，结合第一问得到的∠CAE的度数算出∠DAE的大小，再结合已知的∠ADF=71°，验证△ADF中两个锐角之和是否为90°，若和为90°则第三个角为直角，即可判定△ADF是直角三角形。
【解析】
(1) 在△ABC中，根据三角形内角和定理：
$∠ BAC = 180° - ∠ B - ∠ C = 180° - 26° - 64° = 90°$
∵ AE平分$∠ BAC$
∴ $∠ CAE = \frac{1}{2}∠ BAC = \frac{1}{2} × 90° = 45°$
(2) 证明：
∵ $AD ⊥ BC$，
∴ $∠ ADC = 90°$
在Rt△ADC中，$∠ CAD = 90° - ∠ C = 90° - 64° = 26°$
由(1)知$∠ CAE=45°$，
∴ $∠ DAE = ∠ CAE - ∠ CAD = 45° - 26° = 19°$
在△ADF中，$∠ DAE + ∠ ADF = 19° + 71° = 90°$
∴ $∠ AFD = 180° - (∠ DAE + ∠ ADF) = 90°$
∴ △ADF是直角三角形。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠CAE=45°}$；(2) △ADF是直角三角形，证明如上。
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，直角三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何题，侧重考查角度计算和直角三角形的判定方法，解题的关键是熟练运用三角形内角和、角平分线、垂直的相关性质逐步推导所需角度。
【难度系数】
0.8