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1.由三角形的一边与另一边的
2.
延长线
组成的角，叫作三角形的外角.三角形的每个顶点处都有2个外角，它们是对顶角.2.
答案
1.延长线 2.等于；360°
解析
【分析】
这道题考查三角形外角的相关基础概念与性质，解题时可结合所学基础知识点逐一推导：1. 先回忆三角形外角的定义，明确其组成要素；2. 推导外角性质时，可结合三角形内角和定理、邻补角的和为180°的特点，推导外角和不相邻内角的关系；3. 计算外角和时，可通过三个平角的总度数减去三角形内角和，得到外角和的数值。
【解析】
1. 根据三角形外角的定义：由三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角，因此第一空填“延长线”。
2. 推导推论：假设三角形三个内角分别为∠A、∠B、∠C，∠A的相邻外角为∠1，因为∠1和∠A是邻补角，所以$∠ 1+∠ A=180°$，又因为三角形内角和为$180°$，即$∠ A+∠ B+∠ C=180°$，联立两式可得$∠ 1=∠ B+∠ C$，因此三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，第二个空填“等于”。
推导外角和：三角形每个顶点处取一个外角，三个外角与对应的三个相邻内角的和为$3×180°=540°$，减去三角形内角和$180°$，可得外角和为$540°-180°=360°$，因此第三个空填“$360°$”。
【答案】
1.延长线 2.等于；360°
【知识点】
三角形外角定义；三角形外角性质；三角形外角和定理
【点评】
本题属于基础概念类题目，主要考查对三角形外角相关基础知识点的记忆和简单推导能力，牢记相关定义、性质是解题的关键，这类知识点是后续解决复杂外角相关几何题的基础。
【难度系数】
0.9
这道题考查三角形外角的相关基础概念与性质，解题时可结合所学基础知识点逐一推导：1. 先回忆三角形外角的定义，明确其组成要素；2. 推导外角性质时，可结合三角形内角和定理、邻补角的和为180°的特点，推导外角和不相邻内角的关系；3. 计算外角和时，可通过三个平角的总度数减去三角形内角和，得到外角和的数值。
【解析】
1. 根据三角形外角的定义：由三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角，因此第一空填“延长线”。
2. 推导推论：假设三角形三个内角分别为∠A、∠B、∠C，∠A的相邻外角为∠1，因为∠1和∠A是邻补角，所以$∠ 1+∠ A=180°$，又因为三角形内角和为$180°$，即$∠ A+∠ B+∠ C=180°$，联立两式可得$∠ 1=∠ B+∠ C$，因此三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，第二个空填“等于”。
推导外角和：三角形每个顶点处取一个外角，三个外角与对应的三个相邻内角的和为$3×180°=540°$，减去三角形内角和$180°$，可得外角和为$540°-180°=360°$，因此第三个空填“$360°$”。
【答案】
1.延长线 2.等于；360°
【知识点】
三角形外角定义；三角形外角性质；三角形外角和定理
【点评】
本题属于基础概念类题目，主要考查对三角形外角相关基础知识点的记忆和简单推导能力，牢记相关定义、性质是解题的关键，这类知识点是后续解决复杂外角相关几何题的基础。
【难度系数】
0.9
1.如图,在∠1,∠2,∠3中,是△ABC外角的是 (
A.∠1
B.∠2,∠3
C.∠1,∠3
D.∠1,∠2,∠3
C
)A.∠1
B.∠2,∠3
C.∠1,∠3
D.∠1,∠2,∠3
答案
1.C
解析
【分析】
要判断哪个角是三角形的外角，首先要明确三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角，判定需满足两个条件：①顶点在三角形的一个顶点上；②一条边是三角形的边，另一条边是该顶点相邻的另一条边的延长线。我们可以依据这个定义逐个判断∠1、∠2、∠3是否符合要求。
【解析】
根据三角形外角的定义逐个分析：
1. 分析∠1：顶点是△ABC的顶点C，一条边是△ABC的边AC，另一条边是△ABC的边BC的延长线，满足外角的判定条件，是△ABC的外角；
2. 分析∠2：顶点是C，但两条边分别是BC的延长线和AC的延长线，均不是△ABC的边，不满足判定条件，不是△ABC的外角；
3. 分析∠3：顶点是△ABC的顶点C，一条边是△ABC的边BC，另一条边是△ABC的边AC的延长线，满足外角的判定条件，是△ABC的外角。
综上，是△ABC外角的是∠1和∠3，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形外角的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，解题核心是熟练掌握三角形外角的判定条件，严格按照定义逐个比对即可得出正确答案，注意不要误把两条边都是延长线的角当成外角。
【难度系数】
0.9
要判断哪个角是三角形的外角，首先要明确三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角，判定需满足两个条件：①顶点在三角形的一个顶点上；②一条边是三角形的边，另一条边是该顶点相邻的另一条边的延长线。我们可以依据这个定义逐个判断∠1、∠2、∠3是否符合要求。
【解析】
根据三角形外角的定义逐个分析：
1. 分析∠1：顶点是△ABC的顶点C，一条边是△ABC的边AC，另一条边是△ABC的边BC的延长线，满足外角的判定条件，是△ABC的外角；
2. 分析∠2：顶点是C，但两条边分别是BC的延长线和AC的延长线，均不是△ABC的边，不满足判定条件，不是△ABC的外角；
3. 分析∠3：顶点是△ABC的顶点C，一条边是△ABC的边BC，另一条边是△ABC的边AC的延长线，满足外角的判定条件，是△ABC的外角。
综上，是△ABC外角的是∠1和∠3，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形外角的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，解题核心是熟练掌握三角形外角的判定条件，严格按照定义逐个比对即可得出正确答案，注意不要误把两条边都是延长线的角当成外角。
【难度系数】
0.9
2.下列说法中错误的是
①一个三角形只有三个外角；
②三角形的每个顶点处都有两个外角；
③三角形的每个外角是与它相邻内角的邻补角；
④一个三角形共有六个外角.
①
.(填序号)①一个三角形只有三个外角；
②三角形的每个顶点处都有两个外角；
③三角形的每个外角是与它相邻内角的邻补角；
④一个三角形共有六个外角.
答案
2.①
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。再结合邻补角的定义，逐一判断每个说法的正误：第一步先明确每个顶点处外角的数量，再计算三角形外角的总数量，最后判断外角和相邻内角的关系即可。
【解析】
我们逐个分析4个说法：
1. 分析说法①②④：三角形的每个顶点处，分别将两条边向外延长，可以得到2个互为对顶角的外角，因此3个顶点共有 $3×2=6$ 个外角，故①“一个三角形只有三个外角”的说法错误，②和④的说法正确。
2. 分析说法③：三角形的外角是由一边和另一边的延长线组成的，它与相邻内角有公共顶点、公共边，且另一边互为反向延长线，和为$180°$，满足邻补角的定义，因此③的说法正确。
综上，错误的说法是①。
【答案】
①
【知识点】
三角形外角的概念；邻补角的定义
【点评】
本题属于基础概念辨析题，主要考查对三角形外角相关概念的掌握，易错点是容易忽略每个顶点处存在2个外角，误认三角形只有3个外角，学习概念时要注意细节，准确理解定义。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。再结合邻补角的定义，逐一判断每个说法的正误：第一步先明确每个顶点处外角的数量，再计算三角形外角的总数量，最后判断外角和相邻内角的关系即可。
【解析】
我们逐个分析4个说法：
1. 分析说法①②④：三角形的每个顶点处，分别将两条边向外延长，可以得到2个互为对顶角的外角，因此3个顶点共有 $3×2=6$ 个外角，故①“一个三角形只有三个外角”的说法错误，②和④的说法正确。
2. 分析说法③：三角形的外角是由一边和另一边的延长线组成的，它与相邻内角有公共顶点、公共边，且另一边互为反向延长线，和为$180°$，满足邻补角的定义，因此③的说法正确。
综上，错误的说法是①。
【答案】
①
【知识点】
三角形外角的概念；邻补角的定义
【点评】
本题属于基础概念辨析题，主要考查对三角形外角相关概念的掌握，易错点是容易忽略每个顶点处存在2个外角，误认三角形只有3个外角，学习概念时要注意细节，准确理解定义。
【难度系数】
0.8
3. [2026安庆期末]如图,在$△ ABC$中,$∠ A=35°,∠ B=25°$,则$∠ ACD$的度数是 (
A.$60°$
B.$55°$
C.$120°$
D.$65°$
A
)A.$60°$
B.$55°$
C.$120°$
D.$65°$
答案
3.A
解析
【分析】
要解决这道题，首先观察∠ACD的位置，它是△ABC的边BC的延长线与边AC组成的角，属于△ABC的外角。接下来回忆三角形外角的相关性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，我们只需要找到和∠ACD不相邻的两个内角∠A、∠B，将度数相加即可求出结果。也可以先利用三角形内角和求出∠ACB的度数，再根据邻补角的和为180°计算∠ACD，其中用外角性质计算更简便。
【解析】
方法一：利用三角形外角的性质求解
∵∠ACD是△ABC的外角，
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，
∴∠ACD = ∠A + ∠B，
已知∠A=35°，∠B=25°，代入得：
∠ACD = 35° + 25° = 60°。
方法二：利用三角形内角和与邻补角性质求解
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，
∠ACB = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 35° - 25° = 120°，
又
∵∠ACD与∠ACB是邻补角，
∴∠ACD = 180° - ∠ACB = 180° - 120° = 60°。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形外角的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形外角性质的基础应用题型，解题的关键是准确识别三角形的外角，明确外角对应的不相邻内角，两种解题方法都可快速得到结果，难度较低。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先观察∠ACD的位置，它是△ABC的边BC的延长线与边AC组成的角，属于△ABC的外角。接下来回忆三角形外角的相关性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，我们只需要找到和∠ACD不相邻的两个内角∠A、∠B，将度数相加即可求出结果。也可以先利用三角形内角和求出∠ACB的度数，再根据邻补角的和为180°计算∠ACD，其中用外角性质计算更简便。
【解析】
方法一：利用三角形外角的性质求解
∵∠ACD是△ABC的外角，
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，
∴∠ACD = ∠A + ∠B，
已知∠A=35°，∠B=25°，代入得：
∠ACD = 35° + 25° = 60°。
方法二：利用三角形内角和与邻补角性质求解
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，
∠ACB = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 35° - 25° = 120°，
又
∵∠ACD与∠ACB是邻补角，
∴∠ACD = 180° - ∠ACB = 180° - 120° = 60°。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形外角的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形外角性质的基础应用题型，解题的关键是准确识别三角形的外角，明确外角对应的不相邻内角，两种解题方法都可快速得到结果，难度较低。
【难度系数】
0.9
4. 跨学科·体育 体育课上的侧压腿动作可以抽象为几何图形(
)，若$∠ 1=110°$，则$∠ 2$等于（
A.$10°$
B.$20°$
C.$25°$
D.$30°$
)，若$∠ 1=110°$，则$∠ 2$等于（B
）A.$10°$
B.$20°$
C.$25°$
D.$30°$
答案
4.B
解析
【分析】
首先观察几何图形，可判断∠1是下方直角三角形的一个外角，结合所学的三角形外角性质思考：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。该直角三角形有一个内角是90°，∠2是另一个和∠1不相邻的内角，因此可以通过外角性质建立∠1和∠2的等量关系，代入已知角度即可求出∠2的度数。
【解析】
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。
由图可知，∠1是下方直角三角形的外角，与∠1不相邻的两个内角分别为90°的直角和∠2，因此可得等式：
$∠ 1 = 90° + ∠ 2$
将$∠ 1=110°$代入上式计算：
$∠ 2 = ∠ 1 - 90° = 110° - 90° = 20°$
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形外角的性质、直角的定义
【点评】
本题结合生活中的体育动作场景考查几何知识，贴近生活，解题的关键是准确判断外角对应的三角形以及对应的不相邻内角，熟练运用三角形外角性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
首先观察几何图形，可判断∠1是下方直角三角形的一个外角，结合所学的三角形外角性质思考：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。该直角三角形有一个内角是90°，∠2是另一个和∠1不相邻的内角，因此可以通过外角性质建立∠1和∠2的等量关系，代入已知角度即可求出∠2的度数。
【解析】
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。
由图可知，∠1是下方直角三角形的外角，与∠1不相邻的两个内角分别为90°的直角和∠2，因此可得等式：
$∠ 1 = 90° + ∠ 2$
将$∠ 1=110°$代入上式计算：
$∠ 2 = ∠ 1 - 90° = 110° - 90° = 20°$
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形外角的性质、直角的定义
【点评】
本题结合生活中的体育动作场景考查几何知识，贴近生活，解题的关键是准确判断外角对应的三角形以及对应的不相邻内角，熟练运用三角形外角性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
5.如图，$∠ A = 20°$，$∠ B = 30°$，$∠ C = 50°$，则$∠ ADB$的度数为
100°
。答案
5.100°
解析
【分析】
解题时可利用三角形外角的性质分步推导：首先观察图形可知，∠AEB是△ACE的外角，根据三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和，可先求出∠AEB的度数；再看∠ADB是△BDE的外角，再次运用三角形外角的性质，代入已知角度即可求出∠ADB的度数。
【解析】
解：
∵∠AEB是△ACE的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，
∴∠AEB = ∠A + ∠C，
将∠A=20°，∠C=50°代入得：
∠AEB = 20° + 50° = 70°，
又
∵∠ADB是△BDE的外角，同理可得：
∠ADB = ∠AEB + ∠B，
将∠B=30°代入得：
∠ADB = 70° + 30° = 100°。
【答案】
100°
【知识点】
三角形外角的性质；角度和差计算
【点评】
本题属于基础题，核心考查三角形外角性质的应用，解题关键是准确识别图形中的外角，明确外角对应的不相邻内角，按步骤计算即可得到结果。
【难度系数】
0.8
解题时可利用三角形外角的性质分步推导：首先观察图形可知，∠AEB是△ACE的外角，根据三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和，可先求出∠AEB的度数；再看∠ADB是△BDE的外角，再次运用三角形外角的性质，代入已知角度即可求出∠ADB的度数。
【解析】
解：
∵∠AEB是△ACE的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，
∴∠AEB = ∠A + ∠C，
将∠A=20°，∠C=50°代入得：
∠AEB = 20° + 50° = 70°，
又
∵∠ADB是△BDE的外角，同理可得：
∠ADB = ∠AEB + ∠B，
将∠B=30°代入得：
∠ADB = 70° + 30° = 100°。
【答案】
100°
【知识点】
三角形外角的性质；角度和差计算
【点评】
本题属于基础题，核心考查三角形外角性质的应用，解题关键是准确识别图形中的外角，明确外角对应的不相邻内角，按步骤计算即可得到结果。
【难度系数】
0.8
6. [2025合肥期末]如图，F是$△ ABC$的边BC延长线上的一点，$DF ⊥ AB$，$∠ A = 30°$，$∠ F = 40°$，求$∠ ACF$的度数. 
答案
6.解: $∠ACF=80°$.
解析
【分析】
解题时首先从已知的垂直条件入手，DF⊥AB可得△BDF是直角三角形，利用直角三角形两个锐角互余的性质可求出∠B的度数；再观察∠ACF是△ABC的外角，根据三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和的性质，代入∠A和已求出的∠B的度数，即可计算得到∠ACF的度数。
【解析】
解：
∵DF⊥AB，
∴∠BDF=90°，
在Rt△BDF中，∠B+∠F=90°，
∵∠F=40°，
∴∠B=90°-∠F=90°-40°=50°，
又
∵∠ACF是△ABC的外角，
∴∠ACF=∠A+∠B，
∵∠A=30°，
∴∠ACF=30°+50°=80°。
【答案】
∠ACF=80°
【知识点】
直角三角形两锐角互余；三角形外角的性质
【点评】
本题是基础几何计算题，将直角三角形的内角性质和三角形外角性质结合考查，解题的关键是先通过直角三角形求出∠B的度数，再利用外角性质求解，熟练掌握相关性质即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
解题时首先从已知的垂直条件入手，DF⊥AB可得△BDF是直角三角形，利用直角三角形两个锐角互余的性质可求出∠B的度数；再观察∠ACF是△ABC的外角，根据三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和的性质，代入∠A和已求出的∠B的度数，即可计算得到∠ACF的度数。
【解析】
解：
∵DF⊥AB，
∴∠BDF=90°，
在Rt△BDF中，∠B+∠F=90°，
∵∠F=40°，
∴∠B=90°-∠F=90°-40°=50°，
又
∵∠ACF是△ABC的外角，
∴∠ACF=∠A+∠B，
∵∠A=30°，
∴∠ACF=30°+50°=80°。
【答案】
∠ACF=80°
【知识点】
直角三角形两锐角互余；三角形外角的性质
【点评】
本题是基础几何计算题，将直角三角形的内角性质和三角形外角性质结合考查，解题的关键是先通过直角三角形求出∠B的度数，再利用外角性质求解，熟练掌握相关性质即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
7. [2026 宿州期末]已知一个三角形的三个外角的度数比为$2:3:4$，则它的最小的外角的度数为
80°
。答案
7.80°
解析
【分析】
解题时首先要明确三角形的外角和为固定值360°，题目给出三个外角的度数比为2:3:4，我们可以设每份的度数为x，将三个外角分别表示为2x、3x、4x，再根据外角和为360°列方程求解x的值，最后最小的外角对应比例最小的2x，代入计算即可得到结果。
【解析】
解：设三角形三个外角的度数分别为2x、3x、4x。
根据三角形外角和定理，三角形的外角和为360°，可列方程：
$2x + 3x + 4x = 360°$
合并同类项得：$9x = 360°$
解得：$x = 40°$
则最小的外角为$2x = 2×40° = 80°$
【答案】
$80°$
【知识点】
1. 三角形外角和定理
2. 按比例分配计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对三角形外角和定理的掌握，结合比例关系设未知数列方程是常用的解题方法，只要牢记三角形外角和为360°即可轻松求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确三角形的外角和为固定值360°，题目给出三个外角的度数比为2:3:4，我们可以设每份的度数为x，将三个外角分别表示为2x、3x、4x，再根据外角和为360°列方程求解x的值，最后最小的外角对应比例最小的2x，代入计算即可得到结果。
【解析】
解：设三角形三个外角的度数分别为2x、3x、4x。
根据三角形外角和定理，三角形的外角和为360°，可列方程：
$2x + 3x + 4x = 360°$
合并同类项得：$9x = 360°$
解得：$x = 40°$
则最小的外角为$2x = 2×40° = 80°$
【答案】
$80°$
【知识点】
1. 三角形外角和定理
2. 按比例分配计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对三角形外角和定理的掌握，结合比例关系设未知数列方程是常用的解题方法，只要牢记三角形外角和为360°即可轻松求解。
【难度系数】
0.8
8. 立德树人·传统文化 榫卯结构是中国古代建筑、家具的核心工艺，被列入国家级非物质文化遗产. 如图①是榫卯结构的一种，图②是它的示意图，已知$∠ 1 = ∠ 2 = 120°$，那么$∠ 3 =$
【补充设问】如图③，若$∠ 3 = 114°$，则$∠ 1 + ∠ 2 =$
120
°.【补充设问】如图③，若$∠ 3 = 114°$，则$∠ 1 + ∠ 2 =$
246
°.答案
8.120 【补充设问】246
解析
【分析】
本题考查三角形内角和定理的应用，解题思路如下：
1. 观察图形特征，可通过延长角的边构造三角形，发现∠1、∠2、∠3分别与构造出的三角形的三个内角互为邻补角；
2. 根据三角形内角和为180°，结合平角的定义，推导得出三个角的数量关系为$∠1+∠2+∠3=360°$；
3. 将已知角度代入数量关系，即可计算出待求角度。
【解析】
将∠1、∠2和∠3的边延长，可围成一个三角形，该三角形的三个内角分别为$180°-∠1$、$180°-∠2$、$180°-∠3$。
根据三角形内角和为$180°$，可得等式：
$(180°-∠1)+(180°-∠2)+(180°-∠3)=180°$
整理得：$∠1+∠2+∠3=360°$。
原题计算：
已知$∠1=∠2=120°$，代入上述关系式得：
$∠3=360° - 120° - 120°=120°$。
补充设问计算：
已知$∠3=114°$，代入上述关系式得：
$∠1+∠2=360° - 114°=246°$。
【答案】
120；【补充设问】246
【知识点】
三角形内角和定理，平角的定义，角的运算
【点评】
本题结合中国传统榫卯结构出题，考查了三角形内角和的灵活应用，解题的关键是构造三角形梳理出三个角的数量关系，体现了数学和传统文化、实际生活的结合。
【难度系数】
0.7
本题考查三角形内角和定理的应用，解题思路如下：
1. 观察图形特征，可通过延长角的边构造三角形，发现∠1、∠2、∠3分别与构造出的三角形的三个内角互为邻补角；
2. 根据三角形内角和为180°，结合平角的定义，推导得出三个角的数量关系为$∠1+∠2+∠3=360°$；
3. 将已知角度代入数量关系，即可计算出待求角度。
【解析】
将∠1、∠2和∠3的边延长，可围成一个三角形，该三角形的三个内角分别为$180°-∠1$、$180°-∠2$、$180°-∠3$。
根据三角形内角和为$180°$，可得等式：
$(180°-∠1)+(180°-∠2)+(180°-∠3)=180°$
整理得：$∠1+∠2+∠3=360°$。
原题计算：
已知$∠1=∠2=120°$，代入上述关系式得：
$∠3=360° - 120° - 120°=120°$。
补充设问计算：
已知$∠3=114°$，代入上述关系式得：
$∠1+∠2=360° - 114°=246°$。
【答案】
120；【补充设问】246
【知识点】
三角形内角和定理，平角的定义，角的运算
【点评】
本题结合中国传统榫卯结构出题，考查了三角形内角和的灵活应用，解题的关键是构造三角形梳理出三个角的数量关系，体现了数学和传统文化、实际生活的结合。
【难度系数】
0.7
