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5. 将下列各式转化为 $ m(x-h)^2 + k $ 的形式：
(1) $ 2x^2 -6x +9 $；
(2) $ -3x^2 -6x +2 $。
(1) $ 2x^2 -6x +9 $；
(2) $ -3x^2 -6x +2 $。
答案
5.(1)$2(x-\frac{3}{2})^2+\frac{9}{2}$。(2)$-3(x+1)^2+5$。
解析
【分析】
本题要求将二次三项式转化为顶点式，核心方法是配方法，解题思路可分为三步：①先提取二次项系数，将二次项、一次项放在括号内，常数项单独留在括号外；②在括号内加上一次项系数一半的平方，同时减去这个数保证整式的值不变，将括号内的部分凑成完全平方式；③展开并合并常数项，整理为$m(x-h)^2 + k$的形式。注意提取负的二次项系数时，括号内各项要变号，计算常数项时避免符号错误。
【解析】
(1) 对$2x^2 -6x +9$配方：
第一步，提取二次项系数2：
$2x^2 -6x +9 = 2(x^2 - 3x) + 9$
第二步，括号内凑完全平方：一次项系数为$-3$，一半的平方为$(\frac{-3}{2})^2=\frac{9}{4}$，则：
$=2[(x^2 -3x + \frac{9}{4}) - \frac{9}{4}] +9$
第三步，展开合并常数项：
$=2(x-\frac{3}{2})^2 - 2×\frac{9}{4} +9$
$=2(x-\frac{3}{2})^2 - \frac{9}{2} + 9$
$=2(x-\frac{3}{2})^2 + \frac{9}{2}$
(2) 对$-3x^2 -6x +2$配方：
第一步，提取二次项系数$-3$：
$-3x^2 -6x +2 = -3(x^2 + 2x) + 2$
第二步，括号内凑完全平方：一次项系数为$2$，一半的平方为$1^2=1$，则：
$=-3[(x^2 +2x +1) -1] +2$
第三步，展开合并常数项：
$=-3(x+1)^2 + (-3)×(-1) +2$
$=-3(x+1)^2 +3 +2$
$=-3(x+1)^2 +5$
【答案】
(1)$2(x-\frac{3}{2})^2+\frac{9}{2}$；(2)$-3(x+1)^2+5$
【知识点】
配方法，完全平方公式，整式恒等变形
【点评】
本题是配方法的基础应用，熟练掌握提二次项系数、凑完全平方的操作步骤，注意符号运算的准确性，是解决这类问题的核心，这类配方运算也是后续学习一元二次方程求解、二次函数性质的重要基础。
【难度系数】
0.8
本题要求将二次三项式转化为顶点式，核心方法是配方法，解题思路可分为三步：①先提取二次项系数，将二次项、一次项放在括号内，常数项单独留在括号外；②在括号内加上一次项系数一半的平方，同时减去这个数保证整式的值不变，将括号内的部分凑成完全平方式；③展开并合并常数项，整理为$m(x-h)^2 + k$的形式。注意提取负的二次项系数时，括号内各项要变号，计算常数项时避免符号错误。
【解析】
(1) 对$2x^2 -6x +9$配方：
第一步，提取二次项系数2：
$2x^2 -6x +9 = 2(x^2 - 3x) + 9$
第二步，括号内凑完全平方：一次项系数为$-3$，一半的平方为$(\frac{-3}{2})^2=\frac{9}{4}$，则：
$=2[(x^2 -3x + \frac{9}{4}) - \frac{9}{4}] +9$
第三步，展开合并常数项：
$=2(x-\frac{3}{2})^2 - 2×\frac{9}{4} +9$
$=2(x-\frac{3}{2})^2 - \frac{9}{2} + 9$
$=2(x-\frac{3}{2})^2 + \frac{9}{2}$
(2) 对$-3x^2 -6x +2$配方：
第一步，提取二次项系数$-3$：
$-3x^2 -6x +2 = -3(x^2 + 2x) + 2$
第二步，括号内凑完全平方：一次项系数为$2$，一半的平方为$1^2=1$，则：
$=-3[(x^2 +2x +1) -1] +2$
第三步，展开合并常数项：
$=-3(x+1)^2 + (-3)×(-1) +2$
$=-3(x+1)^2 +3 +2$
$=-3(x+1)^2 +5$
【答案】
(1)$2(x-\frac{3}{2})^2+\frac{9}{2}$；(2)$-3(x+1)^2+5$
【知识点】
配方法，完全平方公式，整式恒等变形
【点评】
本题是配方法的基础应用，熟练掌握提二次项系数、凑完全平方的操作步骤，注意符号运算的准确性，是解决这类问题的核心，这类配方运算也是后续学习一元二次方程求解、二次函数性质的重要基础。
【难度系数】
0.8
6.【数学应用】如图，在打印图片之前，为确定打印区域，需设置纸张大小和页边距（纸张的边线到打印区域的距离），上、下、左、右页边距分别为 $ a $ cm，$ b $ cm，$ c $ cm，$ d $ cm。考虑到整体的美观性，要求各页边距相等并使打印区域的面积占纸张的70％，若纸张大小为16 cm×10 cm，应如何设置页边距？
答案
6.解:设页边距为x cm。
根据题意得$(16-2x)(10-2x)=16×10×70\%$，
解得$x_1=1,x_2=12$(不合题意,舍去)，
故页边距应设置为1 cm。
根据题意得$(16-2x)(10-2x)=16×10×70\%$，
解得$x_1=1,x_2=12$(不合题意,舍去)，
故页边距应设置为1 cm。
解析
【分析】
首先题目明确要求各页边距相等，因此可统一设页边距为$ x $ cm。先推导打印区域的长和宽：纸张长为16 cm，左右页边距各为$ x $ cm，因此打印区域的长为$ (16-2x) $ cm；纸张宽为10 cm，上下页边距各为$ x $ cm，因此打印区域的宽为$ (10-2x) $ cm。再根据“打印区域面积占纸张面积的70%”这一等量关系列一元二次方程求解，最后结合实际情况取舍根，页边距长度不能超过纸张边长。
【解析】
解：设页边距为$ x $ cm。
根据题意列方程：
$ (16-2x)(10-2x) = 16 × 10 × 70\% $
展开整理得：$ 4x^2 -52x +48 =0 $，化简为$ x^2 -13x +12=0 $
因式分解得：$ (x-1)(x-12)=0 $
解得$ x_1=1 $，$ x_2=12 $
当$ x=12 $时，$ 10-2x=-14＜0 $，不符合实际意义，故舍去。
因此$ x=1 $。
【答案】
页边距应设置为1 cm。
【知识点】
一元二次方程的应用；矩形面积计算；一元二次方程求解
【点评】
本题结合生活中打印页边距设置的实际场景，考查一元二次方程的实际应用，解题关键是找准等量关系列方程，同时要注意结合实际意义对解进行检验，舍去不符合实际的根。
【难度系数】
0.7
首先题目明确要求各页边距相等，因此可统一设页边距为$ x $ cm。先推导打印区域的长和宽：纸张长为16 cm，左右页边距各为$ x $ cm，因此打印区域的长为$ (16-2x) $ cm；纸张宽为10 cm，上下页边距各为$ x $ cm，因此打印区域的宽为$ (10-2x) $ cm。再根据“打印区域面积占纸张面积的70%”这一等量关系列一元二次方程求解，最后结合实际情况取舍根，页边距长度不能超过纸张边长。
【解析】
解：设页边距为$ x $ cm。
根据题意列方程：
$ (16-2x)(10-2x) = 16 × 10 × 70\% $
展开整理得：$ 4x^2 -52x +48 =0 $，化简为$ x^2 -13x +12=0 $
因式分解得：$ (x-1)(x-12)=0 $
解得$ x_1=1 $，$ x_2=12 $
当$ x=12 $时，$ 10-2x=-14＜0 $，不符合实际意义，故舍去。
因此$ x=1 $。
【答案】
页边距应设置为1 cm。
【知识点】
一元二次方程的应用；矩形面积计算；一元二次方程求解
【点评】
本题结合生活中打印页边距设置的实际场景，考查一元二次方程的实际应用，解题关键是找准等量关系列方程，同时要注意结合实际意义对解进行检验，舍去不符合实际的根。
【难度系数】
0.7
7. 判断下面求代数式$3x^2 -6x +4$的最小值的解答过程是否正确，若不正确，请改正。
解:$3x^2 -6x +4 = x^2 -2x + \frac{4}{3} = x^2 -2x +1 -1 + \frac{4}{3} = (x-1)^2 + \frac{1}{3}$。
$\because (x-1)^2 ≥ 0, \therefore (x-1)^2 + \frac{1}{3} ≥ \frac{1}{3}$。
所以代数式$3x^2 -6x +4$的最小值是$\frac{1}{3}$。
解:$3x^2 -6x +4 = x^2 -2x + \frac{4}{3} = x^2 -2x +1 -1 + \frac{4}{3} = (x-1)^2 + \frac{1}{3}$。
$\because (x-1)^2 ≥ 0, \therefore (x-1)^2 + \frac{1}{3} ≥ \frac{1}{3}$。
所以代数式$3x^2 -6x +4$的最小值是$\frac{1}{3}$。
答案
7.解:不正确。改正如下：
$3x^2-6x+4=3(x^2-2x+\frac{4}{3})=3(x^2-2x+1-1+\frac{4}{3})=3[(x-1)^2+\frac{1}{3}]=3(x-1)^2+1$。
$\because 3(x-1)^2≥0,\therefore 3(x-1)^2+1≥1$。
所以代数式$3x^2-6x+4$的最小值是1。
$3x^2-6x+4=3(x^2-2x+\frac{4}{3})=3(x^2-2x+1-1+\frac{4}{3})=3[(x-1)^2+\frac{1}{3}]=3(x-1)^2+1$。
$\because 3(x-1)^2≥0,\therefore 3(x-1)^2+1≥1$。
所以代数式$3x^2-6x+4$的最小值是1。
解析
【分析】
要判断该解答是否正确，首先回忆配方法求二次三项式最值的规范步骤：对于二次项系数不为1的二次三项式，需先提取二次项系数，将括号内的二次项系数化为1后再配方，全程不能改变原式的大小。原解答第一步直接将整个代数式除以3，相当于把原式变为原来的$\frac{1}{3}$，改变了原式的值，因此计算出的最小值是错误的。正确的解题思路为：先提取二次项系数3，仅对括号内的二次式进行配方，再还原回原式的形式，最后根据偶次方的非负性求最小值。
【解析】
解答过程不正确，改正过程如下：
首先对代数式提取二次项系数3，再对括号内的部分配方：
$3x^2-6x+4=3(x^2-2x+\frac{4}{3})$
$=3(x^2-2x+1-1+\frac{4}{3})$
$=3[(x-1)^2+\frac{1}{3}]$
$=3(x-1)^2+1$
根据平方的非负性可知，$(x-1)^2≥0$，因此$3(x-1)^2≥0$，可得$3(x-1)^2 +1≥ 1$，当$x=1$时，代数式取到最小值。
【答案】
不正确。改正如下：
$3x^2-6x+4=3(x^2-2x+\frac{4}{3})=3(x^2-2x+1-1+\frac{4}{3})=3[(x-1)^2+\frac{1}{3}]=3(x-1)^2+1$。
$\because 3(x-1)^2≥0,\therefore 3(x-1)^2+1≥1$。
所以代数式$3x^2 -6x +4$的最小值是1。
【知识点】
配方法的应用；完全平方公式；非负数的性质
【点评】
本题考查利用配方法求二次三项式的最值，是配方法应用的典型易错题，解题的关键是掌握配方法的正确步骤：二次项系数不为1时，要先提取二次项系数，仅对括号内的式子配方，避免改变原式的大小。
【难度系数】
0.7
要判断该解答是否正确，首先回忆配方法求二次三项式最值的规范步骤：对于二次项系数不为1的二次三项式，需先提取二次项系数，将括号内的二次项系数化为1后再配方，全程不能改变原式的大小。原解答第一步直接将整个代数式除以3，相当于把原式变为原来的$\frac{1}{3}$，改变了原式的值，因此计算出的最小值是错误的。正确的解题思路为：先提取二次项系数3，仅对括号内的二次式进行配方，再还原回原式的形式，最后根据偶次方的非负性求最小值。
【解析】
解答过程不正确，改正过程如下：
首先对代数式提取二次项系数3，再对括号内的部分配方：
$3x^2-6x+4=3(x^2-2x+\frac{4}{3})$
$=3(x^2-2x+1-1+\frac{4}{3})$
$=3[(x-1)^2+\frac{1}{3}]$
$=3(x-1)^2+1$
根据平方的非负性可知，$(x-1)^2≥0$，因此$3(x-1)^2≥0$，可得$3(x-1)^2 +1≥ 1$，当$x=1$时，代数式取到最小值。
【答案】
不正确。改正如下：
$3x^2-6x+4=3(x^2-2x+\frac{4}{3})=3(x^2-2x+1-1+\frac{4}{3})=3[(x-1)^2+\frac{1}{3}]=3(x-1)^2+1$。
$\because 3(x-1)^2≥0,\therefore 3(x-1)^2+1≥1$。
所以代数式$3x^2 -6x +4$的最小值是1。
【知识点】
配方法的应用；完全平方公式；非负数的性质
【点评】
本题考查利用配方法求二次三项式的最值，是配方法应用的典型易错题，解题的关键是掌握配方法的正确步骤：二次项系数不为1时，要先提取二次项系数，仅对括号内的式子配方，避免改变原式的大小。
【难度系数】
0.7
8.【数学应用】如图，某校开辟了一块长20 m、宽14 m的矩形地块作为种植园，用于种植作物。为了方便耕作管理，学校在种植园的四周和内部修建了宽度相同的小路（图中阴影部分）。小路把种植园分成面积均为24 m²的9个矩形地块，请你求出小路的宽度。
答案
8.解:设小路的宽度为x m。
根据题意得$(20-4x)(14-4x)=24×9$，
解得$x_1=\frac{1}{2},x_2=8$(不合题意,舍去)。
故小路的宽度为$\frac{1}{2}$ m。
根据题意得$(20-4x)(14-4x)=24×9$，
解得$x_1=\frac{1}{2},x_2=8$(不合题意,舍去)。
故小路的宽度为$\frac{1}{2}$ m。
解析
【分析】
解决这道题可以按以下思路思考：1. 首先设小路的宽度为x m；2. 观察图形可知9个种植地块为3行3列排布，竖直方向共有4条宽度为x的小路，水平方向也有4条宽度为x的小路，由此可推出所有种植地块拼合后的总长度为(20-4x)m，总宽度为(14-4x)m；3. 种植地块的总面积为9个小矩形的面积之和，即24×9 m²，结合矩形面积公式即可列出一元二次方程；4. 解方程后结合实际场景，舍去不符合现实意义的根，即可得到小路的宽度。
【解析】
解：设小路的宽度为x m。
根据题意，种植区域的总面积等于9个小矩形的面积之和，可列方程：
$(20-4x)(14-4x)=24×9$
整理得：
$16x^2-136x+64=0$
化简为：
$2x^2-17x+8=0$
因式分解得：
$(2x-1)(x-8)=0$
解得$x_1=\frac{1}{2}$，$x_2=8$。
当$x=8$时，$4x=32＞20$，不符合地块的实际尺寸，故舍去。
【答案】
$\frac{1}{2}$ m
【知识点】
一元二次方程应用、矩形面积计算、实际问题验根
【点评】
这是典型的结合几何图形的方程应用题，解题关键是准确梳理小路的数量，正确表示出种植区域的长和宽，同时要注意求解后需验证根是否符合实际意义，避免出现不符合现实的结果。
【难度系数】
0.7
解决这道题可以按以下思路思考：1. 首先设小路的宽度为x m；2. 观察图形可知9个种植地块为3行3列排布，竖直方向共有4条宽度为x的小路，水平方向也有4条宽度为x的小路，由此可推出所有种植地块拼合后的总长度为(20-4x)m，总宽度为(14-4x)m；3. 种植地块的总面积为9个小矩形的面积之和，即24×9 m²，结合矩形面积公式即可列出一元二次方程；4. 解方程后结合实际场景，舍去不符合现实意义的根，即可得到小路的宽度。
【解析】
解：设小路的宽度为x m。
根据题意，种植区域的总面积等于9个小矩形的面积之和，可列方程：
$(20-4x)(14-4x)=24×9$
整理得：
$16x^2-136x+64=0$
化简为：
$2x^2-17x+8=0$
因式分解得：
$(2x-1)(x-8)=0$
解得$x_1=\frac{1}{2}$，$x_2=8$。
当$x=8$时，$4x=32＞20$，不符合地块的实际尺寸，故舍去。
【答案】
$\frac{1}{2}$ m
【知识点】
一元二次方程应用、矩形面积计算、实际问题验根
【点评】
这是典型的结合几何图形的方程应用题，解题关键是准确梳理小路的数量，正确表示出种植区域的长和宽，同时要注意求解后需验证根是否符合实际意义，避免出现不符合现实的结果。
【难度系数】
0.7
