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9. 小明在网上看到解一元二次方程 $x(x+4)=6$ 的一种方法，笔记如下。
解:原方程可变形，得$[(x+2)-2][(x+2)+2]=6$，
所以$(x+2)^2 - 2^2 =6$。
移项，得$(x+2)^2=6+2^2$，即$(x+2)^2=10$。
两边开平方，得 $x+2=\pm\sqrt{10}$，
即 $x+2=\sqrt{10}$，或 $x+2=-\sqrt{10}$。
所以 $x_1=-2+\sqrt{10},x_2=-2-\sqrt{10}$。
因为其中 $x+2=\frac{x+(x+4)}{2}$，所以小明称这种解法为“平均数法”。
(1)小明尝试用这种方法解方程$(2x+3)(2x+7)=5$，并与同学分享。他在解题过程中用字母代替了一些数，让同学补充。下面是他的解题过程。
解:原方程可变形，得$[(2x+a)-b][(2x+a)+b]=5$，
所以$(2x+a)^2 -b^2=5$。
移项，得$(2x+a)^2=5+b^2$。
解得 $x_1=c,x_2=d$。
上述过程中，$a=$
(2)请你用“平均数法”解方程:
$(x-5)(x+3)=6$。
解:原方程可变形，得$[(x+2)-2][(x+2)+2]=6$，
所以$(x+2)^2 - 2^2 =6$。
移项，得$(x+2)^2=6+2^2$，即$(x+2)^2=10$。
两边开平方，得 $x+2=\pm\sqrt{10}$，
即 $x+2=\sqrt{10}$，或 $x+2=-\sqrt{10}$。
所以 $x_1=-2+\sqrt{10},x_2=-2-\sqrt{10}$。
因为其中 $x+2=\frac{x+(x+4)}{2}$，所以小明称这种解法为“平均数法”。
(1)小明尝试用这种方法解方程$(2x+3)(2x+7)=5$，并与同学分享。他在解题过程中用字母代替了一些数，让同学补充。下面是他的解题过程。
解:原方程可变形，得$[(2x+a)-b][(2x+a)+b]=5$，
所以$(2x+a)^2 -b^2=5$。
移项，得$(2x+a)^2=5+b^2$。
解得 $x_1=c,x_2=d$。
上述过程中，$a=$
5
，$b=$ 2
，$c=$ -1
，$d=$ -4
。(2)请你用“平均数法”解方程:
$(x-5)(x+3)=6$。
答案
9.(1)5 2 -1 -4(或5 2 -4 -1)
(2)解:原方程可变形,得$[(x-1)-4][(x-1)+4]=6$,所以$(x-1)^2-4^2=6$。
移项,得$(x-1)^2=6+4^2$,即$(x-1)^2=22$。
两边开平方,得$x-1=\pm\sqrt{22}$,
即$x-1=\sqrt{22}$,或$x-1=-\sqrt{22}$。
所以$x_1=1+\sqrt{22},x_2=1-\sqrt{22}$。
(2)解:原方程可变形,得$[(x-1)-4][(x-1)+4]=6$,所以$(x-1)^2-4^2=6$。
移项,得$(x-1)^2=6+4^2$,即$(x-1)^2=22$。
两边开平方,得$x-1=\pm\sqrt{22}$,
即$x-1=\sqrt{22}$,或$x-1=-\sqrt{22}$。
所以$x_1=1+\sqrt{22},x_2=1-\sqrt{22}$。
解析
【分析】
本题的“平均数法”核心是利用平方差公式简化一元二次方程的求解：先找到两个一次因式中常数项的平均数，将“含未知数的公共部分+平均数”作为整体，把原方程变形为平方差的形式，再通过直接开平方法求解。
(1) 针对方程$(2x+3)(2x+7)=5$，两个一次因式的常数项为3和7，先算两者的平均数可得a，再根据平方差的结构求b，最后解方程得到两个根c、d；
(2) 针对方程$(x-5)(x+3)=6$，先计算-5和3的平均数，构造平方差结构后按步骤求解即可。
【解析】
(1) 对于$(2x+3)(2x+7)$，两个常数项3和7的平均数为$\frac{3+7}{2}=5$，因此$a=5$；
观察结构：$(2x+5)-b=2x+3$，解得$b=2$，验证$(2x+5)+2=2x+7$，符合要求；
将$a=5,b=2$代入得：$(2x+5)^2=5+2^2=9$，
两边开平方得$2x+5=\pm3$，
当$2x+5=3$时，解得$x=-1$；当$2x+5=-3$时，解得$x=-4$，
因此$c=-1,d=-4$（或$c=-4,d=-1$）。
(2) 原方程可变形，得$[(x-1)-4][(x-1)+4]=6$，
所以$(x-1)^2 - 4^2=6$，
移项，得$(x-1)^2=6+4^2$，即$(x-1)^2=22$，
两边开平方，得$x-1=\pm\sqrt{22}$，
即$x-1=\sqrt{22}$，或$x-1=-\sqrt{22}$，
所以$x_1=1+\sqrt{22},x_2=1-\sqrt{22}$。
【答案】
(1) 5，2，-1，-4（或5，2，-4，-1）
(2) $x_1=1+\sqrt{22},x_2=1-\sqrt{22}$
【知识点】
平方差公式，直接开平方法，一元二次方程解法
【点评】
这种“平均数法”是配方法的灵活变形，通过构造平方差公式减少计算量，解题关键是准确计算两个一次因式常数项的平均数，确定整体代换的式子，再按照直接开平方法的步骤求解即可，思路清晰，计算难度低。
【难度系数】
0.7
本题的“平均数法”核心是利用平方差公式简化一元二次方程的求解：先找到两个一次因式中常数项的平均数，将“含未知数的公共部分+平均数”作为整体，把原方程变形为平方差的形式，再通过直接开平方法求解。
(1) 针对方程$(2x+3)(2x+7)=5$，两个一次因式的常数项为3和7，先算两者的平均数可得a，再根据平方差的结构求b，最后解方程得到两个根c、d；
(2) 针对方程$(x-5)(x+3)=6$，先计算-5和3的平均数，构造平方差结构后按步骤求解即可。
【解析】
(1) 对于$(2x+3)(2x+7)$，两个常数项3和7的平均数为$\frac{3+7}{2}=5$，因此$a=5$；
观察结构：$(2x+5)-b=2x+3$，解得$b=2$，验证$(2x+5)+2=2x+7$，符合要求；
将$a=5,b=2$代入得：$(2x+5)^2=5+2^2=9$，
两边开平方得$2x+5=\pm3$，
当$2x+5=3$时，解得$x=-1$；当$2x+5=-3$时，解得$x=-4$，
因此$c=-1,d=-4$（或$c=-4,d=-1$）。
(2) 原方程可变形，得$[(x-1)-4][(x-1)+4]=6$，
所以$(x-1)^2 - 4^2=6$，
移项，得$(x-1)^2=6+4^2$，即$(x-1)^2=22$，
两边开平方，得$x-1=\pm\sqrt{22}$，
即$x-1=\sqrt{22}$，或$x-1=-\sqrt{22}$，
所以$x_1=1+\sqrt{22},x_2=1-\sqrt{22}$。
【答案】
(1) 5，2，-1，-4（或5，2，-4，-1）
(2) $x_1=1+\sqrt{22},x_2=1-\sqrt{22}$
【知识点】
平方差公式，直接开平方法，一元二次方程解法
【点评】
这种“平均数法”是配方法的灵活变形，通过构造平方差公式减少计算量，解题关键是准确计算两个一次因式常数项的平均数，确定整体代换的式子，再按照直接开平方法的步骤求解即可，思路清晰，计算难度低。
【难度系数】
0.7
10. 阅读下面材料，完成相应的任务。
配方法是数学中一种重要的思想方法，它是将一个式子或等式通过恒等变形化为一个完全平方式或多个完全平方式之和的形式，根据“如果实数$a,b$满足$a^2 + b^2 = 0$，那么$a = b = 0$”解决问题。
如：已知$m^2 - 2mn + 2n^2 - 6n + 9 = 0$，求$m,n$的值。
解：$\because m^2 - 2mn + 2n^2 - 6n + 9 = 0$，
$\therefore (m^2 - 2mn + n^2) + (n^2 - 6n + 9) = 0$，
即$(m - n)^2 + (n - 3)^2 = 0$，
$\therefore (m - n)^2 = 0, (n - 3)^2 = 0$，
$\therefore m = n, n = 3, \therefore m = 3, n = 3$。
类比尝试
(1)若$x^2 + y^2 + 8x - 2y + 17 = 0$，求$x + 3y$的值；
灵活运用
(2)如果$a,b,c,d$都是实数，且$a^2d^2 + b^2(d^2 + 1) + c^2 + 2b(a + c)d = 0$，求证：$b^2 = ac$。
配方法是数学中一种重要的思想方法，它是将一个式子或等式通过恒等变形化为一个完全平方式或多个完全平方式之和的形式，根据“如果实数$a,b$满足$a^2 + b^2 = 0$，那么$a = b = 0$”解决问题。
如：已知$m^2 - 2mn + 2n^2 - 6n + 9 = 0$，求$m,n$的值。
解：$\because m^2 - 2mn + 2n^2 - 6n + 9 = 0$，
$\therefore (m^2 - 2mn + n^2) + (n^2 - 6n + 9) = 0$，
即$(m - n)^2 + (n - 3)^2 = 0$，
$\therefore (m - n)^2 = 0, (n - 3)^2 = 0$，
$\therefore m = n, n = 3, \therefore m = 3, n = 3$。
类比尝试
(1)若$x^2 + y^2 + 8x - 2y + 17 = 0$，求$x + 3y$的值；
灵活运用
(2)如果$a,b,c,d$都是实数，且$a^2d^2 + b^2(d^2 + 1) + c^2 + 2b(a + c)d = 0$，求证：$b^2 = ac$。
答案
10.(1)解:原式整理,得$(x^2+8x+16)+(y^2-2y+1)=0,\therefore (x+4)^2+(y-1)^2=0$,
$\therefore (x+4)^2=0,(y-1)^2=0,\therefore x=-4,y=1$,
$\therefore x+3y=-4+3×1=-1$。
(2)证明:原式整理,得
$(a^2d^2+2abd+b^2)+(b^2d^2+2bcd+c^2)=0$。
$\therefore (ad+b)^2+(bd+c)^2=0$。
$\therefore ad+b=0,bd+c=0$。
①在$ad+b=0$中,当$a=0$时,$b=0$。
由$bd+c=0$,得$c=0$。
所以$b^2=ac$。
②在$ad+b=0$中,当$a≠0$时,$d=-\frac{b}{a}$。
代入$bd+c=0$,得$-\frac{b^2}{a}+c=0$。
整理,得$b^2=ac$。
综上所述,$b^2=ac$。
$\therefore (x+4)^2=0,(y-1)^2=0,\therefore x=-4,y=1$,
$\therefore x+3y=-4+3×1=-1$。
(2)证明:原式整理,得
$(a^2d^2+2abd+b^2)+(b^2d^2+2bcd+c^2)=0$。
$\therefore (ad+b)^2+(bd+c)^2=0$。
$\therefore ad+b=0,bd+c=0$。
①在$ad+b=0$中,当$a=0$时,$b=0$。
由$bd+c=0$,得$c=0$。
所以$b^2=ac$。
②在$ad+b=0$中,当$a≠0$时,$d=-\frac{b}{a}$。
代入$bd+c=0$,得$-\frac{b^2}{a}+c=0$。
整理,得$b^2=ac$。
综上所述,$b^2=ac$。
解析
【分析】
本题考查配方法的应用，解题思路如下：（1）对于给定的二元二次方程，先将含x的项、含y的项分别分组，再利用完全平方公式将两组分别配方为两个完全平方式相加的形式；根据偶次方的非负性，两个非负数的和为0，则每一项都为0，即可求出x、y的值，代入计算x+3y即可。（2）先将原式展开后合理分组，凑出两个完全平方式相加的形式，同样利用非负性得到两个关于d的一次等式；再分a=0和a≠0两种情况讨论，消去参数d后即可证明b²=ac。
【解析】
(1) 解：对原式进行整理分组，得
$(x^2+8x+16)+(y^2-2y+1)=0$，
$\therefore (x+4)^2+(y-1)^2=0$，
$\because$ 平方数具有非负性，$\therefore (x+4)^2=0$，$(y-1)^2=0$，
解得 $x=-4$，$y=1$，
$\therefore x+3y=-4+3×1=-1$。
(2) 证明：对原式展开并整理分组，得
$(a^2d^2+2abd+b^2)+(b^2d^2+2bcd+c^2)=0$，
$\therefore (ad+b)^2+(bd+c)^2=0$，
由平方的非负性可得：$ad+b=0$，$bd+c=0$。
① 当$a=0$时，由$ad+b=0$得$b=0$，代入$bd+c=0$得$c=0$，
此时$b^2=0$，$ac=0$，故$b^2=ac$成立；
② 当$a≠0$时，由$ad+b=0$可得$d=-\frac{b}{a}$，
将$d=-\frac{b}{a}$代入$bd+c=0$，得$b·(-\frac{b}{a})+c=0$，
整理得 $-\frac{b^2}{a}+c=0$，即$b^2=ac$。
综上所述，$b^2=ac$得证。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-1}$；(2) $\boldsymbol{b^2=ac}$，证明成立。
【知识点】
配方法的应用，完全平方公式，非负数的性质
【点评】
本题是配方法的典型应用类题目，核心是通过合理分组将多项式变形为多个完全平方式之和的形式，再结合非负数的性质求解或推导结论，第二问需注意对参数a进行分类讨论，避免忽略a=0的特殊情况，有效考查代数式恒等变形能力和逻辑严谨性。
【难度系数】
0.6
本题考查配方法的应用，解题思路如下：（1）对于给定的二元二次方程，先将含x的项、含y的项分别分组，再利用完全平方公式将两组分别配方为两个完全平方式相加的形式；根据偶次方的非负性，两个非负数的和为0，则每一项都为0，即可求出x、y的值，代入计算x+3y即可。（2）先将原式展开后合理分组，凑出两个完全平方式相加的形式，同样利用非负性得到两个关于d的一次等式；再分a=0和a≠0两种情况讨论，消去参数d后即可证明b²=ac。
【解析】
(1) 解：对原式进行整理分组，得
$(x^2+8x+16)+(y^2-2y+1)=0$，
$\therefore (x+4)^2+(y-1)^2=0$，
$\because$ 平方数具有非负性，$\therefore (x+4)^2=0$，$(y-1)^2=0$，
解得 $x=-4$，$y=1$，
$\therefore x+3y=-4+3×1=-1$。
(2) 证明：对原式展开并整理分组，得
$(a^2d^2+2abd+b^2)+(b^2d^2+2bcd+c^2)=0$，
$\therefore (ad+b)^2+(bd+c)^2=0$，
由平方的非负性可得：$ad+b=0$，$bd+c=0$。
① 当$a=0$时，由$ad+b=0$得$b=0$，代入$bd+c=0$得$c=0$，
此时$b^2=0$，$ac=0$，故$b^2=ac$成立；
② 当$a≠0$时，由$ad+b=0$可得$d=-\frac{b}{a}$，
将$d=-\frac{b}{a}$代入$bd+c=0$，得$b·(-\frac{b}{a})+c=0$，
整理得 $-\frac{b^2}{a}+c=0$，即$b^2=ac$。
综上所述，$b^2=ac$得证。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-1}$；(2) $\boldsymbol{b^2=ac}$，证明成立。
【知识点】
配方法的应用，完全平方公式，非负数的性质
【点评】
本题是配方法的典型应用类题目，核心是通过合理分组将多项式变形为多个完全平方式之和的形式，再结合非负数的性质求解或推导结论，第二问需注意对参数a进行分类讨论，避免忽略a=0的特殊情况，有效考查代数式恒等变形能力和逻辑严谨性。
【难度系数】
0.6
