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1. 一元二次方程$2x^2 - 3x + 1 = 0$的根的情况是(
A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根
B
)。A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根
答案
1. B
解析
【分析】
要判断一元二次方程根的情况，我们通常用根的判别式Δ来解决。解题思路分为三步：第一步先从一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$中，找出对应的二次项系数a、一次项系数b、常数项c；第二步代入判别式公式$\Delta = b^2-4ac$计算出Δ的具体值；第三步根据Δ的取值对应根的情况判断：Δ＞0对应两个不相等的实数根，Δ=0对应两个相等的实数根，Δ＜0对应没有实数根，最后匹配选项得出答案即可。
【解析】
解：给定方程$2x^2 - 3x + 1 = 0$符合一元二次方程一般形式，其中：
$a=2$，$b=-3$，$c=1$
代入根的判别式公式计算：
$\Delta = b^2-4ac = (-3)^2 - 4×2×1 = 9-8 = 1$
因为$\Delta = 1＞0$，所以该方程有两个不相等的实数根，故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 判别式与根的对应关系
【点评】
本题是一元二次方程章节的基础常考题，核心考查根的判别式的应用，解题关键是准确提取方程各项系数，牢记判别式的计算规则和不同取值对应的根的结论，整体解题难度较低。
【难度系数】
0.9
要判断一元二次方程根的情况，我们通常用根的判别式Δ来解决。解题思路分为三步：第一步先从一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$中，找出对应的二次项系数a、一次项系数b、常数项c；第二步代入判别式公式$\Delta = b^2-4ac$计算出Δ的具体值；第三步根据Δ的取值对应根的情况判断：Δ＞0对应两个不相等的实数根，Δ=0对应两个相等的实数根，Δ＜0对应没有实数根，最后匹配选项得出答案即可。
【解析】
解：给定方程$2x^2 - 3x + 1 = 0$符合一元二次方程一般形式，其中：
$a=2$，$b=-3$，$c=1$
代入根的判别式公式计算：
$\Delta = b^2-4ac = (-3)^2 - 4×2×1 = 9-8 = 1$
因为$\Delta = 1＞0$，所以该方程有两个不相等的实数根，故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 判别式与根的对应关系
【点评】
本题是一元二次方程章节的基础常考题，核心考查根的判别式的应用，解题关键是准确提取方程各项系数，牢记判别式的计算规则和不同取值对应的根的结论，整体解题难度较低。
【难度系数】
0.9
2. 下面是用公式法解方程$(x-2)(3x-5)=0$的过程,请填写横线上的内容。
解:方程可化为$3x^2 -11x +10=0$。
这里$a=3,b=$$,c=10$。
因为$\Delta =b^2 -4ac=$$-4×3×10=1＞0$,
所以方程实数根,
$x=$$=$。
即$x_1=\_\_\_\_\_\_,x_2=\frac{5}{3}$。
解:方程可化为$3x^2 -11x +10=0$。
这里$a=3,b=$$,c=10$。
因为$\Delta =b^2 -4ac=$$-4×3×10=1＞0$,
所以方程实数根,
$x=$$=$。
即$x_1=\_\_\_\_\_\_,x_2=\frac{5}{3}$。
答案
2. $-11$；$(-11)^2$；有两个不相等的；$\frac{-(-11)\pm1}{2×3}$；$\frac{11\pm1}{6}$；$2$
解析
【分析】
这道题考查公式法解一元二次方程的常规步骤，解题思路如下：第一步先将方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，准确确定二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，注意要保留系数的符号；第二步计算根的判别式$\Delta=b^2-4ac$，根据判别式的符号判断方程根的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时无实数根；第三步若方程有实根，直接代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算即可得到方程的根。
【解析】
首先将原方程整理为一般形式$3x^2 -11x +10=0$，对比一元二次方程一般形式$ax^2+bx+c=0$求解：
1. 一次项为$-11x$，因此一次项系数$b=-11$；
2. 代入根的判别式公式可得$\Delta =b^2 -4ac=(-11)^2 -4×3×10=121-120=1＞0$；
3. 由于$\Delta＞0$，因此方程有两个不相等的实数根；
4. 代入求根公式得$x=\frac{-(-11)\pm\sqrt{1}}{2×3}=\frac{11\pm1}{6}$；
5. 分别计算两个根：$x_1=\frac{11+1}{6}=2$，$x_2=\frac{11-1}{6}=\frac{5}{3}$。
因此横线上依次填写对应内容即可。
【答案】
$-11$；$(-11)^2$；有两个不相等的；$\frac{-(-11)\pm1}{2×3}$；$\frac{11\pm1}{6}$；$2$
【知识点】
一元二次方程的一般形式；根的判别式；公式法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题，主要考查公式法解一元二次方程的基本流程，解题时需注意确定各项系数时不要遗漏符号，牢记求根公式和根的判别式的意义即可顺利解答。
【难度系数】
0.85
这道题考查公式法解一元二次方程的常规步骤，解题思路如下：第一步先将方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，准确确定二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，注意要保留系数的符号；第二步计算根的判别式$\Delta=b^2-4ac$，根据判别式的符号判断方程根的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时无实数根；第三步若方程有实根，直接代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算即可得到方程的根。
【解析】
首先将原方程整理为一般形式$3x^2 -11x +10=0$，对比一元二次方程一般形式$ax^2+bx+c=0$求解：
1. 一次项为$-11x$，因此一次项系数$b=-11$；
2. 代入根的判别式公式可得$\Delta =b^2 -4ac=(-11)^2 -4×3×10=121-120=1＞0$；
3. 由于$\Delta＞0$，因此方程有两个不相等的实数根；
4. 代入求根公式得$x=\frac{-(-11)\pm\sqrt{1}}{2×3}=\frac{11\pm1}{6}$；
5. 分别计算两个根：$x_1=\frac{11+1}{6}=2$，$x_2=\frac{11-1}{6}=\frac{5}{3}$。
因此横线上依次填写对应内容即可。
【答案】
$-11$；$(-11)^2$；有两个不相等的；$\frac{-(-11)\pm1}{2×3}$；$\frac{11\pm1}{6}$；$2$
【知识点】
一元二次方程的一般形式；根的判别式；公式法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题，主要考查公式法解一元二次方程的基本流程，解题时需注意确定各项系数时不要遗漏符号，牢记求根公式和根的判别式的意义即可顺利解答。
【难度系数】
0.85
3. 用公式法解下列方程：
(1)$5x^2 + 2x - 1 = 0$；
(2)$6y^2 + 13y + 6 = 0$。
(1)$5x^2 + 2x - 1 = 0$；
(2)$6y^2 + 13y + 6 = 0$。
答案
3. (1)$x_1=\frac{-1+\sqrt{6}}{5},x_2=\frac{-1-\sqrt{6}}{5}$。
(2)$y_1=-\frac{3}{2},y_2=-\frac{2}{3}$。
(2)$y_1=-\frac{3}{2},y_2=-\frac{2}{3}$。
解析
【分析】
用公式法解一元二次方程的通用思路为：首先将方程整理为一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），准确确定二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$的值；接着计算判别式$\Delta = b^2-4ac$，若$\Delta＜0$则方程无实数根，若$\Delta≥0$则可继续求解；最后将$a、b、\Delta$代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，化简得到方程的根。本题给出的两个方程已经是一般形式，直接按上述步骤计算即可。
【解析】
(1) 解方程$5x^2 + 2x - 1 = 0$
由方程得：$a=5$，$b=2$，$c=-1$
计算判别式：$\Delta = b^2-4ac = 2^2 - 4×5×(-1) = 4+20=24＞0$，方程有两个不相等的实数根
代入求根公式：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-2\pm\sqrt{24}}{2×5}=\frac{-2\pm2\sqrt{6}}{10}=\frac{-1\pm\sqrt{6}}{5}$
(2) 解方程$6y^2 + 13y + 6 = 0$
由方程得：$a=6$，$b=13$，$c=6$
计算判别式：$\Delta = b^2-4ac = 13^2 - 4×6×6 = 169-144=25＞0$，方程有两个不相等的实数根
代入求根公式：
$y=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-13\pm\sqrt{25}}{2×6}=\frac{-13\pm5}{12}$
即$y_1=\frac{-13+5}{12}=-\frac{2}{3}$，$y_2=\frac{-13-5}{12}=-\frac{3}{2}$
【答案】
(1)$x_1=\frac{-1+\sqrt{6}}{5},x_2=\frac{-1-\sqrt{6}}{5}$；(2)$y_1=-\frac{3}{2},y_2=-\frac{2}{3}$
【知识点】
公式法解一元二次方程、求根公式、根的判别式
【点评】
本题是公式法解一元二次方程的基础题型，解题时要注意准确识别各项系数的符号，计算判别式和代入求根公式时要避免符号错误，最后结果要化为最简形式。
【难度系数】
0.8
用公式法解一元二次方程的通用思路为：首先将方程整理为一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），准确确定二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$的值；接着计算判别式$\Delta = b^2-4ac$，若$\Delta＜0$则方程无实数根，若$\Delta≥0$则可继续求解；最后将$a、b、\Delta$代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，化简得到方程的根。本题给出的两个方程已经是一般形式，直接按上述步骤计算即可。
【解析】
(1) 解方程$5x^2 + 2x - 1 = 0$
由方程得：$a=5$，$b=2$，$c=-1$
计算判别式：$\Delta = b^2-4ac = 2^2 - 4×5×(-1) = 4+20=24＞0$，方程有两个不相等的实数根
代入求根公式：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-2\pm\sqrt{24}}{2×5}=\frac{-2\pm2\sqrt{6}}{10}=\frac{-1\pm\sqrt{6}}{5}$
(2) 解方程$6y^2 + 13y + 6 = 0$
由方程得：$a=6$，$b=13$，$c=6$
计算判别式：$\Delta = b^2-4ac = 13^2 - 4×6×6 = 169-144=25＞0$，方程有两个不相等的实数根
代入求根公式：
$y=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-13\pm\sqrt{25}}{2×6}=\frac{-13\pm5}{12}$
即$y_1=\frac{-13+5}{12}=-\frac{2}{3}$，$y_2=\frac{-13-5}{12}=-\frac{3}{2}$
【答案】
(1)$x_1=\frac{-1+\sqrt{6}}{5},x_2=\frac{-1-\sqrt{6}}{5}$；(2)$y_1=-\frac{3}{2},y_2=-\frac{2}{3}$
【知识点】
公式法解一元二次方程、求根公式、根的判别式
【点评】
本题是公式法解一元二次方程的基础题型，解题时要注意准确识别各项系数的符号，计算判别式和代入求根公式时要避免符号错误，最后结果要化为最简形式。
【难度系数】
0.8
1. 方程$3x^2 -11x -1=0$的两个根中较大的根是（
D
）。答案
1. D
解析
【分析】
本题是求一元二次方程的较大根，解题思路如下：首先观察方程为一元二次方程的一般形式，适合用求根公式法求解。第一步先确定二次项系数a、一次项系数b、常数项c的取值，尤其要注意系数的符号；第二步计算根的判别式Δ，判断方程有两个不相等的实数根；第三步代入求根公式得到两个根，比较两个根的大小，带加号的根即为较大的根。
【解析】
对于一元二次方程$3x^2 -11x -1=0$，
首先确定系数：$a=3$，$b=-11$，$c=-1$，
计算根的判别式：$\Delta = b^2-4ac = (-11)^2 - 4×3×(-1) = 121 + 12 = 133$，
代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，得：
$x=\frac{-(-11)\pm\sqrt{133}}{2×3}=\frac{11\pm\sqrt{133}}{6}$，
两个根分别为$x_1=\frac{11+\sqrt{133}}{6}$，$x_2=\frac{11-\sqrt{133}}{6}$，
显然$x_1＞x_2$，即较大的根为$\frac{11+\sqrt{133}}{6}$。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程求根公式，根的判别式
【点评】
本题属于基础题，重点考查求根公式的应用，解题时需注意准确识别系数的符号，避免因符号错误算错判别式或求根公式的分子部分，按步骤计算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.7
本题是求一元二次方程的较大根，解题思路如下：首先观察方程为一元二次方程的一般形式，适合用求根公式法求解。第一步先确定二次项系数a、一次项系数b、常数项c的取值，尤其要注意系数的符号；第二步计算根的判别式Δ，判断方程有两个不相等的实数根；第三步代入求根公式得到两个根，比较两个根的大小，带加号的根即为较大的根。
【解析】
对于一元二次方程$3x^2 -11x -1=0$，
首先确定系数：$a=3$，$b=-11$，$c=-1$，
计算根的判别式：$\Delta = b^2-4ac = (-11)^2 - 4×3×(-1) = 121 + 12 = 133$，
代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，得：
$x=\frac{-(-11)\pm\sqrt{133}}{2×3}=\frac{11\pm\sqrt{133}}{6}$，
两个根分别为$x_1=\frac{11+\sqrt{133}}{6}$，$x_2=\frac{11-\sqrt{133}}{6}$，
显然$x_1＞x_2$，即较大的根为$\frac{11+\sqrt{133}}{6}$。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程求根公式，根的判别式
【点评】
本题属于基础题，重点考查求根公式的应用，解题时需注意准确识别系数的符号，避免因符号错误算错判别式或求根公式的分子部分，按步骤计算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.7
2. 一元二次方程$4x^2 -2x + \frac{1}{4}=0$的根的情况是（
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.只有一个实数根
B
）。A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.只有一个实数根
答案
2. B
解析
【分析】
要判断一元二次方程根的情况，需使用根的判别式求解，解题思路如下：第一步，先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），从题目给出的方程中找出对应的系数$a$、$b$、$c$；第二步，将系数代入判别式公式$\Delta=b^2-4ac$计算$\Delta$的数值；第三步，根据$\Delta$的取值判断根的情况：$\Delta＞0$对应两个不相等的实数根，$\Delta=0$对应两个相等的实数根，$\Delta＜0$对应没有实数根，最后匹配选项得到答案。
【解析】
将一元二次方程$4x^2 -2x + \frac{1}{4}=0$和一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）对应，可得：
$a=4$，$b=-2$，$c=\frac{1}{4}$
代入根的判别式公式计算：
$\Delta = b^2-4ac = (-2)^2 - 4×4×\frac{1}{4} = 4 - 4 = 0$
由$\Delta=0$可知，该方程有两个相等的实数根，故选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是基础题型，主要考查根的判别式的应用，解题核心是准确识别方程各项系数，牢记判别式取值和根的情况的对应关系，即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
要判断一元二次方程根的情况，需使用根的判别式求解，解题思路如下：第一步，先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），从题目给出的方程中找出对应的系数$a$、$b$、$c$；第二步，将系数代入判别式公式$\Delta=b^2-4ac$计算$\Delta$的数值；第三步，根据$\Delta$的取值判断根的情况：$\Delta＞0$对应两个不相等的实数根，$\Delta=0$对应两个相等的实数根，$\Delta＜0$对应没有实数根，最后匹配选项得到答案。
【解析】
将一元二次方程$4x^2 -2x + \frac{1}{4}=0$和一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）对应，可得：
$a=4$，$b=-2$，$c=\frac{1}{4}$
代入根的判别式公式计算：
$\Delta = b^2-4ac = (-2)^2 - 4×4×\frac{1}{4} = 4 - 4 = 0$
由$\Delta=0$可知，该方程有两个相等的实数根，故选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是基础题型，主要考查根的判别式的应用，解题核心是准确识别方程各项系数，牢记判别式取值和根的情况的对应关系，即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
3. 用公式法解下列方程：
(1)$2x^2 - 4x = 5$；
(2)$4x^2 - 3 = 12x$。
(1)$2x^2 - 4x = 5$；
(2)$4x^2 - 3 = 12x$。
答案
3. (1)$x_1=\frac{2+\sqrt{14}}{2},x_2=\frac{2-\sqrt{14}}{2}$。
(2)$x_1=\frac{3+2\sqrt{3}}{2},x_2=\frac{3-2\sqrt{3}}{2}$。
(2)$x_1=\frac{3+2\sqrt{3}}{2},x_2=\frac{3-2\sqrt{3}}{2}$。
解析
【分析】
用公式法解一元二次方程的核心思路是按固定步骤计算：第一步先将原方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，确保等号右侧为0；第二步准确识别二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，注意系数要带对应符号；第三步计算根的判别式$\Delta=b^2-4ac$，根据$\Delta$的符号判断方程是否有实数根，若$\Delta≥0$则继续下一步，若$\Delta＜0$则方程无实根；第四步将$a$、$b$、$\Delta$的值代入求根公式$x=\frac{-b±\sqrt{\Delta}}{2a}$计算，最后将结果化为最简形式即可。
【解析】
(1) 先将方程$2x^2 - 4x = 5$整理为一般形式：
移项得 $2x^2 - 4x - 5 = 0$
∴ $a=2$，$b=-4$，$c=-5$
计算判别式：$\Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4×2×(-5) = 16 + 40 = 56 ＞ 0$，方程有两个不相等的实数根
代入求根公式：
$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{56}}{2×2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{14}}{4} = \frac{2 \pm \sqrt{14}}{2}$
即 $x_1=\frac{2+\sqrt{14}}{2}$，$x_2=\frac{2-\sqrt{14}}{2}$
(2) 先将方程$4x^2 - 3 = 12x$整理为一般形式：
移项得 $4x^2 - 12x - 3 = 0$
∴ $a=4$，$b=-12$，$c=-3$
计算判别式：$\Delta = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4×4×(-3) = 144 + 48 = 192 ＞ 0$，方程有两个不相等的实数根
代入求根公式：
$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-12) \pm \sqrt{192}}{2×4} = \frac{12 \pm 8\sqrt{3}}{8} = \frac{3 \pm 2\sqrt{3}}{2}$
即 $x_1=\frac{3+2\sqrt{3}}{2}$，$x_2=\frac{3-2\sqrt{3}}{2}$
【答案】
(1)$x_1=\frac{2+\sqrt{14}}{2},x_2=\frac{2-\sqrt{14}}{2}$；
(2)$x_1=\frac{3+2\sqrt{3}}{2},x_2=\frac{3-2\sqrt{3}}{2}$。
【知识点】
1. 一元二次方程一般形式
2. 根的判别式
3. 公式法解方程
【点评】
本题是公式法解一元二次方程的基础训练题，解题的易错点在于移项时符号出错、识别系数时漏带符号，以及最后化简结果时约分错误，熟练掌握公式法的解题步骤即可轻松求解。
【难度系数】
0.7
用公式法解一元二次方程的核心思路是按固定步骤计算：第一步先将原方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，确保等号右侧为0；第二步准确识别二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，注意系数要带对应符号；第三步计算根的判别式$\Delta=b^2-4ac$，根据$\Delta$的符号判断方程是否有实数根，若$\Delta≥0$则继续下一步，若$\Delta＜0$则方程无实根；第四步将$a$、$b$、$\Delta$的值代入求根公式$x=\frac{-b±\sqrt{\Delta}}{2a}$计算，最后将结果化为最简形式即可。
【解析】
(1) 先将方程$2x^2 - 4x = 5$整理为一般形式：
移项得 $2x^2 - 4x - 5 = 0$
∴ $a=2$，$b=-4$，$c=-5$
计算判别式：$\Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4×2×(-5) = 16 + 40 = 56 ＞ 0$，方程有两个不相等的实数根
代入求根公式：
$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{56}}{2×2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{14}}{4} = \frac{2 \pm \sqrt{14}}{2}$
即 $x_1=\frac{2+\sqrt{14}}{2}$，$x_2=\frac{2-\sqrt{14}}{2}$
(2) 先将方程$4x^2 - 3 = 12x$整理为一般形式：
移项得 $4x^2 - 12x - 3 = 0$
∴ $a=4$，$b=-12$，$c=-3$
计算判别式：$\Delta = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4×4×(-3) = 144 + 48 = 192 ＞ 0$，方程有两个不相等的实数根
代入求根公式：
$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-12) \pm \sqrt{192}}{2×4} = \frac{12 \pm 8\sqrt{3}}{8} = \frac{3 \pm 2\sqrt{3}}{2}$
即 $x_1=\frac{3+2\sqrt{3}}{2}$，$x_2=\frac{3-2\sqrt{3}}{2}$
【答案】
(1)$x_1=\frac{2+\sqrt{14}}{2},x_2=\frac{2-\sqrt{14}}{2}$；
(2)$x_1=\frac{3+2\sqrt{3}}{2},x_2=\frac{3-2\sqrt{3}}{2}$。
【知识点】
1. 一元二次方程一般形式
2. 根的判别式
3. 公式法解方程
【点评】
本题是公式法解一元二次方程的基础训练题，解题的易错点在于移项时符号出错、识别系数时漏带符号，以及最后化简结果时约分错误，熟练掌握公式法的解题步骤即可轻松求解。
【难度系数】
0.7
4.【数学应用】如图，将边长为12 cm的正方形扩大成面积为182 cm²的矩形。若其一边增加的长度是另一边增加的长度的一半，求矩形的长和宽。
答案
4. 解:设矩形的宽为$(12+x)\mathrm{cm}$,则矩形的长为$(12+2x)\mathrm{cm}$。
根据题意得 $(12+2x)(12+x)=182$。
解得 $x_1=1,x_2=-19$(不合题意,舍去)。
此时 $12+2x=12+2×1=14,12+x=12+1=13$。
故矩形的长为 14 cm,宽为 13 cm。
根据题意得 $(12+2x)(12+x)=182$。
解得 $x_1=1,x_2=-19$(不合题意,舍去)。
此时 $12+2x=12+2×1=14,12+x=12+1=13$。
故矩形的长为 14 cm,宽为 13 cm。
解析
【分析】
这是一道结合几何面积的一元二次方程应用题，解题思路如下：第一步先明确等量关系：扩大后矩形的面积=182 cm²；第二步合理设未知数，已知一边增加的长度是另一边增加长度的一半，可设较短的增加长度为x cm，则较长的增加长度为2x cm，那么矩形的宽为(12+x)cm，长为(12+2x)cm；第三步根据矩形面积公式列方程，求解一元二次方程后，因为长度不能为负数，要舍去不符合实际意义的根，最后代入计算出矩形的长和宽即可。
【解析】
解：设较短的一边增加的长度为x cm，则另一边增加的长度为2x cm，即矩形的宽为$(12+x)\mathrm{cm}$，长为$(12+2x)\mathrm{cm}$。
根据矩形面积公式，列方程得：
$(12+2x)(12+x)=182$
展开整理得：$x^2+18x-19=0$
因式分解得：$(x+19)(x-1)=0$
解得 $x_1=1,x_2=-19$，因为增加的长度不能为负，故$x_2=-19$不合题意，舍去。
将$x=1$代入得：
长：$12+2x=12+2×1=14(\mathrm{cm})$
宽：$12+x=12+1=13(\mathrm{cm})$
【答案】
矩形的长为14 cm，宽为13 cm。
【知识点】
一元二次方程的应用；矩形面积计算；一元二次方程求解
【点评】
本题是典型的实际应用类方程题，解题的关键是找准面积等量关系，合理设置未知数，求解后要注意结合实际情况检验根是否符合要求，这类题型是方程应用的基础题型，需要熟练掌握解题步骤。
【难度系数】
0.8
这是一道结合几何面积的一元二次方程应用题，解题思路如下：第一步先明确等量关系：扩大后矩形的面积=182 cm²；第二步合理设未知数，已知一边增加的长度是另一边增加长度的一半，可设较短的增加长度为x cm，则较长的增加长度为2x cm，那么矩形的宽为(12+x)cm，长为(12+2x)cm；第三步根据矩形面积公式列方程，求解一元二次方程后，因为长度不能为负数，要舍去不符合实际意义的根，最后代入计算出矩形的长和宽即可。
【解析】
解：设较短的一边增加的长度为x cm，则另一边增加的长度为2x cm，即矩形的宽为$(12+x)\mathrm{cm}$，长为$(12+2x)\mathrm{cm}$。
根据矩形面积公式，列方程得：
$(12+2x)(12+x)=182$
展开整理得：$x^2+18x-19=0$
因式分解得：$(x+19)(x-1)=0$
解得 $x_1=1,x_2=-19$，因为增加的长度不能为负，故$x_2=-19$不合题意，舍去。
将$x=1$代入得：
长：$12+2x=12+2×1=14(\mathrm{cm})$
宽：$12+x=12+1=13(\mathrm{cm})$
【答案】
矩形的长为14 cm，宽为13 cm。
【知识点】
一元二次方程的应用；矩形面积计算；一元二次方程求解
【点评】
本题是典型的实际应用类方程题，解题的关键是找准面积等量关系，合理设置未知数，求解后要注意结合实际情况检验根是否符合要求，这类题型是方程应用的基础题型，需要熟练掌握解题步骤。
【难度系数】
0.8
