1.函数$y=x^2$的图象向右平移1个单位长度，所得图象对应的函数表达式为（）。

A.$y=x^2+1$
B.$y=(x+1)^2$
C.$y=x^2-1$
D.$y=(x-1)^2$

1.D

【分析】
本题考查二次函数图象的平移变换，解题时首先回忆二次函数图象平移的核心规律：“左加右减，上加下减”，注意左右平移是对自变量x本身进行加减操作，上下平移是对函数整体的常数项进行加减操作。本题要求图象向右平移1个单位，属于水平方向的平移，只需对自变量x按照“右减”的规则调整即可推出平移后的函数表达式。
【解析】
二次函数图象平移遵循“左加右减自变量，上加下减常数项”的规律：
1. 原函数为$y=x^2$，本次平移为向右平移1个单位，属于水平方向平移，需对自变量$x$进行调整；
2. 根据“右减”规则，向右平移1个单位，需将原式中的$x$替换为$x-1$；
3. 代入可得平移后的函数表达式为$y=(x-1)^2$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象平移；函数平移“左加右减”规则
【点评】
本题是二次函数平移的基础题型，核心考查平移规律的应用，易错点是容易混淆左右平移的加减方向，解题时要注意水平平移仅针对自变量$x$操作，避免和上下平移的规则弄混。
【难度系数】
0.8

2. 抛物线 $ y = -3(x - 2)^2 $ 的对称轴是（）。

A.直线 $ x=0 $
B.直线 $ x=2 $
C.直线 $ x=-3 $
D.直线 $ x=-2 $

2.B

【分析】
本题考查二次函数顶点式的性质，解题时首先回忆二次函数顶点式的结构特征：形如$ y=a(x-h)^2+k $（$ a≠0 $）的式子是二次函数的顶点式，其对称轴为直线$ x=h $。接下来将题目给出的解析式和顶点式对照，找到对应的$ h $值，即可确定对称轴。注意括号内是$ x-h $的形式，不要把符号搞反。
【解析】
二次函数的顶点式为$ y=a(x-h)^2+k $（$ a≠0 $，$ a、h、k $为常数），该形式下抛物线的对称轴为直线$ x=h $。
题目中抛物线解析式为$ y=-3(x-2)^2 $，对照顶点式可得：$ a=-3 $，$ h=2 $，$ k=0 $，因此该抛物线的对称轴为直线$ x=2 $。
【答案】
B
【知识点】
二次函数顶点式性质、抛物线对称轴求法
【点评】
本题是二次函数图象相关的基础题，核心考查对顶点式参数含义的记忆，只要熟练掌握顶点式对应的对称轴、顶点坐标等性质，就能快速准确得出答案。
【难度系数】
0.9

3. 关于抛物线$y=-2(x+1)^2$，下列说法正确的是（）。

A.开口向上
B.当$x＜-1$时，$y$随$x$的增大而增大
C.对称轴是直线$x=1$
D.经过点$(0,2)$

3.B

【分析】
本题考查二次函数顶点式的相关性质，解题思路如下：首先明确抛物线的顶点式为$y=a(x-h)^2$，其中$a$决定开口方向，对称轴为直线$x=h$；接下来从给出的解析式$y=-2(x+1)^2$中提取参数$a=-2$、$h=-1$，再依次对四个选项逐一验证：先通过$a$的符号判断开口方向排除错误选项，再根据$h$的值确定对称轴排除错误选项，接着结合开口方向和对称轴判断函数增减性验证选项，最后代入点的坐标判断是否在抛物线上，最终选出正确答案。
【解析】
对于抛物线顶点式$y=a(x-h)^2$，有如下性质：当$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下；对称轴为直线$x=h$；开口向下时，对称轴左侧$y$随$x$增大而增大，对称轴右侧$y$随$x$增大而减小。
将题中解析式变形为$y=-2(x-(-1))^2$，可得$a=-2$，$h=-1$：
选项A：$a=-2＜0$，抛物线开口向下，A错误；
选项B：抛物线开口向下，对称轴为直线$x=-1$，因此当$x＜-1$（对称轴左侧）时，$y$随$x$的增大而增大，B正确；
选项C：对称轴为直线$x=h=-1$，不是直线$x=1$，C错误；
选项D：将$x=0$代入解析式，得$y=-2×(0+1)^2=-2≠2$，因此抛物线不经过点$(0,2)$，D错误。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
1.二次函数顶点式性质
2.二次函数增减性
3.二次函数图象上的点的特征
【点评】
本题属于二次函数的基础题型，重点考查顶点式中各参数的意义和性质应用，解题时需注意顶点式中$h$的符号，避免判断对称轴时出错，代入点坐标计算时要注意运算准确性。
【难度系数】
0.8

4. 在平面直角坐标系中，若抛物线$y=(x+3)^2$平移后经过原点$O$，则平移的方式可能是（）。

A.向上平移3个单位长度
B.向下平移3个单位长度
C.向左平移3个单位长度
D.向右平移3个单位长度

4.D

【分析】
解题思路：首先明确二次函数图象的平移规律“左加右减自变量，上加下减常数项”，我们可以先根据每个选项的平移方式写出平移后的抛物线解析式，再将原点坐标(0,0)代入解析式验证是否成立，若成立则该平移方式符合要求。
【解析】
已知原抛物线解析式为$y=(x+3)^2$，逐一分析各选项：
1. 选项A：向上平移3个单位长度，根据平移规律，平移后解析式为$y=(x+3)^2 + 3$。将$x=0$代入得$y=9+3=12≠0$，平移后图象不过原点，A错误。
2. 选项B：向下平移3个单位长度，平移后解析式为$y=(x+3)^2 - 3$。将$x=0$代入得$y=9-3=6≠0$，平移后图象不过原点，B错误。
3. 选项C：向左平移3个单位长度，平移后解析式为$y=(x+3+3)^2=(x+6)^2$。将$x=0$代入得$y=36≠0$，平移后图象不过原点，C错误。
4. 选项D：向右平移3个单位长度，平移后解析式为$y=(x+3-3)^2=x^2$。将$x=0$代入得$y=0$，符合原点坐标特征，平移后图象过原点，D正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 二次函数图象平移规律
2. 函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题考查二次函数图象的平移相关知识，熟练掌握“左加右减、上加下减”的平移规则是解题的核心，也可通过代入原点验证的方法快速排除错误选项，属于基础类考题。
【难度系数】
0.8

5. 已知二次函数 $y=a(x-2)^2$ 的图象经过点$(1,-1)$。
(1)求$a$的值；
(2)求图象与$y$轴的交点坐标。

5.解:(1)把$(1,-1)$代入$y=a(x-2)^2$,得$a×(1-2)^2=-1$,解得$a=-1$。
(2)由(1)得二次函数的表达式为 $y=-(x-2)^2$。
当$x=0$时,$y=-(0-2)^2=-4$,
∴图象与$y$轴的交点坐标为$(0,-4)$。

【分析】
(1) 若点在函数图象上，则点的坐标满足该函数的解析式，因此可将点$(1,-1)$的横、纵坐标代入二次函数$y=a(x-2)^2$中，得到关于$a$的一元一次方程，解方程即可求出$a$的值。
(2) $y$轴上所有点的横坐标均为0，因此求图象与$y$轴的交点坐标时，只需将$x=0$代入已求出的二次函数解析式，计算得到对应的$y$值，即可确定交点坐标。
【解析】
(1) 把点$(1,-1)$代入$y=a(x-2)^2$，得：
$a×(1-2)^2=-1$
计算得$a×1=-1$，解得$a=-1$。
(2) 由(1)可得二次函数的表达式为$y=-(x-2)^2$。
令$x=0$，代入解析式得：
$y=-(0-2)^2=-4$
因此图象与$y$轴的交点坐标为$(0,-4)$。
【答案】
(1) $a=-1$；
(2) 图象与$y$轴的交点坐标为$(0,-4)$
【知识点】
1. 待定系数法
2. 二次函数点坐标特征
3. 函数与坐标轴交点求法
【点评】
本题是二次函数的基础常规题，解题思路直接，主要考察二次函数的基础性质和基本运算能力，熟练掌握相关基础知识点即可快速解答。
【难度系数】
0.85

1.如图所示的是二次函数$y=a(x-k)^2$的图象，则下列结论正确的是（）。

A.$a＞0,k＞0$
B.$a＞0,k＜0$
C.$a＜0,k＞0$
D.$a＜0,k＜0$

1.C

【分析】
解这道题需分两步判断参数符号：第一步根据二次函数开口方向判断a的正负，开口向上则a＞0，开口向下则a＜0；第二步结合顶点式的坐标特征判断k的正负，y=a(x-k)²的顶点坐标为(k,0)，根据顶点在x轴的位置即可确定k的符号，最终对应选项选出答案。
【解析】
1. 判断a的符号：由图象可知二次函数开口向下，根据二次函数的性质，开口向下时二次项系数a＜0；
2. 判断k的符号：二次函数顶点式$y=a(x-k)^2$的顶点坐标为$(k,0)$，观察图象可得顶点位于x轴正半轴，因此顶点横坐标k＞0。
综上，$a＜0,k＞0$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1.二次函数顶点式的性质 2.二次函数图象与系数的关系
【点评】
本题考查结合二次函数图象判断顶点式中参数的符号，牢记开口方向与a的关系、顶点坐标的表达式是解题的关键，属于基础题型。
【难度系数】
0.8

2. 若$A(-2,y_1),B(1,y_2),C(2,y_3)$是抛物线$y=\frac{1}{2}(x-1)^2$上的三点，则$y_1,y_2,y_3$的大小关系为()。

A.$y_1＜y_2＜y_3$
B.$y_2＜y_1＜y_3$
C.$y_2＜y_3＜y_1$
D.$y_3＜y_2＜y_1$

2.C

【分析】
本题是二次函数上点的函数值比较问题，有两种常用解题思路：一是代入求值法，直接把三个点的横坐标代入抛物线解析式，求出对应的y值后比较大小，直观易懂不易出错；二是性质判断法，先根据抛物线顶点式确定开口方向和对称轴，开口向上的抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值越大，计算三个点到对称轴的距离即可判断y值大小。
【解析】
方法一：代入求值法
将$A(-2,y_1)$代入$y=\frac{1}{2}(x-1)^2$，得$y_1=\frac{1}{2}×(-2-1)^2=\frac{9}{2}$；
将$B(1,y_2)$代入$y=\frac{1}{2}(x-1)^2$，得$y_2=\frac{1}{2}×(1-1)^2=0$；
将$C(2,y_3)$代入$y=\frac{1}{2}(x-1)^2$，得$y_3=\frac{1}{2}×(2-1)^2=\frac{1}{2}$；
因为$0＜\frac{1}{2}＜\frac{9}{2}$，所以$y_2＜y_3＜y_1$。
方法二：性质判断法
由抛物线解析式$y=\frac{1}{2}(x-1)^2$可知，$a=\frac{1}{2}＞0$，抛物线开口向上，对称轴为直线$x=1$；
计算各点到对称轴的距离：
点A到对称轴的距离：$\vert-2-1\vert=3$；
点B到对称轴的距离：$\vert1-1\vert=0$；
点C到对称轴的距离：$\vert2-1\vert=1$；
开口向上的抛物线上，点到对称轴的距离越大，对应函数值越大，因为$0＜1＜3$，所以$y_2＜y_3＜y_1$。
综上答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1.二次函数的图象性质 2.二次函数值比较
【点评】
本题是二次函数部分的基础常考题型，解题方法灵活，既可以直接代入计算求解，也可以利用二次函数图象性质快速判断，掌握二次函数的基本性质就能轻松解题。
【难度系数】
0.8

3. 若点$(2,8)$在二次函数$y=2(x-k)^2$的图象上，则$k$的值为。

3.0或4

【分析】
要解决本题，首先明确核心性质：若点在函数图象上，则点的横、纵坐标满足函数的解析式。因此我们只需将已知点的坐标代入二次函数解析式，得到关于k的方程，再解方程即可求出k的值，注意开平方运算会得到正负两个结果，不要漏解。
【解析】
∵点$(2,8)$在二次函数$y=2(x-k)^2$的图象上
∴将$x=2$，$y=8$代入函数解析式，可得：
$8=2(2-k)^2$
等式两边同时除以2，得：
$(2-k)^2=4$
两边开平方，得：
$2-k=2$ 或 $2-k=-2$
当$2-k=2$时，解得$k=0$；
当$2-k=-2$时，解得$k=4$。
【答案】
0或4
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题，主要考查函数图象与解析式的对应关系，解题时注意开平方运算的两种结果，避免漏解即可轻松得分。
【难度系数】
0.85

4. 如果将二次函数的图象平移，有一个点既在平移前的函数图象上，又在平移后的函数图象上，那么称这个点为“平衡点”。现将抛物线 $ C_1: y=(x-1)^2 $ 向右平移得到新抛物线 $ C_2 $，如果“平衡点”为 $ (3,4) $，那么新抛物线 $ C_2 $ 的表达式为。

4.$y=(x-5)^2$

【分析】
解题思路分为三步：1. 回忆二次函数平移规律：左右平移时对x进行“左加右减”的变换，先设向右平移的距离为h，写出平移后抛物线C₂的含参解析式；2. 理解“平衡点”的含义：该点坐标同时满足平移前后两个函数的解析式，因此可将平衡点坐标代入C₂的含参解析式；3. 求解参数h，舍去不符合题意的解，即可得到C₂的最终表达式。
【解析】
设抛物线$C_1$向右平移$h$（$h＞0$）个单位得到新抛物线$C_2$，根据二次函数平移“左加右减”的规律，$C_2$的解析式为：
$y=(x-1-h)^2$
已知“平衡点”$(3,4)$在$C_2$的图象上，将$x=3$，$y=4$代入解析式得：
$4=(3-1-h)^2$
整理得：$(2-h)^2=4$
开平方得：$2-h=2$或$2-h=-2$
解得：$h_1=0$（不符合平移要求，舍去），$h_2=4$
将$h=4$代入$C_2$的解析式，得：$y=(x-1-4)^2=(x-5)^2$
【答案】
$y=(x-5)^2$
【知识点】
二次函数图象平移规律；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是新定义类基础题，核心是准确理解“平衡点”的含义，结合二次函数平移的性质列式求解，注重对基础知识点应用能力的考查。
【难度系数】
0.7