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5. 在同一平面直角坐标系中，一次函数$y=-mx+1$与二次函数$y=x^2+m$的图象可能是(
D
)。答案
5.D
解析
【分析】
解题从两个函数的基本性质入手：首先根据二次项系数判断二次函数的开口方向，直接排除不符合的选项；再结合二次函数与y轴的交点位置、与x轴的交点情况判断参数m的正负，对应验证一次函数的斜率、与y轴交点是否匹配，逐步排除错误选项即可得到答案。
【解析】
1. 先分析二次函数$y=x^2+m$的性质：
二次项系数为$1＞0$，因此抛物线开口向上，选项C开口向下，直接排除C。
二次函数的最小值为$m$，若抛物线和x轴有交点，说明最小值$m＜0$；二次函数与y轴交点为$(0,m)$，若交点在y轴正半轴则$m＞0$，若在负半轴则$m＜0$。
2. 验证剩余选项：
选项A、B：一次函数$y=-mx+1$呈下降趋势，说明斜率$-m＜0$，即$m＞0$。此时二次函数最小值$m＞0$，抛物线与x轴无交点，但A、B中抛物线均和x轴有交点，矛盾，排除A、B。
选项D：二次函数与y轴交于负半轴，说明$m＜0$，此时一次函数斜率$-m＞0$，一次函数呈上升趋势，且一次函数与y轴交于$(0,1)$（正半轴），完全符合函数性质，D正确。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的图象与性质；二次函数的图象与性质
【点评】
本题是一次函数与二次函数图象的综合判断题，核心考查参数对函数图象的影响，通过两类函数的性质互相验证排除错误选项，是函数图象类题型的典型考法。
【难度系数】
0.7
解题从两个函数的基本性质入手：首先根据二次项系数判断二次函数的开口方向，直接排除不符合的选项；再结合二次函数与y轴的交点位置、与x轴的交点情况判断参数m的正负，对应验证一次函数的斜率、与y轴交点是否匹配，逐步排除错误选项即可得到答案。
【解析】
1. 先分析二次函数$y=x^2+m$的性质：
二次项系数为$1＞0$，因此抛物线开口向上，选项C开口向下，直接排除C。
二次函数的最小值为$m$，若抛物线和x轴有交点，说明最小值$m＜0$；二次函数与y轴交点为$(0,m)$，若交点在y轴正半轴则$m＞0$，若在负半轴则$m＜0$。
2. 验证剩余选项：
选项A、B：一次函数$y=-mx+1$呈下降趋势，说明斜率$-m＜0$，即$m＞0$。此时二次函数最小值$m＞0$，抛物线与x轴无交点，但A、B中抛物线均和x轴有交点，矛盾，排除A、B。
选项D：二次函数与y轴交于负半轴，说明$m＜0$，此时一次函数斜率$-m＞0$，一次函数呈上升趋势，且一次函数与y轴交于$(0,1)$（正半轴），完全符合函数性质，D正确。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的图象与性质；二次函数的图象与性质
【点评】
本题是一次函数与二次函数图象的综合判断题，核心考查参数对函数图象的影响，通过两类函数的性质互相验证排除错误选项，是函数图象类题型的典型考法。
【难度系数】
0.7
6.【数学应用】数学来源于生活，伞是生活中一种常见的工具。某把伞撑开后如图①所示，图②是其示意图。以伞柄所在的直线为y轴，以伞骨OA，OB的交点O为坐标原点建立平面直角坐标系，C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上，OA，OB关于y轴对称。已知抛物线的表达式为$y=-0.2x^2+1$，若点A到x轴的距离是0.6 dm，则A，B两点之间的距离为（
A.$\sqrt{2}$ dm
B.2 dm
C.4 dm
D.$2\sqrt{2}$ dm
D
）。A.$\sqrt{2}$ dm
B.2 dm
C.4 dm
D.$2\sqrt{2}$ dm
答案
6.D
解析
【分析】
解题时首先明确：点到x轴的距离等于该点纵坐标的绝对值，结合点A在x轴上方，可确定点A的纵坐标；将纵坐标代入抛物线解析式即可求出点A的横坐标；再根据OA、OB关于y轴对称，得到点B的坐标，最后计算A、B两点的距离即可。
【解析】
已知点A到x轴的距离是0.6 dm，且点A在x轴上方，因此点A的纵坐标$y=0.6$。
将$y=0.6$代入抛物线表达式$y=-0.2x^2+1$，得：
$0.6=-0.2x^2+1$
移项化简得：$0.2x^2=0.4$，即$x^2=2$，解得$x=\sqrt{2}$或$x=-\sqrt{2}$。
因为点A在y轴右侧，所以点A的坐标为$(\sqrt{2},0.6)$。
又因为OA、OB关于y轴对称，所以点B的坐标为$(-\sqrt{2},0.6)$。
A、B两点纵坐标相同，两点间距离为：$\vert \sqrt{2}-(-\sqrt{2})\vert=2\sqrt{2}$（dm）。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征，关于y轴对称的点的坐标特征，两点间距离计算
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的基础应用，解题的核心是将点到坐标轴的距离转化为点的坐标，再结合函数性质和对称性求解，侧重对基础知识灵活运用能力的考查。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确：点到x轴的距离等于该点纵坐标的绝对值，结合点A在x轴上方，可确定点A的纵坐标；将纵坐标代入抛物线解析式即可求出点A的横坐标；再根据OA、OB关于y轴对称，得到点B的坐标，最后计算A、B两点的距离即可。
【解析】
已知点A到x轴的距离是0.6 dm，且点A在x轴上方，因此点A的纵坐标$y=0.6$。
将$y=0.6$代入抛物线表达式$y=-0.2x^2+1$，得：
$0.6=-0.2x^2+1$
移项化简得：$0.2x^2=0.4$，即$x^2=2$，解得$x=\sqrt{2}$或$x=-\sqrt{2}$。
因为点A在y轴右侧，所以点A的坐标为$(\sqrt{2},0.6)$。
又因为OA、OB关于y轴对称，所以点B的坐标为$(-\sqrt{2},0.6)$。
A、B两点纵坐标相同，两点间距离为：$\vert \sqrt{2}-(-\sqrt{2})\vert=2\sqrt{2}$（dm）。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征，关于y轴对称的点的坐标特征，两点间距离计算
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的基础应用，解题的核心是将点到坐标轴的距离转化为点的坐标，再结合函数性质和对称性求解，侧重对基础知识灵活运用能力的考查。
【难度系数】
0.7
7. 函数$y=2x^2 +5$的图象可由$y=2x^2$的图象向
上
平移5
个单位长度得到；函数$y=2x^2 -11$的图象可由$y=2x^2$的图象向下
平移11
个单位长度得到；函数$y=2x^2 +5$的图象向下平移16个单位长度得到的图象对应的函数表达式是$y=2x^2-11$
。答案
7.上 5 下 11 $y=2x^2-11$
解析
【分析】
解题时首先回忆二次函数上下平移的规律：二次项系数相同的二次函数图象形状完全一致，上下平移时遵循“上加下减常数项”的规则，即图象向上平移m个单位，函数常数项加m；向下平移m个单位，函数常数项减m，反过来也可通过两个函数常数项的差值，直接判断平移的方向和距离。按照这个规律分别对比对应函数的常数项，即可逐步求解所有空。
【解析】
1. 对比$y=2x^2+5$和$y=2x^2$，二者二次项系数相同，常数项差值为$5-0=5$，且差值为正，因此$y=2x^2+5$的图象可由$y=2x^2$的图象向上平移5个单位长度得到。
2. 对比$y=2x^2-11$和$y=2x^2$，常数项差值为$-11-0=-11$，差值为负，因此$y=2x^2-11$的图象可由$y=2x^2$的图象向下平移11个单位长度得到。
3. 将$y=2x^2+5$的图象向下平移16个单位，根据“下减”规则，新函数的常数项为$5-16=-11$，因此得到的函数表达式为$y=2x^2-11$。
【答案】
上 5 下 11 $y=2x^2-11$
【知识点】
二次函数图象平移，函数平移法则
【点评】
本题属于二次函数图象平移的基础题，核心考查上下平移时“上加下减常数项”的规律，熟练掌握该规律即可快速得分。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆二次函数上下平移的规律：二次项系数相同的二次函数图象形状完全一致，上下平移时遵循“上加下减常数项”的规则，即图象向上平移m个单位，函数常数项加m；向下平移m个单位，函数常数项减m，反过来也可通过两个函数常数项的差值，直接判断平移的方向和距离。按照这个规律分别对比对应函数的常数项，即可逐步求解所有空。
【解析】
1. 对比$y=2x^2+5$和$y=2x^2$，二者二次项系数相同，常数项差值为$5-0=5$，且差值为正，因此$y=2x^2+5$的图象可由$y=2x^2$的图象向上平移5个单位长度得到。
2. 对比$y=2x^2-11$和$y=2x^2$，常数项差值为$-11-0=-11$，差值为负，因此$y=2x^2-11$的图象可由$y=2x^2$的图象向下平移11个单位长度得到。
3. 将$y=2x^2+5$的图象向下平移16个单位，根据“下减”规则，新函数的常数项为$5-16=-11$，因此得到的函数表达式为$y=2x^2-11$。
【答案】
上 5 下 11 $y=2x^2-11$
【知识点】
二次函数图象平移，函数平移法则
【点评】
本题属于二次函数图象平移的基础题，核心考查上下平移时“上加下减常数项”的规律，熟练掌握该规律即可快速得分。
【难度系数】
0.9
8.【数学应用】某水利工程公司开挖的池塘，横截面呈抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，并标出相关数据(单位：m)。已知抛物线的表达式为 $y=\frac{1}{45}x^2 -5$，若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，求水面下降了多少。
答案
8.解:由题图知,原水面宽度为 12－(－12)＝24(m),减少为原来的一半后宽度为 24÷2＝12(m)。
∵抛物线的表达式为 $y=\frac{1}{45}x^2 -5$,
∴当 $x=12$ 时,$y=\frac{1}{45}×12^2 -5=-1.8$,
当 $x=12÷2=6$ 时,$y=\frac{1}{45}×6^2 -5=-4.2$,
∴水面下降的高度为(－1.8)－(－4.2)＝2.4(m),
故水面下降了 2.4 m。
∵抛物线的表达式为 $y=\frac{1}{45}x^2 -5$,
∴当 $x=12$ 时,$y=\frac{1}{45}×12^2 -5=-1.8$,
当 $x=12÷2=6$ 时,$y=\frac{1}{45}×6^2 -5=-4.2$,
∴水面下降的高度为(－1.8)－(－4.2)＝2.4(m),
故水面下降了 2.4 m。
解析
【分析】
解决本题的思路可分为三步：第一步先确定原水面的宽度，从图中可知原水面两端点的横坐标为±12，可直接计算原宽度，再算出宽度减半后的新宽度；第二步利用抛物线关于y轴对称的性质，可知水面两端点的横坐标绝对值为水面宽度的一半，分别将原水面、新水面对应的横坐标代入抛物线解析式，求出对应的纵坐标（即水面的高度值）；第三步由于y轴向上，纵坐标越小位置越低，两个纵坐标的差就是水面下降的高度。
【解析】
解：由题图可得，原水面的左右端点横坐标为-12和12，因此原水面宽度为：
$12-(-12)=24(\mathrm{m})$
水面宽度减少为原来的一半后，新水面宽度为：
$24÷2=12(\mathrm{m})$
已知抛物线表达式为$y=\frac{1}{45}x^2 -5$：
1. 求原水面的纵坐标：将$x=12$代入解析式，得
$y=\frac{1}{45}×12^2 -5=\frac{144}{45}-5=-1.8$
2. 求宽度减半后水面的纵坐标：此时水面端点横坐标绝对值为$12÷2=6$，将$x=6$代入解析式，得
$y=\frac{1}{45}×6^2 -5=\frac{36}{45}-5=-4.2$
水面下降的高度为两个纵坐标的差值：
$(-1.8)-(-4.2)=2.4(\mathrm{m})$
【答案】
水面下降了$\boldsymbol{2.4\ \mathrm{m}}$
【知识点】
二次函数的实际应用、二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题结合生活实际场景考查二次函数的应用，解题的核心是理解水面宽度和抛物线上点的横坐标的对应关系，掌握代入法求二次函数的函数值，能结合坐标系的几何意义计算高度差。
【难度系数】
0.7
解决本题的思路可分为三步：第一步先确定原水面的宽度，从图中可知原水面两端点的横坐标为±12，可直接计算原宽度，再算出宽度减半后的新宽度；第二步利用抛物线关于y轴对称的性质，可知水面两端点的横坐标绝对值为水面宽度的一半，分别将原水面、新水面对应的横坐标代入抛物线解析式，求出对应的纵坐标（即水面的高度值）；第三步由于y轴向上，纵坐标越小位置越低，两个纵坐标的差就是水面下降的高度。
【解析】
解：由题图可得，原水面的左右端点横坐标为-12和12，因此原水面宽度为：
$12-(-12)=24(\mathrm{m})$
水面宽度减少为原来的一半后，新水面宽度为：
$24÷2=12(\mathrm{m})$
已知抛物线表达式为$y=\frac{1}{45}x^2 -5$：
1. 求原水面的纵坐标：将$x=12$代入解析式，得
$y=\frac{1}{45}×12^2 -5=\frac{144}{45}-5=-1.8$
2. 求宽度减半后水面的纵坐标：此时水面端点横坐标绝对值为$12÷2=6$，将$x=6$代入解析式，得
$y=\frac{1}{45}×6^2 -5=\frac{36}{45}-5=-4.2$
水面下降的高度为两个纵坐标的差值：
$(-1.8)-(-4.2)=2.4(\mathrm{m})$
【答案】
水面下降了$\boldsymbol{2.4\ \mathrm{m}}$
【知识点】
二次函数的实际应用、二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题结合生活实际场景考查二次函数的应用，解题的核心是理解水面宽度和抛物线上点的横坐标的对应关系，掌握代入法求二次函数的函数值，能结合坐标系的几何意义计算高度差。
【难度系数】
0.7
9. 如图，平行于x轴的直线$l:y=3$与抛物线$y=3x^2$交于点A,B，点A在点B的左侧。
(1)求点A,B的坐标；
(2)点C为x轴上的任意一点，求$△ ABC$的面积。
(1)求点A,B的坐标；
(2)点C为x轴上的任意一点，求$△ ABC$的面积。
答案
9.解:(1)当 $y=3$ 时,$3x^2=3$,
解得 $x_1=-1,x_2=1$。
∵点 A 在点 B 的左侧,
∴点 A 的坐标为(－1,3),点 B 的坐标为(1,3)。
(2)
∵A(－1,3),B(1,3),
∴AB=1－(－1)=2。
∵点 C 为 x 轴上的任意一点,
∴点 C 到直线 y=3 的距离为 3,
∴$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×2×3=3$,
故△ABC 的面积为 3。
解得 $x_1=-1,x_2=1$。
∵点 A 在点 B 的左侧,
∴点 A 的坐标为(－1,3),点 B 的坐标为(1,3)。
(2)
∵A(－1,3),B(1,3),
∴AB=1－(－1)=2。
∵点 C 为 x 轴上的任意一点,
∴点 C 到直线 y=3 的距离为 3,
∴$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×2×3=3$,
故△ABC 的面积为 3。
解析
【分析】
(1)求直线与抛物线的交点坐标，只需将直线的y值代入抛物线解析式，求解对应的x值，再结合点A在点B左侧的条件，即可确定两点坐标。
(2)求△ABC的面积时，先根据A、B的坐标算出平行于x轴的线段AB的长度，再结合点C在x轴上的条件，可知点C到直线AB（y=3）的距离固定为3，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1)把$y=3$代入抛物线解析式$y=3x^2$，得：
$3x^2=3$
解得$x_1=-1$，$x_2=1$
∵点A在点B的左侧，
∴点A的坐标为$(-1,3)$，点B的坐标为$(1,3)$。
(2)由A$(-1,3)$、B$(1,3)$，可得AB的长度：
$AB=1-(-1)=2$
∵点C在x轴上，直线AB的解析式为$y=3$，
∴点C到直线AB的距离为$3-0=3$
代入三角形面积公式：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×AB×高=\frac{1}{2}×2×3=3$
【答案】
(1)A$(-1,3)$，B$(1,3)$；
(2)$△ ABC$的面积为3。
【知识点】
二次函数交点求解、坐标系内线段长度计算、三角形面积计算
【点评】
本题是二次函数的基础题型，解题关键是掌握函数交点的求解方法，能准确判断平行于坐标轴的线段长度，以及坐标系中三角形高的取值，整体计算难度低，思路清晰。
【难度系数】
0.8
(1)求直线与抛物线的交点坐标，只需将直线的y值代入抛物线解析式，求解对应的x值，再结合点A在点B左侧的条件，即可确定两点坐标。
(2)求△ABC的面积时，先根据A、B的坐标算出平行于x轴的线段AB的长度，再结合点C在x轴上的条件，可知点C到直线AB（y=3）的距离固定为3，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1)把$y=3$代入抛物线解析式$y=3x^2$，得：
$3x^2=3$
解得$x_1=-1$，$x_2=1$
∵点A在点B的左侧，
∴点A的坐标为$(-1,3)$，点B的坐标为$(1,3)$。
(2)由A$(-1,3)$、B$(1,3)$，可得AB的长度：
$AB=1-(-1)=2$
∵点C在x轴上，直线AB的解析式为$y=3$，
∴点C到直线AB的距离为$3-0=3$
代入三角形面积公式：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×AB×高=\frac{1}{2}×2×3=3$
【答案】
(1)A$(-1,3)$，B$(1,3)$；
(2)$△ ABC$的面积为3。
【知识点】
二次函数交点求解、坐标系内线段长度计算、三角形面积计算
【点评】
本题是二次函数的基础题型，解题关键是掌握函数交点的求解方法，能准确判断平行于坐标轴的线段长度，以及坐标系中三角形高的取值，整体计算难度低，思路清晰。
【难度系数】
0.8
