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12. 若关于$m$的多项式$-3m^2 + 2nm - m + 6n -1$的化简结果不含一次项，则$n=$（
A.3
B.$-3$
C.$\frac{1}{2}$
D.$-2$
C
）A.3
B.$-3$
C.$\frac{1}{2}$
D.$-2$
答案
12.C
解析
【分析】
首先明确该多项式是关于m的多项式，因此n看作常数。解题思路如下：1. 先找出多项式中所有含m的一次项，合并同类项得到一次项的总系数；2. 理解“化简结果不含一次项”的含义：即合并后一次项的系数等于0；3. 根据系数为0列一元一次方程，求解即可得到n的值。
【解析】
首先对多项式合并同类项，整理得：
$-3m^2 + 2nm - m + 6n -1 = -3m^2 + (2n - 1)m + (6n - 1)$
因为化简结果不含关于m的一次项，所以一次项的系数为0，即：
$2n - 1 = 0$
解这个方程：
$2n = 1$
$n = \frac{1}{2}$
【答案】
C
【知识点】
1. 合并同类项
2. 多项式的项与系数
3. 解一元一次方程
【点评】
本题是合并同类项的基础应用题型，核心考点是对“多项式不含某一项”的理解，即对应项的系数为0，掌握这一逻辑即可快速解题。
【难度系数】
0.7
首先明确该多项式是关于m的多项式，因此n看作常数。解题思路如下：1. 先找出多项式中所有含m的一次项，合并同类项得到一次项的总系数；2. 理解“化简结果不含一次项”的含义：即合并后一次项的系数等于0；3. 根据系数为0列一元一次方程，求解即可得到n的值。
【解析】
首先对多项式合并同类项，整理得：
$-3m^2 + 2nm - m + 6n -1 = -3m^2 + (2n - 1)m + (6n - 1)$
因为化简结果不含关于m的一次项，所以一次项的系数为0，即：
$2n - 1 = 0$
解这个方程：
$2n = 1$
$n = \frac{1}{2}$
【答案】
C
【知识点】
1. 合并同类项
2. 多项式的项与系数
3. 解一元一次方程
【点评】
本题是合并同类项的基础应用题型，核心考点是对“多项式不含某一项”的理解，即对应项的系数为0，掌握这一逻辑即可快速解题。
【难度系数】
0.7
13.若单项式$x^{a+2}y^2$与$3xy^b$的和是单项式，则$a^b$的值是（
A.$-2$
B.$2$
C.$-1$
D.$1$
D
）A.$-2$
B.$2$
C.$-1$
D.$1$
答案
13.D
解析
【分析】
首先明确两个单项式的和仍为单项式，说明这两个单项式是同类项。接下来回忆同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。据此我们可以分别列出关于a、b的等式，求出a、b的取值后，再代入$a^b$计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵单项式$x^{a+2}y^2$与$3xy^b$的和是单项式
∴$x^{a+2}y^2$与$3xy^b$是同类项
根据同类项的定义，相同字母的指数相等，可得：
$a+2=1$，$b=2$
解得$a=-1$，$b=2$
将$a=-1$，$b=2$代入$a^b$，得：
$a^b=(-1)^2=1$
故选：D
【答案】
D
【知识点】
同类项的定义；有理数的乘方
【点评】
本题考查同类项的相关应用，解题核心是根据“两个单项式的和为单项式”判定二者为同类项，再利用同类项的指数特征求解参数，整体考查内容比较基础，掌握同类项的定义即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
首先明确两个单项式的和仍为单项式，说明这两个单项式是同类项。接下来回忆同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。据此我们可以分别列出关于a、b的等式，求出a、b的取值后，再代入$a^b$计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵单项式$x^{a+2}y^2$与$3xy^b$的和是单项式
∴$x^{a+2}y^2$与$3xy^b$是同类项
根据同类项的定义，相同字母的指数相等，可得：
$a+2=1$，$b=2$
解得$a=-1$，$b=2$
将$a=-1$，$b=2$代入$a^b$，得：
$a^b=(-1)^2=1$
故选：D
【答案】
D
【知识点】
同类项的定义；有理数的乘方
【点评】
本题考查同类项的相关应用，解题核心是根据“两个单项式的和为单项式”判定二者为同类项，再利用同类项的指数特征求解参数，整体考查内容比较基础，掌握同类项的定义即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
14. 求下列各式的值：
(1) $\frac{1}{4}a^2b - 0.4ab^2 - \frac{1}{2}a^2b + \frac{2}{5}ab^2 - 1$，其中 $a=2, b=-1$。
(2) $\frac{1}{4}(x-y)^2 - 0.3(x-y) + 0.75(x-y)^2 + \frac{3}{10}(x-y) - 2(x-y) +7$，其中 $x-y=3$。
(1) $\frac{1}{4}a^2b - 0.4ab^2 - \frac{1}{2}a^2b + \frac{2}{5}ab^2 - 1$，其中 $a=2, b=-1$。
(2) $\frac{1}{4}(x-y)^2 - 0.3(x-y) + 0.75(x-y)^2 + \frac{3}{10}(x-y) - 2(x-y) +7$，其中 $x-y=3$。
答案
14.解:(1)原式=$(\frac{1}{4}a^2b-\frac{1}{2}a^2b)+(-0.4ab^2+\frac{2}{5}ab^2)-1=-\frac{1}{4}a^2b-1$. 当$a=2,b=-1$时,原式=$-\frac{1}{4}×2^2×(-1)-1=0$.
(2)原式=$(x-y)^2-2(x-y)+7$. 当$x-y=3$时,原式=$3^2-2×3+7=10$.
(2)原式=$(x-y)^2-2(x-y)+7$. 当$x-y=3$时,原式=$3^2-2×3+7=10$.
解析
【分析】
这两道题均为代数式求值类问题，解题核心思路是先合并同类项化简原式，再代入对应数值计算，可避免直接代入的复杂运算，降低出错概率。第(1)题先识别出$a^2b$、$ab^2$、常数项三类同类项，分别合并即可；第(2)题可将$(x-y)$看作一个整体，识别出$(x-y)^2$、$(x-y)$、常数项三类同类项，合并后再代入数值计算更简便。
【解析】
(1) 合并同类项化简：
原式=$(\frac{1}{4}a^2b-\frac{1}{2}a^2b)+(-0.4ab^2+\frac{2}{5}ab^2)-1$
计算同类项系数和：$\frac{1}{4}-\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}$，$-0.4+\frac{2}{5}=0$，因此化简得：$-\frac{1}{4}a^2b-1$
将$a=2,b=-1$代入化简后的式子：
原式=$-\frac{1}{4}×2^2×(-1)-1=-\frac{1}{4}×4×(-1)-1=1-1=0$
(2) 将$(x-y)$看作整体合并同类项：
原式=$(\frac{1}{4}(x-y)^2 + 0.75(x-y)^2)+(-0.3(x-y)+\frac{3}{10}(x-y)-2(x-y))+7$
计算同类项系数和：$\frac{1}{4}+0.75=1$，$-0.3+\frac{3}{10}-2=-2$，因此化简得：$(x-y)^2-2(x-y)+7$
将$x-y=3$代入化简后的式子：
原式=$3^2-2×3+7=9-6+7=10$
【答案】
(1) $\boxed{0}$；(2) $\boxed{10}$
【知识点】
合并同类项；代数式求值；整体代入法
【点评】
代数式求值类问题优先化简再代入可大幅降低计算量，遇到重复出现的多项式时，可将其看作整体合并同类项，能有效避免拆分计算带来的错误。
【难度系数】
0.8
这两道题均为代数式求值类问题，解题核心思路是先合并同类项化简原式，再代入对应数值计算，可避免直接代入的复杂运算，降低出错概率。第(1)题先识别出$a^2b$、$ab^2$、常数项三类同类项，分别合并即可；第(2)题可将$(x-y)$看作一个整体，识别出$(x-y)^2$、$(x-y)$、常数项三类同类项，合并后再代入数值计算更简便。
【解析】
(1) 合并同类项化简：
原式=$(\frac{1}{4}a^2b-\frac{1}{2}a^2b)+(-0.4ab^2+\frac{2}{5}ab^2)-1$
计算同类项系数和：$\frac{1}{4}-\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}$，$-0.4+\frac{2}{5}=0$，因此化简得：$-\frac{1}{4}a^2b-1$
将$a=2,b=-1$代入化简后的式子：
原式=$-\frac{1}{4}×2^2×(-1)-1=-\frac{1}{4}×4×(-1)-1=1-1=0$
(2) 将$(x-y)$看作整体合并同类项：
原式=$(\frac{1}{4}(x-y)^2 + 0.75(x-y)^2)+(-0.3(x-y)+\frac{3}{10}(x-y)-2(x-y))+7$
计算同类项系数和：$\frac{1}{4}+0.75=1$，$-0.3+\frac{3}{10}-2=-2$，因此化简得：$(x-y)^2-2(x-y)+7$
将$x-y=3$代入化简后的式子：
原式=$3^2-2×3+7=9-6+7=10$
【答案】
(1) $\boxed{0}$；(2) $\boxed{10}$
【知识点】
合并同类项；代数式求值；整体代入法
【点评】
代数式求值类问题优先化简再代入可大幅降低计算量，遇到重复出现的多项式时，可将其看作整体合并同类项，能有效避免拆分计算带来的错误。
【难度系数】
0.8
15. 某学校组织七、八年级全体同学参观七亘大捷爱国主义教育基地(位于平定县东回镇七亘村),如图.七年级租用45座大巴车$x$辆,55座大巴车$y$辆;八年级租用30座中巴车$y$辆,55座大巴车$x$辆.若每辆车恰好坐满学生.
(1)七、八年级各有多少名学生?
(2)七、八年级共有多少名学生?
(3)当$x=4,y=6$时,该学校七、八年级共有多少名学生?
(1)七、八年级各有多少名学生?
(2)七、八年级共有多少名学生?
(3)当$x=4,y=6$时,该学校七、八年级共有多少名学生?
答案
15.解:(1)七年级有$(45x+55y)$名学生,八年级有$(55x+30y)$名学生.
(2)$45x+55y+55x+30y=(100x+85y)$名. 答:七、八年级共有$(100x+85y)$名学生.
(3)当$x=4$,$y=6$时,$100x+85y=100×4+85×6=910$.答:当$x=4$,$y=6$时,该学校七、八年级共有910名学生.
(2)$45x+55y+55x+30y=(100x+85y)$名. 答:七、八年级共有$(100x+85y)$名学生.
(3)当$x=4$,$y=6$时,$100x+85y=100×4+85×6=910$.答:当$x=4$,$y=6$时,该学校七、八年级共有910名学生.
解析
【分析】
解题时先明确“每类车型承载总人数=单辆车座位数×租用车辆数”的基础数量关系：(1)分别将七、八年级各类车型的承载人数相加，即可得到两个年级各自的学生总数；(2)把两个年级的人数相加后合并同类项，就能得到总人数的化简表达式；(3)将x=4、y=6代入第(2)问得到的总人数表达式中计算，即可求出对应实际总人数。
【解析】
(1) 七年级45座大巴可承载$45x$人，55座大巴可承载$55y$人，且每辆车恰好坐满，因此七年级学生总数为：$45x+55y$名；
八年级30座中巴可承载$30y$人，55座大巴可承载$55x$人，同理八年级学生总数为：$55x+30y$名。
(2) 七、八年级总人数为两个年级人数之和：
$\begin{split}&\;\;\;\;\;45x+55y+55x+30y\\&=(45x+55x)+(55y+30y)\\&=100x+85y\end{split}$
即七、八年级共有$(100x+85y)$名学生。
(3) 将$x=4$，$y=6$代入$100x+85y$得：
$\begin{split}&\;\;\;\;\;100×4+85×6\\&=400+510\\&=910\end{split}$
即此时七、八年级共有910名学生。
【答案】
(1) 七年级有$(45x+55y)$名学生，八年级有$(55x+30y)$名学生；
(2) 七、八年级共有$(100x+85y)$名学生；
(3) 当$x=4,y=6$时，该学校七、八年级共有910名学生。
【知识点】
列代数式、合并同类项、代数式求值
【点评】
本题结合实际租车场景考查代数式的基础应用，解题关键是准确梳理数量关系，正确完成同类项合并和代值计算，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.85
解题时先明确“每类车型承载总人数=单辆车座位数×租用车辆数”的基础数量关系：(1)分别将七、八年级各类车型的承载人数相加，即可得到两个年级各自的学生总数；(2)把两个年级的人数相加后合并同类项，就能得到总人数的化简表达式；(3)将x=4、y=6代入第(2)问得到的总人数表达式中计算，即可求出对应实际总人数。
【解析】
(1) 七年级45座大巴可承载$45x$人，55座大巴可承载$55y$人，且每辆车恰好坐满，因此七年级学生总数为：$45x+55y$名；
八年级30座中巴可承载$30y$人，55座大巴可承载$55x$人，同理八年级学生总数为：$55x+30y$名。
(2) 七、八年级总人数为两个年级人数之和：
$\begin{split}&\;\;\;\;\;45x+55y+55x+30y\\&=(45x+55x)+(55y+30y)\\&=100x+85y\end{split}$
即七、八年级共有$(100x+85y)$名学生。
(3) 将$x=4$，$y=6$代入$100x+85y$得：
$\begin{split}&\;\;\;\;\;100×4+85×6\\&=400+510\\&=910\end{split}$
即此时七、八年级共有910名学生。
【答案】
(1) 七年级有$(45x+55y)$名学生，八年级有$(55x+30y)$名学生；
(2) 七、八年级共有$(100x+85y)$名学生；
(3) 当$x=4,y=6$时，该学校七、八年级共有910名学生。
【知识点】
列代数式、合并同类项、代数式求值
【点评】
本题结合实际租车场景考查代数式的基础应用，解题关键是准确梳理数量关系，正确完成同类项合并和代值计算，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.85
16.(教材 P94 习题 T9 变式)有这样一道题:当$a=2024,b=-2025$时,求多项式$7a^3 -6a^3b+3a^2b+3a^3+6a^3b-3a^2b-10a^3+2025$的值.
小明说:"本题中‘$a=2024,b=-2025$’是多余的条件."小强马上反对说:"这不可能,多项式中含有$a$和$b$,不给出$a,b$的值,怎么能求出多项式的值呢?"
你同意谁的观点?请说明理由.
小明说:"本题中‘$a=2024,b=-2025$’是多余的条件."小强马上反对说:"这不可能,多项式中含有$a$和$b$,不给出$a,b$的值,怎么能求出多项式的值呢?"
你同意谁的观点?请说明理由.
答案
16.解:同意小明的观点. 理由: $\because 7a^3-6a^3b+3a^2b+3a^3+6a^3b-3a^2b-10a^3+2025=(7a^3+3a^3-10a^3)+(-6a^3b+6a^3b)+(3a^2b-3a^2b)+2025=2025$,$\therefore$小明的观点正确.
解析
【分析】
要判断题目中给出的a、b取值是否为多余条件，核心思路是对多项式进行化简：如果合并同类项后的结果不含字母a、b，说明多项式的取值和a、b无关，那么给出的a、b数值就是多余的，反之则需要代入数值计算。解题时先识别多项式中的同类项，再按照“同类项系数相加，字母和字母指数不变”的合并同类项法则计算，最后观察化简结果即可判断两人观点的正误。
【解析】
同意小明的观点，理由如下：
对多项式合并同类项：
$\begin{aligned}&7a^3 -6a^3b+3a^2b+3a^3+6a^3b-3a^2b-10a^3+2025\\=&(7a^3+3a^3-10a^3)+(-6a^3b+6a^3b)+(3a^2b-3a^2b)+2025\\=&0+0+0+2025\\=&2025\end{aligned}$
化简后结果为常数2025，不含有字母a和b，说明多项式的值与a、b的取值无关，因此题目中“$a=2024,b=-2025$”是多余的条件，小明的观点正确。
【答案】
同意小明的观点，多项式化简后的值为2025，与a、b的取值无关，因此给出的a、b条件是多余的。
【知识点】
合并同类项，整式化简求值
【点评】
本题考查合并同类项的实际应用，解题关键是通过化简判断结果是否与未知字母相关，若直接代入给定的a、b数值计算会非常繁琐，熟练掌握合并同类项法则可快速解题。
【难度系数】
0.8
要判断题目中给出的a、b取值是否为多余条件，核心思路是对多项式进行化简：如果合并同类项后的结果不含字母a、b，说明多项式的取值和a、b无关，那么给出的a、b数值就是多余的，反之则需要代入数值计算。解题时先识别多项式中的同类项，再按照“同类项系数相加，字母和字母指数不变”的合并同类项法则计算，最后观察化简结果即可判断两人观点的正误。
【解析】
同意小明的观点，理由如下：
对多项式合并同类项：
$\begin{aligned}&7a^3 -6a^3b+3a^2b+3a^3+6a^3b-3a^2b-10a^3+2025\\=&(7a^3+3a^3-10a^3)+(-6a^3b+6a^3b)+(3a^2b-3a^2b)+2025\\=&0+0+0+2025\\=&2025\end{aligned}$
化简后结果为常数2025，不含有字母a和b，说明多项式的值与a、b的取值无关，因此题目中“$a=2024,b=-2025$”是多余的条件，小明的观点正确。
【答案】
同意小明的观点，多项式化简后的值为2025，与a、b的取值无关，因此给出的a、b条件是多余的。
【知识点】
合并同类项，整式化简求值
【点评】
本题考查合并同类项的实际应用，解题关键是通过化简判断结果是否与未知字母相关，若直接代入给定的a、b数值计算会非常繁琐，熟练掌握合并同类项法则可快速解题。
【难度系数】
0.8
17.多项式$m - 3m + 5m - 7m + \dots - 99m$合并同类项的结果为（
A.$-100m$
B.$-50m$
C.$-200m$
D.$-150m$
B
）A.$-100m$
B.$-50m$
C.$-200m$
D.$-150m$
答案
17.B
解析
【分析】
观察发现该多项式所有项都是含有m的同类项，系数是从1开始的连续奇数，且正负交替出现，最后一项系数为-99。解题时先确定总项数，再利用系数的规律两两分组简化计算，最后合并得到结果。
【解析】
第一步：计算总项数：系数为1、3、5…99的连续奇数，总个数为$(99+1)÷2=50$，即多项式共有50项；
第二步：观察符号规律：奇数项系数为正，偶数项系数为负，可将相邻两项分为一组，共分为$50÷2=25$组；
第三步：计算每组的结果：$(m-3m)=-2m$，$(5m-7m)=-2m$，……，每组合并后均为$-2m$；
第四步：计算总和：$25×(-2m)=-50m$。
【答案】
B
【知识点】
合并同类项；有理数加减运算；数字规律探究
【点评】
本题考查合并同类项的灵活应用，解题核心是发现系数的符号和数值变化规律，通过分组运算可大幅降低计算量，避免逐项计算出错。
【难度系数】
0.7
观察发现该多项式所有项都是含有m的同类项，系数是从1开始的连续奇数，且正负交替出现，最后一项系数为-99。解题时先确定总项数，再利用系数的规律两两分组简化计算，最后合并得到结果。
【解析】
第一步：计算总项数：系数为1、3、5…99的连续奇数，总个数为$(99+1)÷2=50$，即多项式共有50项；
第二步：观察符号规律：奇数项系数为正，偶数项系数为负，可将相邻两项分为一组，共分为$50÷2=25$组；
第三步：计算每组的结果：$(m-3m)=-2m$，$(5m-7m)=-2m$，……，每组合并后均为$-2m$；
第四步：计算总和：$25×(-2m)=-50m$。
【答案】
B
【知识点】
合并同类项；有理数加减运算；数字规律探究
【点评】
本题考查合并同类项的灵活应用，解题核心是发现系数的符号和数值变化规律，通过分组运算可大幅降低计算量，避免逐项计算出错。
【难度系数】
0.7
