1.已知某物体的质量$m$（单位：kg）与其体积$V$（单位：$\mathrm{m}^3$）成反比例关系，即$m=\frac{k}{V}$，当体积是$2\ \mathrm{m}^3$时，质量为$10\ \mathrm{kg}$，则$m$关于$V$的函数解析式是（）

A.$m=\frac{2}{V}$
B.$m=\frac{5}{V}$
C.$m=\frac{10}{V}$
D.$m=\frac{20}{V}$

1.D

【分析】
要解决这个问题，首先根据“m与V成反比例关系”确定函数的基本形式，再利用已知的V和m的对应值，通过待定系数法求出常数k，进而得到函数解析式，最后对比选项选出正确答案。
【解析】
因为物体的质量m与体积V成反比例关系，所以设函数解析式为$ m = \frac{k}{V} $（$ k ≠ 0 $）。
将$ V = 2\ \mathrm{m}^3 $，$ m = 10\ \mathrm{kg} $代入解析式，可得：
$ 10 = \frac{k}{2} $
解得$ k = 10 × 2 = 20 $。
因此，m关于V的函数解析式为$ m = \frac{20}{V} $，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数解析式的确定；待定系数法
【点评】
本题是反比例函数的基础应用题，核心考查用待定系数法求反比例函数的解析式，属于基础题型，只要掌握反比例函数的基本形式和代入求值的方法即可轻松解答。
【难度系数】
0.8

2. 新情境 金属的延展性是指金属可被拉成细丝或压成薄片的特性，其中金的延展性在金属中表现尤为突出.现将某颗金豆拉成金丝，已知金丝的横截面积$ S $（单位：$\mathrm{mm}^2$）是长度$ L $（单位：$\mathrm{m}$）的反比例函数，当$ L = 8000 \ \mathrm{m} $时，$ S = 0.0005 \ \mathrm{mm}^2 $.若最终金丝的横截面积为$ 0.0004 \ \mathrm{mm}^2 $，则此时金丝的长度为 $\mathrm{m}$.

2.10 000

【分析】
本题是反比例函数在实际问题中的应用，解题思路如下：①根据题意，横截面积$ S $是长度$ L $的反比例函数，设反比例函数解析式为$ S = \frac{k}{L} $（$ k≠0 $）；②利用已知的$ L $和$ S $的值，通过待定系数法求出常数$ k $；③将目标$ S $值代入已确定的解析式，计算对应的$ L $值，即可得到结果。
【解析】
设反比例函数解析式为$ S = \frac{k}{L} $（$ k $为常数，$ k≠0 $）。
把$ L = 8000 \, \mathrm{m} $，$ S = 0.0005 \, \mathrm{mm}^2 $代入解析式，得：
$ 0.0005 = \frac{k}{8000} $，
解得$ k = 0.0005×8000 = 4 $，
因此反比例函数解析式为$ S = \frac{4}{L} $。
当$ S = 0.0004 \, \mathrm{mm}^2 $时，代入解析式得：
$ 0.0004 = \frac{4}{L} $，
解得$ L = \frac{4}{0.0004} = 10000 \, \mathrm{m} $。
【答案】
10000
【知识点】
反比例函数的应用、待定系数法
【点评】
本题结合金属延展性的实际情境，考查反比例函数的基础应用，核心是掌握反比例函数的定义和待定系数法求解析式，题目难度较低，属于基础题型。
【难度系数】
0.8

3. [2026福州期中]近视镜镜片的焦距y(单位：m)和镜片的度数x(单位：度)之间满足一定的关系，下表记录了一组数据：

(1)求焦距y(单位：m)和度数x(单位：度)之间满足的函数解析式；
(2)利用(1)中的结论计算：当镜片的度数为400度时，镜片的焦距为m.

3.解：(1)$y=\frac{100}{x}$.(2)0.25

【分析】先观察表格中x与y的对应值，计算每组x和y的乘积，发现乘积为定值，判断y与x成反比例函数关系；设反比例函数解析式，代入数据求出比例系数，得到函数解析式；再将x=400代入解析式计算对应的焦距。
【解析】(1) 由表格数据可知：100×1=100，200×0.5=100，250×0.4=100，500×0.2=100，即x与y的乘积为定值100，因此y与x成反比例函数关系，设解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$。将$x=100,y=1$代入得$1=\frac{k}{100}$，解得$k=100$，故函数解析式为$y=\frac{100}{x}$。
(2) 当$x=400$时，代入解析式得$y=\frac{100}{400}=0.25$。
【答案】(1)$y=\frac{100}{x}$；(2)$0.25$
【知识点】反比例函数、函数解析式
【点评】本题结合实际应用考查反比例函数的应用，通过数据特征确定函数类型是解题关键，步骤清晰，难度不大。
【难度系数】0.6

4.新情境某算力中心的总算力固定不变，完成全部运算任务所需时间$t$(单位:h)与在线AI算力节点数$x$(单位:个)成反比例函数关系.已知开启40个算力节点工作时,完成全部任务需6 h.若全部任务需在4 h内完成,则至少需要开启个算力节点.

4.60

【分析】
本题考查反比例函数的实际应用，解题思路为：①根据题意明确t与x成反比例关系，设出反比例函数表达式；②利用已知条件（x=40时t=6）求出反比例函数的常数k；③将t=4代入函数表达式，计算对应的x值，结合实际意义（算力节点数为正整数）确定至少需要的节点数。
【解析】
因为完成全部任务的时间t与在线算力节点数x成反比例函数关系，所以设反比例函数为$ t = \frac{k}{x} $（k为常数，k≠0）。
将$ x=40 $，$ t=6 $代入函数得：$ 6 = \frac{k}{40} $，解得$ k = 40×6 = 240 $，因此反比例函数表达式为$ t = \frac{240}{x} $。
当任务需在4h内完成时，即$ t≤4 $，代入函数得$ \frac{240}{x} ≤4 $，解不等式：两边同乘x（x为正整数，不等号方向不变）得$ 240 ≤4x $，即$ x≥60 $。
由于算力节点数x为正整数，所以至少需要开启60个算力节点。
【答案】
60
【知识点】
反比例函数的应用、反比例函数解析式
【点评】
本题是反比例函数在实际生活中的基础应用，核心是利用反比例关系建立函数模型，关键在于正确求解函数参数并结合实际意义确定结果，属于常规应用题，难度较低。
【难度系数】
0.6

5. 跨学科·物理 某气球内充满了一定质量的气体，在气温不变的条件下，气球内气体的压强$ p $（单位：Pa）与气球体积$ V $（单位：$ \mathrm{m}^3 $）之间满足反比例函数关系 $ p = \frac{24000}{V} $。当气球内气体的压强不超过40 000 Pa时，气球不会爆炸，为确保气球不爆炸，气球体积$ V $的取值范围是。

5.$V≥ 0.6\ \mathrm{m}^3$

【分析】首先明确题目中压强$ p $与体积$ V $满足反比例函数关系，关系式为$ p = \frac{24000}{V} $；气球不爆炸的条件是压强$ p $不超过40000 Pa，即$ p ≤ 40000 $。将$ p $的表达式代入该不等式，结合体积$ V $为正数的实际意义，解不等式即可得到$ V $的取值范围。
【解析】根据题意，气球不爆炸需满足压强$ p ≤ 40000 $ Pa，将$ p = \frac{24000}{V} $代入不等式得：
$\frac{24000}{V} ≤ 40000$
因为体积$ V＞0 $，不等式两边同时乘以$ V $，不等号方向不变，得：
$24000 ≤ 40000V$
两边同时除以40000，解得：
$V ≥ \frac{24000}{40000} = 0.6$
即气球体积$ V $的取值范围是$ V ≥ 0.6\ \mathrm{m}^3 $。
【答案】$ V ≥ 0.6\ \mathrm{m}^3 $
【知识点】反比例函数的应用，不等式的应用
【点评】本题为跨学科题目，结合物理中气体压强与体积的关系，考查反比例函数在实际问题中的应用，关键是将“不超过”转化为不等式，同时注意实际问题中变量的取值范围，难度适中。
【难度系数】0.6

6. 跨学科·物理 杠杆原理也称为“杠杆平衡条件”，要使杠杆平衡，作用在杠杆上的两个力矩（力与力臂的乘积）大小必须相等，即阻力×阻力臂＝动力×动力臂. 如图，已知石头的重力（阻力）为3 200 N，阻力臂为0.25 m.
(1)求动力F与动力臂l的函数解析式.
(2)小华想用一根撬棍撬起这块石头，他最多能使出500 N的力，他用撬棍撬起这块石头时的动力臂长度最短为多少？

6.解：(1)$F=\frac{800}{l}$.(2)1.6 m.

【分析】
要解决这道题，需利用杠杆平衡条件：阻力×阻力臂＝动力×动力臂。第(1)问已知阻力和阻力臂，代入公式可推导动力与动力臂的函数解析式；第(2)问已知最大动力，代入函数解析式即可求出对应的最短动力臂长度。
【解析】
(1) 根据杠杆平衡条件：阻力×阻力臂＝动力×动力臂，设动力为$F$，动力臂为$l$，已知阻力为$3200\ \mathrm{N}$，阻力臂为$0.25\ \mathrm{m}$，代入得：
$3200×0.25 = F· l$
计算左边得$800$，因此$F· l=800$，整理得函数解析式：$F=\frac{800}{l}$。
(2) 已知小华最多能使出的动力$F=500\ \mathrm{N}$，将其代入(1)中的函数解析式$F=\frac{800}{l}$，得：
$500=\frac{800}{l}$
解得：$l=\frac{800}{500}=1.6\ \mathrm{m}$，即动力臂最短为$1.6\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1)$F=\frac{800}{l}$；(2)$1.6\ \mathrm{m}$
【知识点】
杠杆平衡条件，函数解析式，分式方程应用
【点评】
本题结合撬石头的实际场景，将物理杠杆知识与数学函数结合，考查基础知识的应用，难度适中，能帮助学生理解物理知识在生活中的实际运用。
【难度系数】
0.6