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7. 数学文化《九章算术》中记载了古代“均赋”思想:当物资总量一定时,分摊的人数越多,平均每人分到的质量越少.现有一批粮食总量固定,设分摊人数为$x$,平均每人分到粮食为$y$ kg,且当$x=40$时,$y=15$,则下列说法错误的是 (
A.平均每人分到的粮食质量$y$是分摊人数$x$的反比例函数
B.当分摊人数减少时,平均每人分到粮食的质量增加
C.当$x=50$时,平均每人分到粮食12 kg
D.这批粮食总量有500 kg
D
)A.平均每人分到的粮食质量$y$是分摊人数$x$的反比例函数
B.当分摊人数减少时,平均每人分到粮食的质量增加
C.当$x=50$时,平均每人分到粮食12 kg
D.这批粮食总量有500 kg
答案
7.D
解析
【分析】首先，根据题目中“物资总量固定”，可知分摊人数$x$与平均每人分到的粮食$y$的乘积为定值，因此$y$是$x$的反比例函数。先设反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}$，代入已知的$x=40$、$y=15$求出常数$k$（即粮食总量），再逐一分析各选项判断对错，最终选出错误选项。
【解析】因为粮食总量固定，所以$y$与$x$成反比例函数，设解析式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数且$k≠0$）。将$x=40$，$y=15$代入解析式，得$k=xy=40×15=600$，因此函数解析式为$y=\frac{600}{x}$。
选项A：$y=\frac{600}{x}$符合反比例函数的定义，故A正确；
选项B：由于$k=600＞0$，在$x＞0$时，$y$随$x$的减小而增大，因此分摊人数减少时，平均每人分到的粮食质量增加，故B正确；
选项C：当$x=50$时，$y=\frac{600}{50}=12$，故C正确；
选项D：粮食总量为$k=600$kg，并非500kg，故D错误。
综上，错误的说法是D。
【答案】D
【知识点】反比例函数的应用，反比例函数的定义
【点评】本题结合《九章算术》的“均赋”思想，考查反比例函数在实际问题中的应用，核心是先确定函数解析式，再通过解析式分析选项，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.7
【解析】因为粮食总量固定，所以$y$与$x$成反比例函数，设解析式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数且$k≠0$）。将$x=40$，$y=15$代入解析式，得$k=xy=40×15=600$，因此函数解析式为$y=\frac{600}{x}$。
选项A：$y=\frac{600}{x}$符合反比例函数的定义，故A正确；
选项B：由于$k=600＞0$，在$x＞0$时，$y$随$x$的减小而增大，因此分摊人数减少时，平均每人分到的粮食质量增加，故B正确；
选项C：当$x=50$时，$y=\frac{600}{50}=12$，故C正确；
选项D：粮食总量为$k=600$kg，并非500kg，故D错误。
综上，错误的说法是D。
【答案】D
【知识点】反比例函数的应用，反比例函数的定义
【点评】本题结合《九章算术》的“均赋”思想，考查反比例函数在实际问题中的应用，核心是先确定函数解析式，再通过解析式分析选项，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.7
8. 跨学科·生物 根据生物学知识，生存资源总量固定，单个微生物平均获得的营养单位数与微生物数量成反比例关系.某生态培养瓶内营养总量固定，设微生物为$ x $个，单个微生物平均获得$ y $个营养单位.当单个微生物平均获得10个营养单位时，微生物为200个，若要保证单个微生物平均至少获得4个营养单位，则微生物最多为
500
个.答案
8.500
解析
【分析】首先根据反比例关系设出函数解析式，利用已知条件求出比例系数确定函数表达式，再根据“单个微生物平均至少获得4个营养单位”的条件列出不等式，求解不等式得到微生物的最大数量。
【解析】因为单个微生物平均获得的营养单位数$ y $与微生物数量$ x $成反比例关系，所以设$ y = \frac{k}{x} $（$ k≠0 $）。
将$ x=200 $，$ y=10 $代入解析式，得$ 10 = \frac{k}{200} $，解得$ k = 10×200 = 2000 $，因此函数解析式为$ y = \frac{2000}{x} $。
要保证单个微生物平均至少获得4个营养单位，即$ y≥4 $，代入得$ \frac{2000}{x} ≥4 $。
由于微生物数量$ x＞0 $，两边同时乘$ x $得：$ 2000 ≥4x $，解得$ x ≤500 $。
所以微生物最多为500个。
【答案】500
【知识点】反比例函数的应用、不等式的应用
【点评】本题结合生物知识考查反比例函数的实际应用，核心是先确定反比例函数解析式，再根据题意列不等式求解，注重跨学科知识的结合，属于基础应用类题目。
【难度系数】0.6
【解析】因为单个微生物平均获得的营养单位数$ y $与微生物数量$ x $成反比例关系，所以设$ y = \frac{k}{x} $（$ k≠0 $）。
将$ x=200 $，$ y=10 $代入解析式，得$ 10 = \frac{k}{200} $，解得$ k = 10×200 = 2000 $，因此函数解析式为$ y = \frac{2000}{x} $。
要保证单个微生物平均至少获得4个营养单位，即$ y≥4 $，代入得$ \frac{2000}{x} ≥4 $。
由于微生物数量$ x＞0 $，两边同时乘$ x $得：$ 2000 ≥4x $，解得$ x ≤500 $。
所以微生物最多为500个。
【答案】500
【知识点】反比例函数的应用、不等式的应用
【点评】本题结合生物知识考查反比例函数的实际应用，核心是先确定反比例函数解析式，再根据题意列不等式求解，注重跨学科知识的结合，属于基础应用类题目。
【难度系数】0.6
9.新题型 人体能够承受的安全电压通常不高于36 V，电功率$P$(单位:W)与电压$U$(单位:V)、电阻$R$(单位:Ω)之间的公式为$P=\frac{U^2}{R}$。已知人体电阻约为1 000 Ω，当一充电器电功率为5 W时，若发生触电，则此时通过人体的电压
已
(填“已”或“未”)超过人体能承受的安全电压。答案
9.已
解析
【分析】
要判断触电时人体电压是否超过安全电压，需先利用电功率公式变形求出此时的电压，再与安全电压36V比较。具体步骤：1. 回忆电功率公式$P=\frac{U^2}{R}$，变形得到求电压的公式；2. 代入已知的电功率和人体电阻数值计算电压；3. 将计算结果与安全电压对比，得出结论。
【解析】
根据电功率公式$P=\frac{U^2}{R}$，变形可得电压公式：$U=\sqrt{PR}$。
已知$P=5\ \mathrm{W}$，人体电阻$R=1000\ \Omega$，代入公式计算：
$U=\sqrt{5\ \mathrm{W} × 1000\ \Omega}=\sqrt{5000}\approx70.7\ \mathrm{V}$。
因为$70.7\ \mathrm{V} ＞ 36\ \mathrm{V}$，所以此时通过人体的电压已超过人体能承受的安全电压。
【答案】
已
【知识点】
电功率公式应用、电压计算
【点评】
本题结合生活安全常识考查电学基础公式的变形应用，难度较低，关键是正确变形公式并准确计算，属于电学基础题型，能较好考查学生对公式的掌握程度。
【难度系数】
0.7
要判断触电时人体电压是否超过安全电压，需先利用电功率公式变形求出此时的电压，再与安全电压36V比较。具体步骤：1. 回忆电功率公式$P=\frac{U^2}{R}$，变形得到求电压的公式；2. 代入已知的电功率和人体电阻数值计算电压；3. 将计算结果与安全电压对比，得出结论。
【解析】
根据电功率公式$P=\frac{U^2}{R}$，变形可得电压公式：$U=\sqrt{PR}$。
已知$P=5\ \mathrm{W}$，人体电阻$R=1000\ \Omega$，代入公式计算：
$U=\sqrt{5\ \mathrm{W} × 1000\ \Omega}=\sqrt{5000}\approx70.7\ \mathrm{V}$。
因为$70.7\ \mathrm{V} ＞ 36\ \mathrm{V}$，所以此时通过人体的电压已超过人体能承受的安全电压。
【答案】
已
【知识点】
电功率公式应用、电压计算
【点评】
本题结合生活安全常识考查电学基础公式的变形应用，难度较低，关键是正确变形公式并准确计算，属于电学基础题型，能较好考查学生对公式的掌握程度。
【难度系数】
0.7
10. 跨学科·物理 “杆秤”是人类发明的各种衡器中历史最悠久的一种，是利用杠杆原理来称物体质量的简易衡器，由木制的带有秤星的秤杆、秤砣、秤钩、秤盘等组成。小华仿照古人制作了一杆简易“秤”。如图，取一根长100 cm的质地均匀的木杆，用细绳绑在木杆的中点O处并将其吊起来，在中点O的左侧挂一个物体，在中点O的右侧挂一个弹簧秤向下拉，使木杆保持水平。根据杠杆原理，若木杆保持水平，当物体与中点O的距离保持不变时，弹簧秤的示数y(单位：N)是关于x(单位：cm)(弹簧秤与中点O的距离)的反比例函数。已知当$x=20\ \mathrm{cm}$时，$y=30\ \mathrm{N}$。
(1)求$y$关于$x$的函数解析式；
(2)移动弹簧秤的位置，若木杆仍处于水平状态，求弹簧秤的示数$y$的最小值；
(3)若弹簧秤的最大量程是100 N，求$x$的取值范围。
(1)求$y$关于$x$的函数解析式；
(2)移动弹簧秤的位置，若木杆仍处于水平状态，求弹簧秤的示数$y$的最小值；
(3)若弹簧秤的最大量程是100 N，求$x$的取值范围。
答案
10.解：(1)$y=\frac{600}{x}$.(2)弹簧秤的示数$y$的最小值为12 N.
(3)$6\ \mathrm{cm}≤ x≤ 50\ \mathrm{cm}$.
(3)$6\ \mathrm{cm}≤ x≤ 50\ \mathrm{cm}$.
解析
【分析】
本题是反比例函数在杠杆平衡问题中的跨学科应用，解题思路如下：
1. 第(1)问：根据“y是关于x的反比例函数”设出反比例函数解析式，代入已知的x、y值求出比例系数，即可得到函数解析式；
2. 第(2)问：结合木杆总长确定x的取值范围，再根据反比例函数的单调性（x＞0时，y随x增大而减小），找到x的最大值，代入解析式求出y的最小值；
3. 第(3)问：根据弹簧秤最大量程得到y的上限，代入函数解析式得到关于x的不等式，结合x的实际取值范围，解不等式得到x的取值范围。
【解析】
(1) 因为y是关于x的反比例函数，设函数解析式为$ y=\frac{k}{x}(k≠0) $。
将$ x=20\ \mathrm{cm} $，$ y=30\ \mathrm{N} $代入解析式，得：
$ 30=\frac{k}{20} $，解得$ k=30×20=600 $，
因此y关于x的函数解析式为$ y=\frac{600}{x} $。
(2) 由题意，木杆总长100 cm，中点O到右端的最大距离为$ \frac{100}{2}=50\ \mathrm{cm} $，即x的取值范围是$ 0＜x≤50\ \mathrm{cm} $。
对于反比例函数$ y=\frac{600}{x} $，当$ x＞0 $时，y随x的增大而减小，
所以当x取最大值50 cm时，y取得最小值，此时$ y=\frac{600}{50}=12\ \mathrm{N} $，即弹簧秤的示数y的最小值为12 N。
(3) 已知弹簧秤的最大量程是100 N，即$ y≤100 $，
代入$ y=\frac{600}{x} $，得$ \frac{600}{x}≤100 $，
因为x＞0，两边同时乘x（不等号方向不变），得$ 600≤100x $，解得$ x≥6\ \mathrm{cm} $。
结合x的取值范围$ 0＜x≤50\ \mathrm{cm} $，因此x的取值范围是$ 6\ \mathrm{cm}≤x≤50\ \mathrm{cm} $。
【答案】
(1)$ y=\frac{600}{x} $；(2)12 N；(3)$ 6\ \mathrm{cm}≤ x≤ 50\ \mathrm{cm} $
【知识点】
反比例函数应用、不等式求解、杠杆原理
【点评】
本题结合物理杠杆知识考查反比例函数的实际应用，需注意实际问题中自变量的取值限制，是跨学科的典型题目，重点考查反比例函数的性质应用。
【难度系数】
0.5
本题是反比例函数在杠杆平衡问题中的跨学科应用，解题思路如下：
1. 第(1)问：根据“y是关于x的反比例函数”设出反比例函数解析式，代入已知的x、y值求出比例系数，即可得到函数解析式；
2. 第(2)问：结合木杆总长确定x的取值范围，再根据反比例函数的单调性（x＞0时，y随x增大而减小），找到x的最大值，代入解析式求出y的最小值；
3. 第(3)问：根据弹簧秤最大量程得到y的上限，代入函数解析式得到关于x的不等式，结合x的实际取值范围，解不等式得到x的取值范围。
【解析】
(1) 因为y是关于x的反比例函数，设函数解析式为$ y=\frac{k}{x}(k≠0) $。
将$ x=20\ \mathrm{cm} $，$ y=30\ \mathrm{N} $代入解析式，得：
$ 30=\frac{k}{20} $，解得$ k=30×20=600 $，
因此y关于x的函数解析式为$ y=\frac{600}{x} $。
(2) 由题意，木杆总长100 cm，中点O到右端的最大距离为$ \frac{100}{2}=50\ \mathrm{cm} $，即x的取值范围是$ 0＜x≤50\ \mathrm{cm} $。
对于反比例函数$ y=\frac{600}{x} $，当$ x＞0 $时，y随x的增大而减小，
所以当x取最大值50 cm时，y取得最小值，此时$ y=\frac{600}{50}=12\ \mathrm{N} $，即弹簧秤的示数y的最小值为12 N。
(3) 已知弹簧秤的最大量程是100 N，即$ y≤100 $，
代入$ y=\frac{600}{x} $，得$ \frac{600}{x}≤100 $，
因为x＞0，两边同时乘x（不等号方向不变），得$ 600≤100x $，解得$ x≥6\ \mathrm{cm} $。
结合x的取值范围$ 0＜x≤50\ \mathrm{cm} $，因此x的取值范围是$ 6\ \mathrm{cm}≤x≤50\ \mathrm{cm} $。
【答案】
(1)$ y=\frac{600}{x} $；(2)12 N；(3)$ 6\ \mathrm{cm}≤ x≤ 50\ \mathrm{cm} $
【知识点】
反比例函数应用、不等式求解、杠杆原理
【点评】
本题结合物理杠杆知识考查反比例函数的实际应用，需注意实际问题中自变量的取值限制，是跨学科的典型题目，重点考查反比例函数的性质应用。
【难度系数】
0.5
