登录
1.如图，一辆汽车的轮胎因为漏气瘪掉了，将轮胎外轮廓看作一个圆，则这个圆与它在同一平面内的地面(看作一条直线)的位置关系是 （
A.相交
B.相切
C.相离
D.无法确定
A
）A.相交
B.相切
C.相离
D.无法确定
答案
1.A
解析
【分析】
拿到这道题首先回忆直线与圆三类位置关系的判定标准，我们既可以通过公共点的数量判断，也可以比较圆心到直线的距离d和圆半径r的大小判断：无公共点、d＞r时为相离；只有1个公共点、d=r时为相切；有2个公共点、d＜r时为相交。再结合题目场景分析：正常充气的轮胎和地面是相切关系，只有一个接触点，而本题中轮胎漏气瘪掉，底部被压平，和地面接触的区域有一定长度，说明地面直线和轮胎外轮廓的圆有2个公共点，且圆心到地面的距离小于圆的半径，符合相交的特征，即可得出结论。
【解析】
直线与圆的位置关系判定规则如下：
1. 相离：直线与圆无公共点，圆心到直线的距离$d＞$圆的半径$r$；
2. 相切：直线与圆有且只有1个公共点，$d=r$；
3. 相交：直线与圆有2个公共点，$d＜r$。
本题中漏气瘪掉的轮胎外轮廓作为圆，和地面（直线）接触时，直线穿过圆的边缘，存在2个公共点，同时圆心到地面的距离小于轮胎的半径，满足相交的判定条件，故选A。
【答案】
A
【知识点】
直线与圆的位置关系判定
【点评】
本题结合生活实际场景考查直线与圆的位置关系，属于基础考题，熟练掌握三类位置关系的判定方法即可快速作答。
【难度系数】
0.9
拿到这道题首先回忆直线与圆三类位置关系的判定标准，我们既可以通过公共点的数量判断，也可以比较圆心到直线的距离d和圆半径r的大小判断：无公共点、d＞r时为相离；只有1个公共点、d=r时为相切；有2个公共点、d＜r时为相交。再结合题目场景分析：正常充气的轮胎和地面是相切关系，只有一个接触点，而本题中轮胎漏气瘪掉，底部被压平，和地面接触的区域有一定长度，说明地面直线和轮胎外轮廓的圆有2个公共点，且圆心到地面的距离小于圆的半径，符合相交的特征，即可得出结论。
【解析】
直线与圆的位置关系判定规则如下：
1. 相离：直线与圆无公共点，圆心到直线的距离$d＞$圆的半径$r$；
2. 相切：直线与圆有且只有1个公共点，$d=r$；
3. 相交：直线与圆有2个公共点，$d＜r$。
本题中漏气瘪掉的轮胎外轮廓作为圆，和地面（直线）接触时，直线穿过圆的边缘，存在2个公共点，同时圆心到地面的距离小于轮胎的半径，满足相交的判定条件，故选A。
【答案】
A
【知识点】
直线与圆的位置关系判定
【点评】
本题结合生活实际场景考查直线与圆的位置关系，属于基础考题，熟练掌握三类位置关系的判定方法即可快速作答。
【难度系数】
0.9
2.如图，A，B，C，D为一个正多边形的顶点，O为正多边形外接圆的圆心.若$∠ AOB=36°$，则这个正多边形的边数为 （
A.10
B.11
C.12
D.13
A
）A.10
B.11
C.12
D.13
答案
2.A
解析
【分析】
首先回忆正多边形和其外接圆的性质：正多边形的顶点都在外接圆上，相邻两个顶点与圆心的夹角叫做正多边形的中心角，正多边形的每个中心角大小相等，所有中心角的和为周角360°。要求正多边形的边数，只需用周角度数除以单个中心角的度数即可。本题已知∠AOB是该正多边形的一个中心角，度数为36°，代入计算即可得到边数。
【解析】
解：正多边形外接圆中，相邻顶点与圆心的夹角为正多边形的中心角，正n边形的n个中心角之和为360°，且每个中心角大小相等。
已知该正多边形的一个中心角$∠ AOB=36°$，设正多边形的边数为n，可得：
$n=\frac{360°}{36°}=10$
因此这个正多边形的边数为10，故选A。
【答案】
A
【知识点】
正多边形与圆，中心角计算
【点评】
本题属于基础题，核心考查正多边形中心角的相关性质，解题的关键是牢记正多边形所有中心角之和为360°、每个中心角相等的规律，代入数值直接计算即可得到结果。
【难度系数】
0.8
首先回忆正多边形和其外接圆的性质：正多边形的顶点都在外接圆上，相邻两个顶点与圆心的夹角叫做正多边形的中心角，正多边形的每个中心角大小相等，所有中心角的和为周角360°。要求正多边形的边数，只需用周角度数除以单个中心角的度数即可。本题已知∠AOB是该正多边形的一个中心角，度数为36°，代入计算即可得到边数。
【解析】
解：正多边形外接圆中，相邻顶点与圆心的夹角为正多边形的中心角，正n边形的n个中心角之和为360°，且每个中心角大小相等。
已知该正多边形的一个中心角$∠ AOB=36°$，设正多边形的边数为n，可得：
$n=\frac{360°}{36°}=10$
因此这个正多边形的边数为10，故选A。
【答案】
A
【知识点】
正多边形与圆，中心角计算
【点评】
本题属于基础题，核心考查正多边形中心角的相关性质，解题的关键是牢记正多边形所有中心角之和为360°、每个中心角相等的规律，代入数值直接计算即可得到结果。
【难度系数】
0.8
3. [2026 阜阳期末] 如图，$\odot O$ 是四边形ABCD 的内切圆. 若 $AD=10,BC=12$，则四边形ABCD 的周长是 （
A.22
B.64
C.52
D.44
（第3题）
D
）A.22
B.64
C.52
D.44
（第3题）答案
3.D
解析
【分析】
看到题目中四边形有内切圆，首先可判断该四边形是圆的外切四边形，回忆相关性质：由切线长定理可推得圆外切四边形的两组对边之和相等，因此四边形的周长等于2倍的一组对边和，代入已知的AD和BC的长度即可求出周长。
【解析】
解：
∵$\odot O$是四边形ABCD的内切圆，
∴四边形ABCD是$\odot O$的外切四边形，
根据圆外切四边形的性质可得：$AB + CD = AD + BC$，
已知$AD=10$，$BC=12$，
∴四边形ABCD的周长为：
$AB + BC + CD + DA = (AB + CD) + (AD + BC) = 2×(AD + BC) = 2×(10+12)=44$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 圆外切四边形的性质
2. 切线长定理
【点评】
本题属于基础题，主要考查圆外切四边形性质的应用，牢记圆外切四边形的两组对边之和相等是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
看到题目中四边形有内切圆，首先可判断该四边形是圆的外切四边形，回忆相关性质：由切线长定理可推得圆外切四边形的两组对边之和相等，因此四边形的周长等于2倍的一组对边和，代入已知的AD和BC的长度即可求出周长。
【解析】
解：
∵$\odot O$是四边形ABCD的内切圆，
∴四边形ABCD是$\odot O$的外切四边形，
根据圆外切四边形的性质可得：$AB + CD = AD + BC$，
已知$AD=10$，$BC=12$，
∴四边形ABCD的周长为：
$AB + BC + CD + DA = (AB + CD) + (AD + BC) = 2×(AD + BC) = 2×(10+12)=44$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 圆外切四边形的性质
2. 切线长定理
【点评】
本题属于基础题，主要考查圆外切四边形性质的应用，牢记圆外切四边形的两组对边之和相等是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
4.如图，$\odot O$的直径$AB$为3，点$B$为$OD$的中点，$DC$切$\odot O$于点$C$，则$AC$的长为（
A.$2$
B.$\sqrt{3}$
C.$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
D.$\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$
D
）A.$2$
B.$\sqrt{3}$
C.$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
D.$\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$
答案
4.D
解析
【分析】
解题时首先根据切线的性质，连接切点C与圆心O，得到OC⊥DC，构造出直角三角形OCD；结合已知直径AB的长度可求出半径OC、OB的长度，再根据B是OD中点求出OD的长度，在Rt△OCD中可推出∠COD=60°，进而判断出△OBC是等边三角形，得到BC的长度；最后利用直径所对的圆周角为直角，得到Rt△ABC，用勾股定理即可求出AC的长度。
【解析】
解：连接OC、BC。
∵DC切⊙O于点C，
∴OC⊥DC（切线垂直于过切点的半径）。
∵AB是⊙O的直径，AB=3，
∴OC=OB=OA=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{3}{2}$，且∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角）。
∵点B为OD的中点，
∴OD=2OB=2×$\frac{3}{2}$=3。
在Rt△OCD中，OC=$\frac{3}{2}$，OD=3，即OC=$\frac{1}{2}$OD，
∴∠D=30°，则∠COD=90°-30°=60°。
又
∵OC=OB，∠COD=60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC=OB=$\frac{3}{2}$。
在Rt△ACB中，由勾股定理得：
AC=$\sqrt{AB^2 - BC^2}$=$\sqrt{3^2 - (\frac{3}{2})^2}$=$\sqrt{9-\frac{9}{4}}$=$\sqrt{\frac{27}{4}}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
D
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；勾股定理
【点评】
本题是圆的性质的基础综合题，解题的关键是合理添加辅助线，将切线性质、圆周角定理与直角三角形的性质结合运用，属于圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据切线的性质，连接切点C与圆心O，得到OC⊥DC，构造出直角三角形OCD；结合已知直径AB的长度可求出半径OC、OB的长度，再根据B是OD中点求出OD的长度，在Rt△OCD中可推出∠COD=60°，进而判断出△OBC是等边三角形，得到BC的长度；最后利用直径所对的圆周角为直角，得到Rt△ABC，用勾股定理即可求出AC的长度。
【解析】
解：连接OC、BC。
∵DC切⊙O于点C，
∴OC⊥DC（切线垂直于过切点的半径）。
∵AB是⊙O的直径，AB=3，
∴OC=OB=OA=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{3}{2}$，且∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角）。
∵点B为OD的中点，
∴OD=2OB=2×$\frac{3}{2}$=3。
在Rt△OCD中，OC=$\frac{3}{2}$，OD=3，即OC=$\frac{1}{2}$OD，
∴∠D=30°，则∠COD=90°-30°=60°。
又
∵OC=OB，∠COD=60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC=OB=$\frac{3}{2}$。
在Rt△ACB中，由勾股定理得：
AC=$\sqrt{AB^2 - BC^2}$=$\sqrt{3^2 - (\frac{3}{2})^2}$=$\sqrt{9-\frac{9}{4}}$=$\sqrt{\frac{27}{4}}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
D
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；勾股定理
【点评】
本题是圆的性质的基础综合题，解题的关键是合理添加辅助线，将切线性质、圆周角定理与直角三角形的性质结合运用，属于圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
5.如图,等边三角形的边长为$4\sqrt{3}$,则等边三角形内切圆的半径为 （
A.$2\sqrt{3}$
B.$\sqrt{3}$
C.$2$
D.$1$
C
）A.$2\sqrt{3}$
B.$\sqrt{3}$
C.$2$
D.$1$
答案
5.C
解析
【分析】
要求等边三角形内切圆的半径，我们可以结合等边三角形和内切圆的性质推导：首先等边三角形具有三线合一的特点，其内切圆的圆心（内心）同时在三角形的高线上，且内心将高线分为2:1的两段，长度较短的段就是内切圆半径。因此解题步骤可以分为两步：第一步先利用勾股定理求出等边三角形的高，第二步根据高与内切圆半径的比例关系计算半径即可，也可通过面积法联立求解。
【解析】
解：已知等边三角形的边长为$4\sqrt{3}$，
先计算等边三角形的高：等边三角形底边的一半为$\frac{4\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$，
由勾股定理可得高$h=\sqrt{(4\sqrt{3})^2-(2\sqrt{3})^2}=\sqrt{48-12}=\sqrt{36}=6$。
因为等边三角形的内切圆半径为高的$\frac{1}{3}$（内心分高的比为2:1，内切圆半径为较短的一段），
所以内切圆半径$r=\frac{1}{3}×6=2$。
【答案】
C
【知识点】
等边三角形的性质、三角形内切圆性质、勾股定理
【点评】
本题属于基础题型，考查等边三角形与内切圆的相关知识，解题方法灵活，既可以利用特殊三角形的线段比例关系求解，也可以通过面积法计算，熟练掌握特殊几何图形的性质是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7
要求等边三角形内切圆的半径，我们可以结合等边三角形和内切圆的性质推导：首先等边三角形具有三线合一的特点，其内切圆的圆心（内心）同时在三角形的高线上，且内心将高线分为2:1的两段，长度较短的段就是内切圆半径。因此解题步骤可以分为两步：第一步先利用勾股定理求出等边三角形的高，第二步根据高与内切圆半径的比例关系计算半径即可，也可通过面积法联立求解。
【解析】
解：已知等边三角形的边长为$4\sqrt{3}$，
先计算等边三角形的高：等边三角形底边的一半为$\frac{4\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$，
由勾股定理可得高$h=\sqrt{(4\sqrt{3})^2-(2\sqrt{3})^2}=\sqrt{48-12}=\sqrt{36}=6$。
因为等边三角形的内切圆半径为高的$\frac{1}{3}$（内心分高的比为2:1，内切圆半径为较短的一段），
所以内切圆半径$r=\frac{1}{3}×6=2$。
【答案】
C
【知识点】
等边三角形的性质、三角形内切圆性质、勾股定理
【点评】
本题属于基础题型，考查等边三角形与内切圆的相关知识，解题方法灵活，既可以利用特殊三角形的线段比例关系求解，也可以通过面积法计算，熟练掌握特殊几何图形的性质是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7
6. [2026 宿州二模]如图，A为$\odot O$外一点，AC与$\odot O$相切于点C，B，D为$\odot O$上两点，$OD⊥ AB$交AB的延长线于点E，连接CD。已知$∠ ODC=20°$，则$∠ A$的度数为（
A.$40°$
B.$30°$
C.$35°$
D.$45°$
A
）A.$40°$
B.$30°$
C.$35°$
D.$45°$
答案
6.A
解析
【分析】
遇到切线相关的计算问题，优先连接过切点的半径，因此第一步先连接OC。根据切线的性质可得OC⊥AC，可知∠A与∠COA互余，因此只需计算出∠COA的度数即可求出∠A。接下来利用同圆半径相等可得OD=OC，△ODC为等腰三角形，结合已知∠ODC=20°可求出∠COD的度数；再结合OD⊥AB的条件，在Rt△ODE中可求出∠DOE的度数，用∠COD减去∠DOE即可得到∠COA的度数，最后代入直角三角形两锐角互余的关系就能算出∠A的度数。
【解析】
解：连接辅助线OC，
∵ AC与⊙O相切于点C，
∴ OC⊥AC，即∠OCA=90°，
∴ ∠A + ∠COA = 90°。
∵ OC、OD都是⊙O的半径，
∴ OC=OD，
∴ ∠OCD=∠ODC=20°，
∴ ∠COD=180° - ∠ODC - ∠OCD = 180° - 20° - 20° = 140°。
∵ OD⊥AB，
∴ ∠OED=90°，
在Rt△ODE中，∠DOE=90° - ∠ODC=90° - 20°=70°，
∴ ∠COA=∠COD - ∠DOE=140° - 70°=70°，
∴ ∠A=90° - ∠COA=90° - 70°=40°。
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于圆的基础综合计算题，解题的关键是正确作出过切点的辅助线半径OC，结合圆的基本性质、等腰三角形性质和直角三角形的角度关系逐步推导即可，解题思路清晰，难度不高。
【难度系数】
0.7
遇到切线相关的计算问题，优先连接过切点的半径，因此第一步先连接OC。根据切线的性质可得OC⊥AC，可知∠A与∠COA互余，因此只需计算出∠COA的度数即可求出∠A。接下来利用同圆半径相等可得OD=OC，△ODC为等腰三角形，结合已知∠ODC=20°可求出∠COD的度数；再结合OD⊥AB的条件，在Rt△ODE中可求出∠DOE的度数，用∠COD减去∠DOE即可得到∠COA的度数，最后代入直角三角形两锐角互余的关系就能算出∠A的度数。
【解析】
解：连接辅助线OC，
∵ AC与⊙O相切于点C，
∴ OC⊥AC，即∠OCA=90°，
∴ ∠A + ∠COA = 90°。
∵ OC、OD都是⊙O的半径，
∴ OC=OD，
∴ ∠OCD=∠ODC=20°，
∴ ∠COD=180° - ∠ODC - ∠OCD = 180° - 20° - 20° = 140°。
∵ OD⊥AB，
∴ ∠OED=90°，
在Rt△ODE中，∠DOE=90° - ∠ODC=90° - 20°=70°，
∴ ∠COA=∠COD - ∠DOE=140° - 70°=70°，
∴ ∠A=90° - ∠COA=90° - 70°=40°。
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于圆的基础综合计算题，解题的关键是正确作出过切点的辅助线半径OC，结合圆的基本性质、等腰三角形性质和直角三角形的角度关系逐步推导即可，解题思路清晰，难度不高。
【难度系数】
0.7
7. [分类讨论思想] 已知$ l_1 // l_2 $，$ l_1 $，$ l_2 $之间的距离是3 cm，圆心O到直线$ l_1 $的距离是1 cm. 如果$ \odot O $与直线$ l_1 $，$ l_2 $共有三个公共点，那么$ \odot O $的半径为（
A.2 cm
B.4 cm
C.2 cm或4 cm
D.3 cm或6 cm
C
）A.2 cm
B.4 cm
C.2 cm或4 cm
D.3 cm或6 cm
答案
7.C
解析
【分析】
解题时首先明确：圆与两条平行直线共有3个公共点，等价于圆与其中一条直线相切（1个公共点），与另一条直线相交（2个公共点）。由于题目未说明圆心O的位置，需分两种情况讨论：①圆心O在$l_1$和$l_2$之间；②圆心O在$l_1$远离$l_2$的一侧，结合平行线间距、圆心到直线的距离计算对应半径即可。
【解析】
已知$l_1// l_2$，两直线间距为3cm，圆心O到$l_1$的距离为1cm，圆与两条直线共有3个公共点，说明圆与一条直线相切、另一条直线相交，分情况讨论：
1. 当圆心O在$l_1$和$l_2$之间时：
圆心O到$l_2$的距离为$3-1=2\mathrm{cm}$，若圆与$l_2$相切，则半径$r=2\mathrm{cm}$，此时O到$l_1$的距离$1\mathrm{cm}＜2\mathrm{cm}$，圆与$l_1$相交，总公共点个数为$1+2=3$，符合要求。
2. 当圆心O在$l_1$远离$l_2$的一侧时：
圆心O到$l_2$的距离为$3+1=4\mathrm{cm}$，若圆与$l_2$相切，则半径$r=4\mathrm{cm}$，此时O到$l_1$的距离$1\mathrm{cm}＜4\mathrm{cm}$，圆与$l_1$相交，总公共点个数为$1+2=3$，符合要求。
综上，$\odot O$的半径为2cm或4cm。
【答案】
C
【知识点】
直线与圆的位置关系，分类讨论思想，平行线间的距离
【点评】
本题解题关键是掌握直线和圆位置关系的判定方法，理解圆与两条平行线共有3个公共点的等价条件，分类讨论圆心的位置即可求解，注意不要漏解。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确：圆与两条平行直线共有3个公共点，等价于圆与其中一条直线相切（1个公共点），与另一条直线相交（2个公共点）。由于题目未说明圆心O的位置，需分两种情况讨论：①圆心O在$l_1$和$l_2$之间；②圆心O在$l_1$远离$l_2$的一侧，结合平行线间距、圆心到直线的距离计算对应半径即可。
【解析】
已知$l_1// l_2$，两直线间距为3cm，圆心O到$l_1$的距离为1cm，圆与两条直线共有3个公共点，说明圆与一条直线相切、另一条直线相交，分情况讨论：
1. 当圆心O在$l_1$和$l_2$之间时：
圆心O到$l_2$的距离为$3-1=2\mathrm{cm}$，若圆与$l_2$相切，则半径$r=2\mathrm{cm}$，此时O到$l_1$的距离$1\mathrm{cm}＜2\mathrm{cm}$，圆与$l_1$相交，总公共点个数为$1+2=3$，符合要求。
2. 当圆心O在$l_1$远离$l_2$的一侧时：
圆心O到$l_2$的距离为$3+1=4\mathrm{cm}$，若圆与$l_2$相切，则半径$r=4\mathrm{cm}$，此时O到$l_1$的距离$1\mathrm{cm}＜4\mathrm{cm}$，圆与$l_1$相交，总公共点个数为$1+2=3$，符合要求。
综上，$\odot O$的半径为2cm或4cm。
【答案】
C
【知识点】
直线与圆的位置关系，分类讨论思想，平行线间的距离
【点评】
本题解题关键是掌握直线和圆位置关系的判定方法，理解圆与两条平行线共有3个公共点的等价条件，分类讨论圆心的位置即可求解，注意不要漏解。
【难度系数】
0.7
