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8. 能力训练点·逻辑推理与论证 如图，AC，AD，AE分别是直径为AB的$\odot O$的内接正六边形、正方形、等边三角形的一边.若$AC=2$，给出下面四个结论：① $AB=4$；② $AD=2\sqrt{2}$；③ $AE=2AC$；④ $\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DE}$.上述结论中，所有正确结论的序号是（
A.①②
B.①②④
C.①③④
D.②③④
（第8题） 
（第9题） 
（第10题） 
（第11题） 
（第12题）
B
）A.①②
B.①②④
C.①③④
D.②③④
（第8题） （第9题） （第10题） （第11题） （第12题）答案
8.B
解析
【分析】解题时可按以下思路逐步推导：1. 利用正六边形边长等于外接圆半径的性质，结合已知AC=2先求圆的半径，进而得到直径AB判断结论①；2. 根据圆内接正方形的性质，结合直径所对圆周角为直角，用勾股定理计算AD的长度判断结论②；3. 计算圆内接等边三角形的边长，与2AC比较判断结论③；4. 分别计算弧CD、弧DE对应的圆心角，根据同圆中圆心角相等则弧相等判断结论④。
【解析】
1. 判断①：
∵AC是⊙O的内接正六边形的一边，正六边形的边长等于其外接圆的半径，已知AC=2，
∴⊙O的半径r=2，直径AB=2r=4，故①正确；
2. 判断②：
∵AD是⊙O的内接正方形的一边，AB为直径，
∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角为直角），且AD=BD，△ADB为等腰直角三角形。由勾股定理得$AD^2+BD^2=AB^2$，即$2AD^2=4^2=16$，解得$AD=2\sqrt{2}$，故②正确；
3. 判断③：
∵AE是⊙O的内接等边三角形的一边，半径为2的圆内接等边三角形的边长为$\sqrt{3}r=2\sqrt{3}$，而$2AC=4$，$2\sqrt{3}≠4$，故③错误；
4. 判断④：分别计算各边对应的圆心角：正六边形边AC对应的圆心角$∠ AOC=360°÷6=60°$，正方形边AD对应的圆心角$∠ AOD=360°÷4=90°$，等边三角形边AE对应的圆心角$∠ AOE=360°÷3=120°$，因此$∠ COD=∠ AOD-∠ AOC=30°$，$∠ DOE=∠ AOE-∠ AOD=30°$。同圆中圆心角相等则对应弧相等，故$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DE}$，④正确。
综上，正确的结论为①②④，答案选B。
【答案】B
【知识点】正多边形与圆、勾股定理、圆心角与弧的关系
【点评】本题综合考查正多边形和圆的相关性质，需要熟练掌握不同正多边形的边长与外接圆半径的关系，结合圆周角、圆心角的性质逐一验证结论，对知识点的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】0.7
【解析】
1. 判断①：
∵AC是⊙O的内接正六边形的一边，正六边形的边长等于其外接圆的半径，已知AC=2，
∴⊙O的半径r=2，直径AB=2r=4，故①正确；
2. 判断②：
∵AD是⊙O的内接正方形的一边，AB为直径，
∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角为直角），且AD=BD，△ADB为等腰直角三角形。由勾股定理得$AD^2+BD^2=AB^2$，即$2AD^2=4^2=16$，解得$AD=2\sqrt{2}$，故②正确；
3. 判断③：
∵AE是⊙O的内接等边三角形的一边，半径为2的圆内接等边三角形的边长为$\sqrt{3}r=2\sqrt{3}$，而$2AC=4$，$2\sqrt{3}≠4$，故③错误；
4. 判断④：分别计算各边对应的圆心角：正六边形边AC对应的圆心角$∠ AOC=360°÷6=60°$，正方形边AD对应的圆心角$∠ AOD=360°÷4=90°$，等边三角形边AE对应的圆心角$∠ AOE=360°÷3=120°$，因此$∠ COD=∠ AOD-∠ AOC=30°$，$∠ DOE=∠ AOE-∠ AOD=30°$。同圆中圆心角相等则对应弧相等，故$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DE}$，④正确。
综上，正确的结论为①②④，答案选B。
【答案】B
【知识点】正多边形与圆、勾股定理、圆心角与弧的关系
【点评】本题综合考查正多边形和圆的相关性质，需要熟练掌握不同正多边形的边长与外接圆半径的关系，结合圆周角、圆心角的性质逐一验证结论，对知识点的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】0.7
二、填空题
9.如图,点O是△ABC的外心.若∠AOB=120°,则∠ACB的度数为
9.如图,点O是△ABC的外心.若∠AOB=120°,则∠ACB的度数为
$60°$
.答案
9.$60°$
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形外心的定义：三角形的外心是其外接圆的圆心，因此△ABC的三个顶点都在以O为圆心的外接圆上。接下来判断两个角的对应关系：∠AOB是弧AB所对的圆心角，∠ACB是弧AB所对的圆周角，根据圆周角定理即可求出∠ACB的度数。
【解析】
∵ 点O是△ABC的外心，
∴ O是△ABC外接圆的圆心，A、B、C三点均在⊙O上，
∴ ∠AOB是弧AB所对的圆心角，∠ACB是弧AB所对的圆周角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得：
$∠ ACB = \frac{1}{2}∠ AOB = \frac{1}{2} × 120° = 60°$
【答案】
$60°$
【知识点】
三角形外心的定义；圆周角定理
【点评】
本题属于基础题，核心考查外心的性质与圆周角定理的应用，解题的关键是建立圆心角和圆周角的对应关系，熟练掌握相关定理即可快速求解。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆三角形外心的定义：三角形的外心是其外接圆的圆心，因此△ABC的三个顶点都在以O为圆心的外接圆上。接下来判断两个角的对应关系：∠AOB是弧AB所对的圆心角，∠ACB是弧AB所对的圆周角，根据圆周角定理即可求出∠ACB的度数。
【解析】
∵ 点O是△ABC的外心，
∴ O是△ABC外接圆的圆心，A、B、C三点均在⊙O上，
∴ ∠AOB是弧AB所对的圆心角，∠ACB是弧AB所对的圆周角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得：
$∠ ACB = \frac{1}{2}∠ AOB = \frac{1}{2} × 120° = 60°$
【答案】
$60°$
【知识点】
三角形外心的定义；圆周角定理
【点评】
本题属于基础题，核心考查外心的性质与圆周角定理的应用，解题的关键是建立圆心角和圆周角的对应关系，熟练掌握相关定理即可快速求解。
【难度系数】
0.9
10. 中考趋势·开放性问题 如图，AB是$\odot O$的直径，要使直线AT是$\odot O$的切线，需要添加的一个条件是
$∠ ABT=∠ ATB=45°$(答案不唯一)
.(写一个条件即可)答案
10.$∠ ABT=∠ ATB=45°$(答案不唯一)
解析
【分析】
要判定直线AT是$\odot O$的切线，根据切线的判定定理：经过半径外端且垂直于该半径的直线是圆的切线。本题中AT已经经过半径OA的外端点A，因此只需满足AT⊥AB（即$∠ BAT=90°$）即可。我们添加的条件只要能推导出$∠ BAT=90°$就符合要求，比如给出的$∠ ABT=∠ ATB=45°$，可通过三角形内角和定理算出$∠ BAT=90°$，满足切线判定的要求。
【解析】
根据切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
已知AB是$\odot O$的直径，因此点A在$\odot O$上，即直线AT经过半径OA的外端点A，只需证明AT⊥AB即可判定AT是$\odot O$的切线。
若添加条件$∠ ABT=∠ ATB=45°$：
在$△ ABT$中，由三角形内角和为$180°$可得：
$∠ BAT=180°-∠ ABT-∠ ATB=180°-45°-45°=90°$
即$AT⊥ AB$，因此直线AT是$\odot O$的切线。
（注：也可添加$∠ BAT=90°$、$AB⊥ AT$等其他能推出$AT⊥ AB$的条件，均正确）
【答案】
$∠ ABT=∠ ATB=45°$（答案不唯一）
【知识点】
切线的判定定理；三角形内角和定理
【点评】
本题为开放性基础题，重点考查对切线判定定理的理解与灵活应用，答案不唯一，只要推导逻辑合理即可，有助于锻炼发散思维能力。
【难度系数】
0.8
要判定直线AT是$\odot O$的切线，根据切线的判定定理：经过半径外端且垂直于该半径的直线是圆的切线。本题中AT已经经过半径OA的外端点A，因此只需满足AT⊥AB（即$∠ BAT=90°$）即可。我们添加的条件只要能推导出$∠ BAT=90°$就符合要求，比如给出的$∠ ABT=∠ ATB=45°$，可通过三角形内角和定理算出$∠ BAT=90°$，满足切线判定的要求。
【解析】
根据切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
已知AB是$\odot O$的直径，因此点A在$\odot O$上，即直线AT经过半径OA的外端点A，只需证明AT⊥AB即可判定AT是$\odot O$的切线。
若添加条件$∠ ABT=∠ ATB=45°$：
在$△ ABT$中，由三角形内角和为$180°$可得：
$∠ BAT=180°-∠ ABT-∠ ATB=180°-45°-45°=90°$
即$AT⊥ AB$，因此直线AT是$\odot O$的切线。
（注：也可添加$∠ BAT=90°$、$AB⊥ AT$等其他能推出$AT⊥ AB$的条件，均正确）
【答案】
$∠ ABT=∠ ATB=45°$（答案不唯一）
【知识点】
切线的判定定理；三角形内角和定理
【点评】
本题为开放性基础题，重点考查对切线判定定理的理解与灵活应用，答案不唯一，只要推导逻辑合理即可，有助于锻炼发散思维能力。
【难度系数】
0.8
11.如图，正六边形ABCDEF的边长为2，则该正六边形的外接圆与内切圆的半径之差为
$2-\sqrt{3}$
。答案
11.$2-\sqrt{3}$
解析
【分析】
解题时首先回忆正六边形的性质：正六边形的外接圆半径等于其边长，内切圆半径是正六边形的边心距（即中心到边的垂线段长度）。第一步先确定外接圆半径，第二步通过构造直角三角形，利用勾股定理求出内切圆半径，最后计算两个半径的差值即可。
【解析】
设正六边形ABCDEF的中心为点O，连接OA、OB，过点O作OG⊥AB于点G。
1. 求外接圆半径R：
正六边形的中心角$∠ AOB = \frac{360°}{6}=60°$，又OA=OB（都是外接圆半径），因此$△ AOB$是等边三角形，故外接圆半径$R=OA=AB=2$。
2. 求内切圆半径r：
OG是中心到边AB的距离，即正六边形的内切圆半径r。
在$Rt△ AOG$中，$AG=\frac{1}{2}AB=1$，$OA=2$，由勾股定理得：
$r=OG=\sqrt{OA^2 - AG^2}=\sqrt{2^2 -1^2}=\sqrt{3}$。
3. 计算半径差：
外接圆与内切圆的半径之差为$R - r=2-\sqrt{3}$。
【答案】
$2-\sqrt{3}$
【知识点】
正多边形与圆；勾股定理；等边三角形的性质
【点评】
本题是正多边形与圆结合的基础题，解题核心是掌握正六边形外接圆半径等于边长、内切圆半径为边心距的性质，通过构造直角三角形即可快速求解，是正多边形相关计算的常考题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆正六边形的性质：正六边形的外接圆半径等于其边长，内切圆半径是正六边形的边心距（即中心到边的垂线段长度）。第一步先确定外接圆半径，第二步通过构造直角三角形，利用勾股定理求出内切圆半径，最后计算两个半径的差值即可。
【解析】
设正六边形ABCDEF的中心为点O，连接OA、OB，过点O作OG⊥AB于点G。
1. 求外接圆半径R：
正六边形的中心角$∠ AOB = \frac{360°}{6}=60°$，又OA=OB（都是外接圆半径），因此$△ AOB$是等边三角形，故外接圆半径$R=OA=AB=2$。
2. 求内切圆半径r：
OG是中心到边AB的距离，即正六边形的内切圆半径r。
在$Rt△ AOG$中，$AG=\frac{1}{2}AB=1$，$OA=2$，由勾股定理得：
$r=OG=\sqrt{OA^2 - AG^2}=\sqrt{2^2 -1^2}=\sqrt{3}$。
3. 计算半径差：
外接圆与内切圆的半径之差为$R - r=2-\sqrt{3}$。
【答案】
$2-\sqrt{3}$
【知识点】
正多边形与圆；勾股定理；等边三角形的性质
【点评】
本题是正多边形与圆结合的基础题，解题核心是掌握正六边形外接圆半径等于边长、内切圆半径为边心距的性质，通过构造直角三角形即可快速求解，是正多边形相关计算的常考题型。
【难度系数】
0.7
12. 数学文化 《数书九章》中的“遥度圆城”问题如下:在一座圆形城堡中,有正东、正南、正西和正北四个门,出南门A向东走一段路程到达点B后(AB与圆形城堡相切于点A),刚好看到北门的正北方向的一棵大树C,即BC与圆形城堡相切于点D(如图).若AB=4 km,CD=$\frac{8}{3}$ km,圆形城堡的直径为4 km,且AC经过圆形城堡的圆心,则北门到大树的距离为
$\dfrac{4}{3}$
km.答案
12.$\dfrac{4}{3}$
解析
【分析】
首先我们设北门到大树C的距离为未知数x，解题思路分为三步：第一步，根据切线长定理，从圆外一点B引圆的两条切线BA、BD长度相等，可求出BC的总长度；第二步，根据切线的性质，切线AB垂直于过切点A的直径AC，可得△ABC是直角三角形；第三步，用勾股定理列方程求解未知数x即可。
【解析】
设北门到大树C的距离为$x\ \mathrm{km}$。
1. 根据切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线长相等，点B引圆的切线为BA和BD，因此$BD=AB=4\ \mathrm{km}$。
2. 已知$CD=\frac{8}{3}\ \mathrm{km}$，可得$BC=BD+CD=4+\frac{8}{3}=\frac{20}{3}\ \mathrm{km}$。
3. 因为AB与圆相切于A，且AC过圆心，根据切线的性质：切线垂直于过切点的半径，因此$AB⊥ AC$，即$△ ABC$为直角三角形，$∠ BAC=90°$。
4. 已知圆形城堡直径为$4\ \mathrm{km}$，即南门A到北门的距离为$4\ \mathrm{km}$，因此$AC=4+x\ \mathrm{km}$。
5. 在$Rt△ ABC$中，由勾股定理$AB^2+AC^2=BC^2$，代入数值：
$4^2+(4+x)^2=(\frac{20}{3})^2$
计算得：
$16+(4+x)^2=\frac{400}{9}$
移项化简：
$(4+x)^2=\frac{400}{9}-16=\frac{256}{9}$
因为长度为正，因此$4+x=\frac{16}{3}$，解得$x=\frac{16}{3}-4=\frac{4}{3}$。
【答案】
$\dfrac{4}{3}$
【知识点】
切线长定理，切线的性质，勾股定理
【点评】
本题结合古代数学文化背景，考查圆的切线相关性质与直角三角形勾股定理的综合应用，解题的关键是利用切线长定理快速求出BC的长度，再结合直角三角形的性质列方程求解。
【难度系数】
0.7
首先我们设北门到大树C的距离为未知数x，解题思路分为三步：第一步，根据切线长定理，从圆外一点B引圆的两条切线BA、BD长度相等，可求出BC的总长度；第二步，根据切线的性质，切线AB垂直于过切点A的直径AC，可得△ABC是直角三角形；第三步，用勾股定理列方程求解未知数x即可。
【解析】
设北门到大树C的距离为$x\ \mathrm{km}$。
1. 根据切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线长相等，点B引圆的切线为BA和BD，因此$BD=AB=4\ \mathrm{km}$。
2. 已知$CD=\frac{8}{3}\ \mathrm{km}$，可得$BC=BD+CD=4+\frac{8}{3}=\frac{20}{3}\ \mathrm{km}$。
3. 因为AB与圆相切于A，且AC过圆心，根据切线的性质：切线垂直于过切点的半径，因此$AB⊥ AC$，即$△ ABC$为直角三角形，$∠ BAC=90°$。
4. 已知圆形城堡直径为$4\ \mathrm{km}$，即南门A到北门的距离为$4\ \mathrm{km}$，因此$AC=4+x\ \mathrm{km}$。
5. 在$Rt△ ABC$中，由勾股定理$AB^2+AC^2=BC^2$，代入数值：
$4^2+(4+x)^2=(\frac{20}{3})^2$
计算得：
$16+(4+x)^2=\frac{400}{9}$
移项化简：
$(4+x)^2=\frac{400}{9}-16=\frac{256}{9}$
因为长度为正，因此$4+x=\frac{16}{3}$，解得$x=\frac{16}{3}-4=\frac{4}{3}$。
【答案】
$\dfrac{4}{3}$
【知识点】
切线长定理，切线的性质，勾股定理
【点评】
本题结合古代数学文化背景，考查圆的切线相关性质与直角三角形勾股定理的综合应用，解题的关键是利用切线长定理快速求出BC的长度，再结合直角三角形的性质列方程求解。
【难度系数】
0.7
三、解答题
13.如图，I是△ABC的内心，AI的延长线交边BC于点D，交△ABC的外接圆于点E，连接BE。求证：BE=IE。
13.如图，I是△ABC的内心，AI的延长线交边BC于点D，交△ABC的外接圆于点E，连接BE。求证：BE=IE。
答案
证明：
连接BI，
∵ I是△ABC的内心，
∴ AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，
∴ ∠BAI = ∠CAI，∠ABI = ∠CBI。
∵ ∠CAI和∠CBE都是弧CE所对的圆周角，
∴ ∠CAI = ∠CBE，
∴ ∠BAI = ∠CBE。
∵ ∠BIE是△ABI的外角，
∴ ∠BIE = ∠BAI + ∠ABI，
又∵ ∠IBE = ∠CBE + ∠CBI，
且∠BAI=∠CBE，∠ABI=∠CBI，
∴ ∠BIE = ∠IBE，
∴ BE = IE。
连接BI，
∵ I是△ABC的内心，
∴ AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，
∴ ∠BAI = ∠CAI，∠ABI = ∠CBI。
∵ ∠CAI和∠CBE都是弧CE所对的圆周角，
∴ ∠CAI = ∠CBE，
∴ ∠BAI = ∠CBE。
∵ ∠BIE是△ABI的外角，
∴ ∠BIE = ∠BAI + ∠ABI，
又∵ ∠IBE = ∠CBE + ∠CBI，
且∠BAI=∠CBE，∠ABI=∠CBI，
∴ ∠BIE = ∠IBE，
∴ BE = IE。
解析
【分析】
要证明BE=IE，可通过证明△IBE为等腰三角形，即证∠BIE=∠IBE。首先由三角形内心的性质可知，AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，因此可得∠BAI=∠CAI，∠ABI=∠CBI；再根据同弧所对的圆周角相等，可得∠CAI=∠CBE，由此推出∠BAI=∠CBE；最后结合三角形外角的性质，分别表示出∠BIE和∠IBE，通过等量代换可证得两角相等，进而根据等角对等边得到BE=IE。
【解析】
证明：连接BI，
∵ I是△ABC的内心，
∴ AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，
∴ ∠BAI = ∠CAI，∠ABI = ∠CBI。
∵ ∠CAI和∠CBE都是弧CE所对的圆周角，
∴ ∠CAI = ∠CBE，
∴ ∠BAI = ∠CBE。
∵ ∠BIE是△ABI的外角，
∴ ∠BIE = ∠BAI + ∠ABI，
又
∵ ∠IBE = ∠CBE + ∠CBI，
且∠BAI=∠CBE，∠ABI=∠CBI，
∴ ∠BIE = ∠IBE，
∴ BE = IE。
【答案】
BE=IE，证明成立。
【知识点】
三角形内心的性质，圆周角定理，等腰三角形的判定
【点评】
本题属于圆与三角形综合的基础常考题，解题的核心是正确添加辅助线BI，通过角平分线性质、圆周角定理完成角的等量转化，利用等角对等边的判定定理证明结论，考察的知识点较为基础，逻辑推导路径清晰。
【难度系数】
0.7
要证明BE=IE，可通过证明△IBE为等腰三角形，即证∠BIE=∠IBE。首先由三角形内心的性质可知，AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，因此可得∠BAI=∠CAI，∠ABI=∠CBI；再根据同弧所对的圆周角相等，可得∠CAI=∠CBE，由此推出∠BAI=∠CBE；最后结合三角形外角的性质，分别表示出∠BIE和∠IBE，通过等量代换可证得两角相等，进而根据等角对等边得到BE=IE。
【解析】
证明：连接BI，
∵ I是△ABC的内心，
∴ AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，
∴ ∠BAI = ∠CAI，∠ABI = ∠CBI。
∵ ∠CAI和∠CBE都是弧CE所对的圆周角，
∴ ∠CAI = ∠CBE，
∴ ∠BAI = ∠CBE。
∵ ∠BIE是△ABI的外角，
∴ ∠BIE = ∠BAI + ∠ABI，
又
∵ ∠IBE = ∠CBE + ∠CBI，
且∠BAI=∠CBE，∠ABI=∠CBI，
∴ ∠BIE = ∠IBE，
∴ BE = IE。
【答案】
BE=IE，证明成立。
【知识点】
三角形内心的性质，圆周角定理，等腰三角形的判定
【点评】
本题属于圆与三角形综合的基础常考题，解题的核心是正确添加辅助线BI，通过角平分线性质、圆周角定理完成角的等量转化，利用等角对等边的判定定理证明结论，考察的知识点较为基础，逻辑推导路径清晰。
【难度系数】
0.7
