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13.如图，点C，D在半圆O上，CO//BD，∠DAC=α，∠BOC=β，则α，β满足的关系是 （
A.$α + β = 90°$
B.$α + β = 180°$
C.$α + 2β = 180°$
D.$2α + β = 180°$
D
）A.$α + β = 90°$
B.$α + β = 180°$
C.$α + 2β = 180°$
D.$2α + β = 180°$
答案
13.D
解析
【分析】
要推导α和β的关系，可按以下思路思考：首先，α是圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，因此连接OD，可得到弧CD对应的圆心角∠COD=2α；其次结合已知CO//BD，利用平行线的内错角相等，可将∠COD转化为等腰△ODB的底角∠ODB；再根据等腰三角形等角对等边的性质得到∠OBD与α的关系；最后利用平行线同旁内角互补的性质，即可建立α和β的等式。
【解析】
解：连接OD。
1. 根据圆周角定理：同弧所对的圆周角是圆心角的一半，∠DAC是弧CD所对的圆周角，∠COD是弧CD所对的圆心角，因此∠COD=2∠DAC=2α。
2. 因为CO//BD，OD为截线，内错角相等，所以∠COD=∠ODB=2α。
3. 因为OD、OB都是半圆O的半径，OD=OB，△ODB为等腰三角形，因此∠ODB=∠OBD=2α。
4. 因为CO//BD，AB为截线，同旁内角互补，因此∠BOC + ∠OBD=180°，代入∠BOC=β、∠OBD=2α，可得2α + β=180°。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
圆周角定理；平行线的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆的基础综合题，核心考查角度转化能力，解题的关键是通过连接OD构造圆心角，将圆周角、平行线性质、等腰三角形性质结合起来推导角度关系，熟练掌握各基础定理是解决这类题的前提。
【难度系数】
0.7
要推导α和β的关系，可按以下思路思考：首先，α是圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，因此连接OD，可得到弧CD对应的圆心角∠COD=2α；其次结合已知CO//BD，利用平行线的内错角相等，可将∠COD转化为等腰△ODB的底角∠ODB；再根据等腰三角形等角对等边的性质得到∠OBD与α的关系；最后利用平行线同旁内角互补的性质，即可建立α和β的等式。
【解析】
解：连接OD。
1. 根据圆周角定理：同弧所对的圆周角是圆心角的一半，∠DAC是弧CD所对的圆周角，∠COD是弧CD所对的圆心角，因此∠COD=2∠DAC=2α。
2. 因为CO//BD，OD为截线，内错角相等，所以∠COD=∠ODB=2α。
3. 因为OD、OB都是半圆O的半径，OD=OB，△ODB为等腰三角形，因此∠ODB=∠OBD=2α。
4. 因为CO//BD，AB为截线，同旁内角互补，因此∠BOC + ∠OBD=180°，代入∠BOC=β、∠OBD=2α，可得2α + β=180°。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
圆周角定理；平行线的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆的基础综合题，核心考查角度转化能力，解题的关键是通过连接OD构造圆心角，将圆周角、平行线性质、等腰三角形性质结合起来推导角度关系，熟练掌握各基础定理是解决这类题的前提。
【难度系数】
0.7
14.已知D是以AB为直径的半圆O的中点，点C在$\overset{\frown}{BD}$上，且$\overset{\frown}{CD}$的长度为$\overset{\frown}{CB}$长度的2倍，P是直径AB上的一个动点，连接PC，PD，AB=2 cm.
(1)如图①，当点P在点A处时，∠DPC的度数为
(2)如图②，图中阴影部分的周长的最小值是
(1)如图①，当点P在点A处时，∠DPC的度数为
$30°$
；(2)如图②，图中阴影部分的周长的最小值是
$(\sqrt{3}+\frac{π}{3})$
cm.答案
14.(1)$30°$ (2)$(\sqrt{3}+\frac{π}{3})$
解析
【分析】
(1) 先根据半圆中点的性质得到弧BD的度数，再结合弧CD和弧CB的长度比例求出弧CD的度数，最后利用圆周角定理，圆周角的度数等于所对弧度数的一半，即可求出∠DPC的度数。
(2) 阴影部分周长由线段PC、PD和弧CD三部分组成，其中弧CD长度为定值，因此只需找到PC+PD的最小值即可。利用将军饮马模型，作D关于AB的对称点D'，当P、C、D'三点共线时PC+PD最小，求出此时CD'的长度，再加上弧CD的长度就是阴影周长的最小值。
【解析】
(1)
∵AB是半圆的直径，半圆的弧度数为180°，D是半圆的中点
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}=90°$
又
∵$\overset{\frown}{CD}=2\overset{\frown}{CB}$，且$\overset{\frown}{CD}+\overset{\frown}{CB}=\overset{\frown}{BD}=90°$
解得$\overset{\frown}{CD}=60°$
当点P在A处时，∠DPC是$\overset{\frown}{CD}$所对的圆周角，根据圆周角定理：
$∠ DPC=\frac{1}{2}×60°=30°$
(2) 已知AB=2cm，故半圆半径$r=1\mathrm{cm}$
首先计算弧CD的长度：$\overset{\frown}{CD}$对应的圆心角为60°，由弧长公式得
$l_{\overset{\frown}{CD}}=\frac{nπ r}{180}=\frac{60π×1}{180}=\frac{π}{3}\mathrm{cm}$
阴影部分周长为$PC+PD+l_{\overset{\frown}{CD}}$，其中$l_{\overset{\frown}{CD}}$是定值，因此只需最小化$PC+PD$。
作点D关于直径AB的对称点$D'$，由对称性质得$PD=PD'$，故$PC+PD=PC+PD'$，当P、C、$D'$三点共线时，$PC+PD'$取得最小值，即线段$CD'$的长度。
连接OC、$OD'$：由对称得$∠ BOD'=∠ BOD=90°$，又$\overset{\frown}{CB}=30°$，故$∠ COB=30°$，因此$∠ COD'=∠ COB+∠ BOD'=30°+90°=120°$。
在$△ COD'$中，$OC=OD'=1\mathrm{cm}$，过O作$OE⊥ CD'$于E，由等腰三角形三线合一得$∠ COE=\frac{1}{2}∠ COD'=60°$，$CD'=2CE$。
在$Rt△ COE$中，$CE=OC·\sin60°=1×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{cm}$，故$CD'=2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\mathrm{cm}$。
因此阴影部分周长的最小值为$\sqrt{3}+\frac{π}{3}\mathrm{cm}$。
【答案】
(1) $30°$ (2) $(\sqrt{3}+\frac{π}{3})$
【知识点】
圆周角定理，最短路径问题，弧长计算
【点评】
本题结合圆的性质和最短路径模型考查综合应用能力，解题的关键是明确动态周长的固定部分和可变部分，将可变线段和的最小值转化为两点之间线段最短的问题求解，同时要熟练掌握弧长公式和圆周角定理的应用。
【难度系数】
0.65
(1) 先根据半圆中点的性质得到弧BD的度数，再结合弧CD和弧CB的长度比例求出弧CD的度数，最后利用圆周角定理，圆周角的度数等于所对弧度数的一半，即可求出∠DPC的度数。
(2) 阴影部分周长由线段PC、PD和弧CD三部分组成，其中弧CD长度为定值，因此只需找到PC+PD的最小值即可。利用将军饮马模型，作D关于AB的对称点D'，当P、C、D'三点共线时PC+PD最小，求出此时CD'的长度，再加上弧CD的长度就是阴影周长的最小值。
【解析】
(1)
∵AB是半圆的直径，半圆的弧度数为180°，D是半圆的中点
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}=90°$
又
∵$\overset{\frown}{CD}=2\overset{\frown}{CB}$，且$\overset{\frown}{CD}+\overset{\frown}{CB}=\overset{\frown}{BD}=90°$
解得$\overset{\frown}{CD}=60°$
当点P在A处时，∠DPC是$\overset{\frown}{CD}$所对的圆周角，根据圆周角定理：
$∠ DPC=\frac{1}{2}×60°=30°$
(2) 已知AB=2cm，故半圆半径$r=1\mathrm{cm}$
首先计算弧CD的长度：$\overset{\frown}{CD}$对应的圆心角为60°，由弧长公式得
$l_{\overset{\frown}{CD}}=\frac{nπ r}{180}=\frac{60π×1}{180}=\frac{π}{3}\mathrm{cm}$
阴影部分周长为$PC+PD+l_{\overset{\frown}{CD}}$，其中$l_{\overset{\frown}{CD}}$是定值，因此只需最小化$PC+PD$。
作点D关于直径AB的对称点$D'$，由对称性质得$PD=PD'$，故$PC+PD=PC+PD'$，当P、C、$D'$三点共线时，$PC+PD'$取得最小值，即线段$CD'$的长度。
连接OC、$OD'$：由对称得$∠ BOD'=∠ BOD=90°$，又$\overset{\frown}{CB}=30°$，故$∠ COB=30°$，因此$∠ COD'=∠ COB+∠ BOD'=30°+90°=120°$。
在$△ COD'$中，$OC=OD'=1\mathrm{cm}$，过O作$OE⊥ CD'$于E，由等腰三角形三线合一得$∠ COE=\frac{1}{2}∠ COD'=60°$，$CD'=2CE$。
在$Rt△ COE$中，$CE=OC·\sin60°=1×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{cm}$，故$CD'=2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\mathrm{cm}$。
因此阴影部分周长的最小值为$\sqrt{3}+\frac{π}{3}\mathrm{cm}$。
【答案】
(1) $30°$ (2) $(\sqrt{3}+\frac{π}{3})$
【知识点】
圆周角定理，最短路径问题，弧长计算
【点评】
本题结合圆的性质和最短路径模型考查综合应用能力，解题的关键是明确动态周长的固定部分和可变部分，将可变线段和的最小值转化为两点之间线段最短的问题求解，同时要熟练掌握弧长公式和圆周角定理的应用。
【难度系数】
0.65
