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10.生活中常见的装饰盘由圆盘和支架组成(如图①)，它可以近似看作如图②所示的几何图形.已知$AC=BD=5\ \mathrm{cm}$，$AC⊥ CD$，垂足为$C$，$BD⊥ CD$，垂足为$D$，$CD=16\ \mathrm{cm}$，$\odot O$的半径$r=10\ \mathrm{cm}$，则圆盘离桌面$CD$最近的距离是
1
$\mathrm{cm}$.答案
10.1
解析
【分析】
要计算圆盘离桌面CD的最近距离，本质是求⊙O上的点到直线CD的最小距离，该距离等于圆心O到CD的距离减去圆的半径。首先由AC⊥CD、BD⊥CD且AC=BD，可判定四边形ABDC是矩形，得到AB=CD=16cm、AB与CD平行且AB到CD的距离为5cm，且AB是⊙O的弦。接下来利用垂径定理，过圆心作AB的垂线构造直角三角形，结合勾股定理求出圆心到AB的距离，即可进一步得到圆心到CD的距离，最终算出最小距离。
【解析】
连接OA，过点O作OE⊥AB于点E，延长OE交CD于点F。
1. 证明四边形ACDB为矩形：
∵AC⊥CD，BD⊥CD，
∴AC//BD，又
∵AC=BD，
∴四边形ACDB是矩形。
∴AB=CD=16cm，AB//CD，EF=AC=5cm，且OF⊥CD。
2. 由垂径定理求弦长的一半：
∵OE⊥AB，AB是⊙O的弦，
∴AE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×16=8cm。
3. 用勾股定理求OE的长度：
在Rt△OAE中，OA=r=10cm，AE=8cm，由勾股定理得：
OE=$\sqrt{OA^2 - AE^2}$=$\sqrt{10^2 - 8^2}$=$\sqrt{36}$=6cm。
4. 计算圆心到CD的距离及最小距离：
圆心O到CD的距离OF=OE + EF=6 + 5=11cm，
则圆盘离CD的最近距离为OF - r=11 - 10=1cm。
【答案】
1
【知识点】
垂径定理；勾股定理；矩形的判定与性质
【点评】
本题结合生活场景考查圆的相关计算，解题的关键是将实际问题转化为圆中弦心距的计算问题，通过构造直角三角形利用垂径定理和勾股定理求解，体现了数学的实用性。
【难度系数】
0.7
要计算圆盘离桌面CD的最近距离，本质是求⊙O上的点到直线CD的最小距离，该距离等于圆心O到CD的距离减去圆的半径。首先由AC⊥CD、BD⊥CD且AC=BD，可判定四边形ABDC是矩形，得到AB=CD=16cm、AB与CD平行且AB到CD的距离为5cm，且AB是⊙O的弦。接下来利用垂径定理，过圆心作AB的垂线构造直角三角形，结合勾股定理求出圆心到AB的距离，即可进一步得到圆心到CD的距离，最终算出最小距离。
【解析】
连接OA，过点O作OE⊥AB于点E，延长OE交CD于点F。
1. 证明四边形ACDB为矩形：
∵AC⊥CD，BD⊥CD，
∴AC//BD，又
∵AC=BD，
∴四边形ACDB是矩形。
∴AB=CD=16cm，AB//CD，EF=AC=5cm，且OF⊥CD。
2. 由垂径定理求弦长的一半：
∵OE⊥AB，AB是⊙O的弦，
∴AE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×16=8cm。
3. 用勾股定理求OE的长度：
在Rt△OAE中，OA=r=10cm，AE=8cm，由勾股定理得：
OE=$\sqrt{OA^2 - AE^2}$=$\sqrt{10^2 - 8^2}$=$\sqrt{36}$=6cm。
4. 计算圆心到CD的距离及最小距离：
圆心O到CD的距离OF=OE + EF=6 + 5=11cm，
则圆盘离CD的最近距离为OF - r=11 - 10=1cm。
【答案】
1
【知识点】
垂径定理；勾股定理；矩形的判定与性质
【点评】
本题结合生活场景考查圆的相关计算，解题的关键是将实际问题转化为圆中弦心距的计算问题，通过构造直角三角形利用垂径定理和勾股定理求解，体现了数学的实用性。
【难度系数】
0.7
三、解答题
11.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，△ABO的三个顶点坐标分别为A(-1,3),B(-4,3),O(0,0).
(1)画出△ABO绕点O顺时针旋转90°后得到的△A₁B₁O，并写出点A₁的坐标；
(2)在(1)的条件下，求点A旋转到点A₁所经过的路径长(结果保留π).
11.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，△ABO的三个顶点坐标分别为A(-1,3),B(-4,3),O(0,0).
(1)画出△ABO绕点O顺时针旋转90°后得到的△A₁B₁O，并写出点A₁的坐标；
(2)在(1)的条件下，求点A旋转到点A₁所经过的路径长(结果保留π).
答案
11.解：(1)图略.点$A_1$的坐标为$(3,1)$.
(2)$\frac{\sqrt{10}}{2}π$.
(2)$\frac{\sqrt{10}}{2}π$.
解析
【分析】
(1) 要画出△ABO绕点O顺时针旋转90°的图形，需先明确绕原点顺时针旋转90°的坐标变换规律：平面内点(x,y)绕原点顺时针旋转90°后，对应点的坐标为(y,-x)。分别求出A、B旋转后的对应点A₁、B₁的坐标，再顺次连接O、A₁、B₁即可得到旋转后的图形，同时直接写出A₁的坐标。
(2) 点A旋转到A₁的路径是圆心为O、半径为OA长、圆心角为90°的圆弧，路径长即为该弧的长度。先利用勾股定理求出OA的长度，再代入弧长公式计算即可。
【解析】
(1) 根据绕原点顺时针旋转90°的坐标变换规律：
点A(-1,3)旋转后对应点A₁的坐标为(3, 1)，点B(-4,3)旋转后对应点B₁的坐标为(3, 4)，原点O坐标不变。
在坐标系中描出A₁、B₁，顺次连接O、A₁、B₁，即可得到△A₁B₁O。
(2) 先计算OA的长度，由勾股定理得：
$OA = \sqrt{(-1)^2 + 3^2} = \sqrt{1+9} = \sqrt{10}$
点A旋转到A₁的路径是圆心角为90°、半径为$\sqrt{10}$的弧，根据弧长公式$l = \frac{nπ r}{180}$（其中n为圆心角度数，r为半径），代入n=90，r=$\sqrt{10}$得：
$l = \frac{90× π × \sqrt{10}}{180} = \frac{\sqrt{10}}{2}π$
【答案】
(1) 图略，点$A_1$的坐标为$(3,1)$；
(2) $\frac{\sqrt{10}}{2}π$
【知识点】
旋转的性质，弧长的计算，勾股定理
【点评】
本题是旋转与弧长计算的综合基础题，重点考查旋转的坐标变换规律和弧长公式的应用，解题时注意旋转方向对坐标变换的影响，计算半径和弧长时要仔细避免运算错误。
【难度系数】
0.7
(1) 要画出△ABO绕点O顺时针旋转90°的图形，需先明确绕原点顺时针旋转90°的坐标变换规律：平面内点(x,y)绕原点顺时针旋转90°后，对应点的坐标为(y,-x)。分别求出A、B旋转后的对应点A₁、B₁的坐标，再顺次连接O、A₁、B₁即可得到旋转后的图形，同时直接写出A₁的坐标。
(2) 点A旋转到A₁的路径是圆心为O、半径为OA长、圆心角为90°的圆弧，路径长即为该弧的长度。先利用勾股定理求出OA的长度，再代入弧长公式计算即可。
【解析】
(1) 根据绕原点顺时针旋转90°的坐标变换规律：
点A(-1,3)旋转后对应点A₁的坐标为(3, 1)，点B(-4,3)旋转后对应点B₁的坐标为(3, 4)，原点O坐标不变。
在坐标系中描出A₁、B₁，顺次连接O、A₁、B₁，即可得到△A₁B₁O。
(2) 先计算OA的长度，由勾股定理得：
$OA = \sqrt{(-1)^2 + 3^2} = \sqrt{1+9} = \sqrt{10}$
点A旋转到A₁的路径是圆心角为90°、半径为$\sqrt{10}$的弧，根据弧长公式$l = \frac{nπ r}{180}$（其中n为圆心角度数，r为半径），代入n=90，r=$\sqrt{10}$得：
$l = \frac{90× π × \sqrt{10}}{180} = \frac{\sqrt{10}}{2}π$
【答案】
(1) 图略，点$A_1$的坐标为$(3,1)$；
(2) $\frac{\sqrt{10}}{2}π$
【知识点】
旋转的性质，弧长的计算，勾股定理
【点评】
本题是旋转与弧长计算的综合基础题，重点考查旋转的坐标变换规律和弧长公式的应用，解题时注意旋转方向对坐标变换的影响，计算半径和弧长时要仔细避免运算错误。
【难度系数】
0.7
12.在学习了圆这一章后,小明对“在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等”产生了浓厚兴趣,进行了拓展性的研究,有了新的发现.如图,在$\odot O$中,A,B,C,D 是圆上四点,且$AB=CD$,过圆心 O 作$OE⊥AB$,垂足为 E,他猜想圆心 O 到弦 AB、弦 CD 的距离相等.他的解决思路是证明对应垂线段所在三角形全等从而得出结论.请根据他的思路完成以下作图与填空:
(1)用直尺和圆规,过点 O 作$OF⊥CD$,垂足为 F;(只保留作图痕迹)
134 数学 九年级 上册 人教版
(2)已知:如图,在$\odot O$中,点 A,B,C,D 是圆上四点,且$AB=CD$,$OE⊥AB$于点 E,$OF⊥CD$于点 F.求证:$OE=OF$.
证明:∵在$\odot O$中,AB 是圆上两点,$OE⊥AB$于点 E,
∴$BE=\frac{1}{2}AB$,同理可证$CF=\frac{1}{2}CD$.
∵$AB=CD$,
∴①
∵$OE⊥AB$于点 E,$OF⊥CD$于点 F,
∴②
在$Rt△ OEB$与$Rt△ OFC$中,$\begin{cases}③\_\_\_\_\_\_, \\ BE=CF,\end{cases}$
∴$Rt△ OEB≌ Rt△ OFC(HL)$.
∴$OE=OF$.
小明通过研究发现,在等圆中也有此结论:在同圆或等圆中,如果两条弦相等,则圆心到等弦的距离相等.
(1)用直尺和圆规,过点 O 作$OF⊥CD$,垂足为 F;(只保留作图痕迹)
134 数学 九年级 上册 人教版
(2)已知:如图,在$\odot O$中,点 A,B,C,D 是圆上四点,且$AB=CD$,$OE⊥AB$于点 E,$OF⊥CD$于点 F.求证:$OE=OF$.
证明:∵在$\odot O$中,AB 是圆上两点,$OE⊥AB$于点 E,
∴$BE=\frac{1}{2}AB$,同理可证$CF=\frac{1}{2}CD$.
∵$AB=CD$,
∴①
$BE=CF$
.∵$OE⊥AB$于点 E,$OF⊥CD$于点 F,
∴②
$∠OEB=∠OFC$
$=90°$,在$Rt△ OEB$与$Rt△ OFC$中,$\begin{cases}③\_\_\_\_\_\_, \\ BE=CF,\end{cases}$
∴$Rt△ OEB≌ Rt△ OFC(HL)$.
∴$OE=OF$.
小明通过研究发现,在等圆中也有此结论:在同圆或等圆中,如果两条弦相等,则圆心到等弦的距离相等.
答案
12.解：(1)略.(2)①$BE=CF$ ②$∠ OEB=∠ OFC$ ③$OB=OC$
解析
【分析】
本题分为作图和证明填空两部分：
1. 作$OF⊥CD$的作图思路：以$O$为圆心，取适当长度为半径画弧，与$CD$交于两个点，再分别以这两个交点为圆心，取大于两点间距离一半的长度为半径画弧，两弧交于一点，连接该点与$O$，与$CD$的交点即为垂足$F$，保留作图痕迹即可。
2. 证明填空的解题思路：要证$OE=OF$，可通过证明$Rt△OEB$和$Rt△OFC$全等得到。首先根据垂径定理，垂直于弦的半径平分弦，可得$BE$是$AB$的一半、$CF$是$CD$的一半，结合$AB=CD$可推出直角边$BE=CF$；再由垂直的定义得到两个直角相等；最后结合同圆的半径相等，得到斜边$OB=OC$，即可用HL判定两个直角三角形全等，进而得到$OE=OF$，顺着这个推导过程即可完成填空。
【解析】
(1) 按照上述作图方法完成作图，保留痕迹即可。
(2) 推导过程：
① 已知$BE=\frac{1}{2}AB$，$CF=\frac{1}{2}CD$，且$AB=CD$，等式两边同乘$\frac{1}{2}$可得$BE=CF$，故①填$BE=CF$；
② 由$OE⊥AB$、$OF⊥CD$，根据垂直的定义，可得$∠OEB$和$∠OFC$都是直角，即$∠OEB=∠OFC=90°$，故②填$∠OEB=∠OFC$；
③ 用HL判定$Rt△OEB$和$Rt△OFC$全等，已经有一组直角边$BE=CF$，还需要斜边相等，$OB$和$OC$都是$\odot O$的半径，同圆的半径相等，即$OB=OC$，故③填$OB=OC$。
【答案】
(1) 略；
(2) ①$\boldsymbol{BE=CF}$；②$\boldsymbol{∠OEB=∠OFC}$；③$\boldsymbol{OB=OC}$
【知识点】
1. 垂径定理
2. 直角三角形全等判定
3. 圆的基本性质
【点评】
本题是圆的基础性质应用题，结合了垂径定理和全等三角形的判定知识，推导逻辑清晰，是对“同圆中等弦的弦心距相等”这一性质的直接验证，掌握基础定理即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
本题分为作图和证明填空两部分：
1. 作$OF⊥CD$的作图思路：以$O$为圆心，取适当长度为半径画弧，与$CD$交于两个点，再分别以这两个交点为圆心，取大于两点间距离一半的长度为半径画弧，两弧交于一点，连接该点与$O$，与$CD$的交点即为垂足$F$，保留作图痕迹即可。
2. 证明填空的解题思路：要证$OE=OF$，可通过证明$Rt△OEB$和$Rt△OFC$全等得到。首先根据垂径定理，垂直于弦的半径平分弦，可得$BE$是$AB$的一半、$CF$是$CD$的一半，结合$AB=CD$可推出直角边$BE=CF$；再由垂直的定义得到两个直角相等；最后结合同圆的半径相等，得到斜边$OB=OC$，即可用HL判定两个直角三角形全等，进而得到$OE=OF$，顺着这个推导过程即可完成填空。
【解析】
(1) 按照上述作图方法完成作图，保留痕迹即可。
(2) 推导过程：
① 已知$BE=\frac{1}{2}AB$，$CF=\frac{1}{2}CD$，且$AB=CD$，等式两边同乘$\frac{1}{2}$可得$BE=CF$，故①填$BE=CF$；
② 由$OE⊥AB$、$OF⊥CD$，根据垂直的定义，可得$∠OEB$和$∠OFC$都是直角，即$∠OEB=∠OFC=90°$，故②填$∠OEB=∠OFC$；
③ 用HL判定$Rt△OEB$和$Rt△OFC$全等，已经有一组直角边$BE=CF$，还需要斜边相等，$OB$和$OC$都是$\odot O$的半径，同圆的半径相等，即$OB=OC$，故③填$OB=OC$。
【答案】
(1) 略；
(2) ①$\boldsymbol{BE=CF}$；②$\boldsymbol{∠OEB=∠OFC}$；③$\boldsymbol{OB=OC}$
【知识点】
1. 垂径定理
2. 直角三角形全等判定
3. 圆的基本性质
【点评】
本题是圆的基础性质应用题，结合了垂径定理和全等三角形的判定知识，推导逻辑清晰，是对“同圆中等弦的弦心距相等”这一性质的直接验证，掌握基础定理即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
