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2. 如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD各顶点的坐标分别为A(0,1),B(5,1),C(7,3),D(2,5).
(1)填空:四边形ABCD内(边界点除外)一共有
(2)求四边形ABCD的面积.
(1)填空:四边形ABCD内(边界点除外)一共有
13
个整点(即横坐标和纵坐标都是整数的点);(2)求四边形ABCD的面积.
答案
(1)13
(2)17
(2)17
解析
【分析】
(1) 找四边形内部整点时，先确定内部y的整数取值（排除边界上的y=1和y=5），分别是y=2、y=3、y=4；再求出每个y值对应的四边形左右边界的x值，统计范围内整数x的个数，相加即可得到总整点个数。
(2) 计算不规则四边形面积用割补法：将四边形补成包含它的矩形，用矩形面积减去周围多余直角三角形的面积，就能得到四边形的面积，是网格图形面积计算的常用方法。
【解析】
(1) 分情况统计内部整点：
① 当$y=2$时：
AD边解析式为$y=2x+1$，代入$y=2$得$x=0.5$；BC边解析式为$y=x-4$，代入$y=2$得$x=6$；
内部x满足$0.5＜x＜6$，整数x为1、2、3、4、5，共5个点；
② 当$y=3$时：
AD边$y=2x+1$代入$y=3$得$x=1$；DC边解析式为$y=-\frac{2}{5}x+\frac{29}{5}$，代入$y=3$得$x=7$；
内部x满足$1＜x＜7$，整数x为2、3、4、5、6，共5个点；
③ 当$y=4$时：
AD边$y=2x+1$代入$y=4$得$x=1.5$；DC边$y=-\frac{2}{5}x+\frac{29}{5}$代入$y=4$得$x=4.5$；
内部x满足$1.5＜x＜4.5$，整数x为2、3、4，共3个点；
总整点个数：$5+5+3=13$。
(2) 用割补法求面积：
作包含四边形ABCD的矩形，四个顶点为$(0,1)、(7,1)、(7,5)、(0,5)$，矩形面积$=7×(5-1)=28$；
减去周围3个多余直角三角形的面积：
① 左侧直角三角形面积：$\frac{1}{2}×2×4=4$；
② 上方直角三角形面积：$\frac{1}{2}×5×2=5$；
③ 右下方直角三角形面积：$\frac{1}{2}×2×2=2$；
故四边形ABCD的面积$=28-4-5-2=17$。
【答案】
(1) $\boxed{13}$；(2) $\boxed{17}$
【知识点】
平面直角坐标系，割补法求面积，一次函数解析式
【点评】
本题考查网格中整点的识别和不规则图形的面积计算，计数整点时要注意排除边界上的点，割补法将不规则图形转化为规则图形的面积和差，能大幅降低计算难度。
【难度系数】
0.7
(1) 找四边形内部整点时，先确定内部y的整数取值（排除边界上的y=1和y=5），分别是y=2、y=3、y=4；再求出每个y值对应的四边形左右边界的x值，统计范围内整数x的个数，相加即可得到总整点个数。
(2) 计算不规则四边形面积用割补法：将四边形补成包含它的矩形，用矩形面积减去周围多余直角三角形的面积，就能得到四边形的面积，是网格图形面积计算的常用方法。
【解析】
(1) 分情况统计内部整点：
① 当$y=2$时：
AD边解析式为$y=2x+1$，代入$y=2$得$x=0.5$；BC边解析式为$y=x-4$，代入$y=2$得$x=6$；
内部x满足$0.5＜x＜6$，整数x为1、2、3、4、5，共5个点；
② 当$y=3$时：
AD边$y=2x+1$代入$y=3$得$x=1$；DC边解析式为$y=-\frac{2}{5}x+\frac{29}{5}$，代入$y=3$得$x=7$；
内部x满足$1＜x＜7$，整数x为2、3、4、5、6，共5个点；
③ 当$y=4$时：
AD边$y=2x+1$代入$y=4$得$x=1.5$；DC边$y=-\frac{2}{5}x+\frac{29}{5}$代入$y=4$得$x=4.5$；
内部x满足$1.5＜x＜4.5$，整数x为2、3、4，共3个点；
总整点个数：$5+5+3=13$。
(2) 用割补法求面积：
作包含四边形ABCD的矩形，四个顶点为$(0,1)、(7,1)、(7,5)、(0,5)$，矩形面积$=7×(5-1)=28$；
减去周围3个多余直角三角形的面积：
① 左侧直角三角形面积：$\frac{1}{2}×2×4=4$；
② 上方直角三角形面积：$\frac{1}{2}×5×2=5$；
③ 右下方直角三角形面积：$\frac{1}{2}×2×2=2$；
故四边形ABCD的面积$=28-4-5-2=17$。
【答案】
(1) $\boxed{13}$；(2) $\boxed{17}$
【知识点】
平面直角坐标系，割补法求面积，一次函数解析式
【点评】
本题考查网格中整点的识别和不规则图形的面积计算，计数整点时要注意排除边界上的点，割补法将不规则图形转化为规则图形的面积和差，能大幅降低计算难度。
【难度系数】
0.7
3.如图,在平面直角坐标系中,图中的网格是由边长相等的小正方形组成的,点A,B,C的坐标分别为$(-5,4),(-4,0),(-5,-3)$.
(1)请写出点D,E,F,G的坐标;
(2)求图中阴影部分(多边形ABCDEFG)的面积.
(1)请写出点D,E,F,G的坐标;
(2)求图中阴影部分(多边形ABCDEFG)的面积.
答案
(1)$D(0,-2),E(5,-3),F(4,4),G(-1,2)$.
(2)图中阴影部分(多边形ABCDEFG)的面积$=10×7-\frac{1}{2}×7×1-\frac{1}{2}×9×2-\frac{1}{2}×1×7-\frac{1}{2}×10×1=49$.
(2)图中阴影部分(多边形ABCDEFG)的面积$=10×7-\frac{1}{2}×7×1-\frac{1}{2}×9×2-\frac{1}{2}×1×7-\frac{1}{2}×10×1=49$.
解析
【分析】
(1) 确定平面直角坐标系中点的坐标时，横坐标为点向x轴作垂线对应的x轴数值，纵坐标为点向y轴作垂线对应的y轴数值，结合网格可直接读取各点坐标。
(2) 阴影部分为不规则多边形，选用割补法计算面积更简便：先找到可完全覆盖阴影的最小矩形，计算矩形面积，再减去矩形内阴影周边所有空白部分的面积，即可得到阴影的面积。
【解析】
(1) 根据各点在坐标系中的位置读取坐标：
D点对应横坐标为0，纵坐标为-2，即$\boldsymbol{D(0,-2)}$；
E点对应横坐标为5，纵坐标为-3，即$\boldsymbol{E(5,-3)}$；
F点对应横坐标为4，纵坐标为4，即$\boldsymbol{F(4,4)}$；
G点对应横坐标为-1，纵坐标为2，即$\boldsymbol{G(-1,2)}$。
(2) 用割补法计算阴影面积：
第一步：确定覆盖阴影的最小矩形，横向从x=-5到x=5，长度为$5-(-5)=10$；纵向从y=-3到y=4，高度为$4-(-3)=7$，因此大矩形面积为$10×7=70$。
第二步：计算矩形内4个空白直角三角形的面积：
$S_1=\frac{1}{2}×7×1=3.5$，$S_2=\frac{1}{2}×9×2=9$，$S_3=\frac{1}{2}×1×7=3.5$，$S_4=\frac{1}{2}×10×1=5$。
第三步：阴影面积为大矩形面积减去4个空白三角形面积和，即$S_{\mathrm{阴影}}=70-(3.5+9+3.5+5)=49$。
【答案】
(1) $D(0,-2),E(5,-3),F(4,4),G(-1,2)$
(2) $49$
【知识点】
点的坐标确定；割补法求面积；三角形面积计算
【点评】
本题是网格中坐标与面积计算的典型题型，熟练掌握坐标读取规则和割补法的使用，能快速解决这类不规则图形面积计算问题，计算时要注意准确识别空白图形的边长，避免运算错误。
【难度系数】
0.7
(1) 确定平面直角坐标系中点的坐标时，横坐标为点向x轴作垂线对应的x轴数值，纵坐标为点向y轴作垂线对应的y轴数值，结合网格可直接读取各点坐标。
(2) 阴影部分为不规则多边形，选用割补法计算面积更简便：先找到可完全覆盖阴影的最小矩形，计算矩形面积，再减去矩形内阴影周边所有空白部分的面积，即可得到阴影的面积。
【解析】
(1) 根据各点在坐标系中的位置读取坐标：
D点对应横坐标为0，纵坐标为-2，即$\boldsymbol{D(0,-2)}$；
E点对应横坐标为5，纵坐标为-3，即$\boldsymbol{E(5,-3)}$；
F点对应横坐标为4，纵坐标为4，即$\boldsymbol{F(4,4)}$；
G点对应横坐标为-1，纵坐标为2，即$\boldsymbol{G(-1,2)}$。
(2) 用割补法计算阴影面积：
第一步：确定覆盖阴影的最小矩形，横向从x=-5到x=5，长度为$5-(-5)=10$；纵向从y=-3到y=4，高度为$4-(-3)=7$，因此大矩形面积为$10×7=70$。
第二步：计算矩形内4个空白直角三角形的面积：
$S_1=\frac{1}{2}×7×1=3.5$，$S_2=\frac{1}{2}×9×2=9$，$S_3=\frac{1}{2}×1×7=3.5$，$S_4=\frac{1}{2}×10×1=5$。
第三步：阴影面积为大矩形面积减去4个空白三角形面积和，即$S_{\mathrm{阴影}}=70-(3.5+9+3.5+5)=49$。
【答案】
(1) $D(0,-2),E(5,-3),F(4,4),G(-1,2)$
(2) $49$
【知识点】
点的坐标确定；割补法求面积；三角形面积计算
【点评】
本题是网格中坐标与面积计算的典型题型，熟练掌握坐标读取规则和割补法的使用，能快速解决这类不规则图形面积计算问题，计算时要注意准确识别空白图形的边长，避免运算错误。
【难度系数】
0.7
4.如图,在平面直角坐标系中,点A,B,C的坐标分别为$(0,1),(2,0),(4,3)$.
(1)求三角形ABC的面积;
(2)设点P在x轴上,且三角形ABP与三角形ABC的面积相等,求点P的坐标.
(1)求三角形ABC的面积;
(2)设点P在x轴上,且三角形ABP与三角形ABC的面积相等,求点P的坐标.
答案
(1)三角形ABC的面积为4.
(2)点P的坐标为$(10,0)$或$(-6,0)$.
(2)点P的坐标为$(10,0)$或$(-6,0)$.
解析
【分析】
(1)求平面直角坐标系中无平行于坐标轴边的三角形面积，常用割补法：将三角形放入矩形中，用矩形面积减去周围多余直角三角形的面积，即可得到目标三角形面积；
(2)点P在x轴上，△ABP的边BP落在x轴上，BP边上的高为点A到x轴的距离（即点A纵坐标的绝对值），结合两三角形面积相等可求出BP的长度，再分P在点B左侧、右侧两种情况计算P的坐标即可，注意不要漏解。
【解析】
(1) 过点C分别作CD⊥x轴于点D，CE⊥y轴于点E，得到矩形ODCE：
矩形ODCE的面积 = 长×宽 = $4×3 = 12$
$△ AEC$的面积 = $\frac{1}{2}× AE× EC = \frac{1}{2}×(3-1)×4 = 4$
$△ ABO$的面积 = $\frac{1}{2}× AO× OB = \frac{1}{2}×1×2 = 1$
$△ BCD$的面积 = $\frac{1}{2}× BD× CD = \frac{1}{2}×(4-2)×3 = 3$
则$S_{△ ABC}=S_{\mathrm{矩形}ODCE}-S_{△ AEC}-S_{△ ABO}-S_{△ BCD}=12-4-1-3=4$
(2) 设点P的坐标为$(x,0)$，BP的长度为$|x-2|$，△ABP中BP边上的高为点A到x轴的距离，即$h=1$：
由$S_{△ ABP}=S_{△ ABC}=4$，可得：
$\frac{1}{2} × |x-2| × 1 =4$
解得$|x-2|=8$
当$x-2=8$时，$x=10$；当$x-2=-8$时，$x=-6$
【答案】
(1) 三角形ABC的面积为4；
(2) 点P的坐标为$(10,0)$或$(-6,0)$。
【知识点】
割补法求面积，坐标与图形，三角形面积计算
【点评】
本题重点考查坐标系中图形面积的求解方法，第一问需熟练掌握割补法的应用，第二问要注意点在坐标轴上的位置存在多种可能，避免漏解。
【难度系数】
0.7
(1)求平面直角坐标系中无平行于坐标轴边的三角形面积，常用割补法：将三角形放入矩形中，用矩形面积减去周围多余直角三角形的面积，即可得到目标三角形面积；
(2)点P在x轴上，△ABP的边BP落在x轴上，BP边上的高为点A到x轴的距离（即点A纵坐标的绝对值），结合两三角形面积相等可求出BP的长度，再分P在点B左侧、右侧两种情况计算P的坐标即可，注意不要漏解。
【解析】
(1) 过点C分别作CD⊥x轴于点D，CE⊥y轴于点E，得到矩形ODCE：
矩形ODCE的面积 = 长×宽 = $4×3 = 12$
$△ AEC$的面积 = $\frac{1}{2}× AE× EC = \frac{1}{2}×(3-1)×4 = 4$
$△ ABO$的面积 = $\frac{1}{2}× AO× OB = \frac{1}{2}×1×2 = 1$
$△ BCD$的面积 = $\frac{1}{2}× BD× CD = \frac{1}{2}×(4-2)×3 = 3$
则$S_{△ ABC}=S_{\mathrm{矩形}ODCE}-S_{△ AEC}-S_{△ ABO}-S_{△ BCD}=12-4-1-3=4$
(2) 设点P的坐标为$(x,0)$，BP的长度为$|x-2|$，△ABP中BP边上的高为点A到x轴的距离，即$h=1$：
由$S_{△ ABP}=S_{△ ABC}=4$，可得：
$\frac{1}{2} × |x-2| × 1 =4$
解得$|x-2|=8$
当$x-2=8$时，$x=10$；当$x-2=-8$时，$x=-6$
【答案】
(1) 三角形ABC的面积为4；
(2) 点P的坐标为$(10,0)$或$(-6,0)$。
【知识点】
割补法求面积，坐标与图形，三角形面积计算
【点评】
本题重点考查坐标系中图形面积的求解方法，第一问需熟练掌握割补法的应用，第二问要注意点在坐标轴上的位置存在多种可能，避免漏解。
【难度系数】
0.7
5. 如图，在平面直角坐标系中，已知点$A(4,0)$，$B(3,4)$，$C(0,2)$.
(1)求$S_{四边形ABCO}$.
(2)连接$AC$，求$S_{三角形ABC}$.
(3)在$x$轴上是否存在一点$P$，使$S_{三角形PAB}=10$？若存在，请求出点$P$的坐标；若不存在，请说明理由.
(1)求$S_{四边形ABCO}$.
(2)连接$AC$，求$S_{三角形ABC}$.
(3)在$x$轴上是否存在一点$P$，使$S_{三角形PAB}=10$？若存在，请求出点$P$的坐标；若不存在，请说明理由.
答案
(1)$S_{四边形ABCO}=11$.
(2)$S_{三角形ABC}=7$.
(3)存在.点P的坐标为$(9,0)$或$(-1,0)$.
(2)$S_{三角形ABC}=7$.
(3)存在.点P的坐标为$(9,0)$或$(-1,0)$.
解析
【分析】
(1) 四边形ABCO是不规则图形，采用割补法求解：过点B作x轴的垂线，将四边形拆分为左侧梯形和右侧直角三角形，分别计算两部分面积后相加即可。
(2) 观察图形可知四边形ABCO的面积等于△AOC与△ABC的面积和，先计算直角△AOC的面积，再用四边形面积减去△AOC的面积即可得到△ABC的面积。
(3) 设x轴上点P的坐标为(x,0)，△PAB的底为AP的长度（即|x-4|），高为点B到x轴的距离（即B的纵坐标4），根据面积公式列绝对值方程求解即可。
【解析】
(1) 过点B作$BE ⊥ x$轴于点E，可得$E(3,0)$
则$OE=3$，$AE=OA-OE=4-3=1$，$BE=4$，$OC=2$
$S_{梯形OCBE}=\frac{1}{2} × (OC+BE) × OE=\frac{1}{2} × (2+4) × 3=9$
$S_{△ ABE}=\frac{1}{2} × AE × BE=\frac{1}{2} × 1 × 4=2$
$S_{四边形ABCO}=S_{梯形OCBE}+S_{△ ABE}=9+2=11$
(2) $S_{△ AOC}=\frac{1}{2} × OA × OC=\frac{1}{2} × 4 × 2=4$
$\because S_{四边形ABCO}=S_{△ AOC}+S_{△ ABC}$
$\therefore S_{△ ABC}=S_{四边形ABCO}-S_{△ AOC}=11-4=7$
(3) 存在，理由如下：
设点P的坐标为$(x,0)$，则$AP=|x-4|$
点B到x轴的距离为4，即△PAB中AP边上的高为4
由$S_{△ PAB}=10$得：
$\frac{1}{2} × |x-4| × 4=10$
化简得$|x-4|=5$
即$x-4=5$或$x-4=-5$
解得$x=9$或$x=-1$
$\therefore$点P的坐标为$(9,0)$或$(-1,0)$
【答案】
(1) $11$
(2) $7$
(3) 存在，点P的坐标为$(9,0)$或$(-1,0)$
【知识点】
割补法求面积、坐标与图形性质、三角形面积计算
【点评】
本题考查平面直角坐标系中图形面积的计算，核心是灵活运用割补法处理不规则图形的面积，结合坐标特征确定三角形的底和高，解答第三问时注意绝对值方程的两个解，避免漏解。
【难度系数】
0.65
(1) 四边形ABCO是不规则图形，采用割补法求解：过点B作x轴的垂线，将四边形拆分为左侧梯形和右侧直角三角形，分别计算两部分面积后相加即可。
(2) 观察图形可知四边形ABCO的面积等于△AOC与△ABC的面积和，先计算直角△AOC的面积，再用四边形面积减去△AOC的面积即可得到△ABC的面积。
(3) 设x轴上点P的坐标为(x,0)，△PAB的底为AP的长度（即|x-4|），高为点B到x轴的距离（即B的纵坐标4），根据面积公式列绝对值方程求解即可。
【解析】
(1) 过点B作$BE ⊥ x$轴于点E，可得$E(3,0)$
则$OE=3$，$AE=OA-OE=4-3=1$，$BE=4$，$OC=2$
$S_{梯形OCBE}=\frac{1}{2} × (OC+BE) × OE=\frac{1}{2} × (2+4) × 3=9$
$S_{△ ABE}=\frac{1}{2} × AE × BE=\frac{1}{2} × 1 × 4=2$
$S_{四边形ABCO}=S_{梯形OCBE}+S_{△ ABE}=9+2=11$
(2) $S_{△ AOC}=\frac{1}{2} × OA × OC=\frac{1}{2} × 4 × 2=4$
$\because S_{四边形ABCO}=S_{△ AOC}+S_{△ ABC}$
$\therefore S_{△ ABC}=S_{四边形ABCO}-S_{△ AOC}=11-4=7$
(3) 存在，理由如下：
设点P的坐标为$(x,0)$，则$AP=|x-4|$
点B到x轴的距离为4，即△PAB中AP边上的高为4
由$S_{△ PAB}=10$得：
$\frac{1}{2} × |x-4| × 4=10$
化简得$|x-4|=5$
即$x-4=5$或$x-4=-5$
解得$x=9$或$x=-1$
$\therefore$点P的坐标为$(9,0)$或$(-1,0)$
【答案】
(1) $11$
(2) $7$
(3) 存在，点P的坐标为$(9,0)$或$(-1,0)$
【知识点】
割补法求面积、坐标与图形性质、三角形面积计算
【点评】
本题考查平面直角坐标系中图形面积的计算，核心是灵活运用割补法处理不规则图形的面积，结合坐标特征确定三角形的底和高，解答第三问时注意绝对值方程的两个解，避免漏解。
【难度系数】
0.65
