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1. 在平面直角坐标系中,对于点 $ P(x,y) $,我们把点 $ P'(-y+1,x+1) $叫作点 $ P $ 的伴随点.已知点 $ A_1 $ 的伴随点为 $ A_2 $,点 $ A_2 $ 的伴随点为 $ A_3 $,点 $ A_3 $ 的伴随点为 $ A_4 $……若点 $ A_1 $ 的坐标为 $ (2,4) $,则点 $ A_{20} $ 的坐标为 (
A.$ (3,-1) $
B.$ (-2,-2) $
C.$ (-3,3) $
D.$ (2,4) $
A
)A.$ (3,-1) $
B.$ (-2,-2) $
C.$ (-3,3) $
D.$ (2,4) $
答案
1. A
解析
【分析】
首先理解伴随点的定义：点$P(x,y)$的伴随点为$P'(-y+1,x+1)$。解题时先根据$A_1$的坐标依次计算出$A_2$、$A_3$、$A_4$、$A_5$的坐标，观察可发现坐标的变化存在周期规律，再用20除以周期长度，根据余数即可确定$A_{20}$对应的坐标。
【解析】
已知点$A_1$的坐标为$(2,4)$，根据伴随点的定义依次计算：
1. 计算$A_2$：将$A_1(2,4)$代入伴随点公式，横坐标为$-4+1=-3$，纵坐标为$2+1=3$，故$A_2(-3,3)$；
2. 计算$A_3$：将$A_2(-3,3)$代入公式，横坐标为$-3+1=-2$，纵坐标为$-3+1=-2$，故$A_3(-2,-2)$；
3. 计算$A_4$：将$A_3(-2,-2)$代入公式，横坐标为$-(-2)+1=3$，纵坐标为$-2+1=-1$，故$A_4(3,-1)$；
4. 计算$A_5$：将$A_4(3,-1)$代入公式，横坐标为$-(-1)+1=2$，纵坐标为$3+1=4$，故$A_5(2,4)$，和$A_1$坐标相同。
由此可得坐标每4个为一个循环周期，周期顺序为$A_1→A_2→A_3→A_4→A_1$……
计算$20÷4=5$，无余数，说明$A_{20}$和周期内第4个点$A_4$的坐标相同，即$A_{20}(3,-1)$。
【答案】
A
【知识点】
新定义运算，点的坐标变换，周期规律探究
【点评】
本题属于新定义与规律探究结合的题型，核心是准确理解新定义的运算规则，通过列举前几个点的坐标归纳出周期规律，再利用周期求解目标点坐标，考查学生的运算能力和归纳总结能力。
【难度系数】
0.7
首先理解伴随点的定义：点$P(x,y)$的伴随点为$P'(-y+1,x+1)$。解题时先根据$A_1$的坐标依次计算出$A_2$、$A_3$、$A_4$、$A_5$的坐标，观察可发现坐标的变化存在周期规律，再用20除以周期长度，根据余数即可确定$A_{20}$对应的坐标。
【解析】
已知点$A_1$的坐标为$(2,4)$，根据伴随点的定义依次计算：
1. 计算$A_2$：将$A_1(2,4)$代入伴随点公式，横坐标为$-4+1=-3$，纵坐标为$2+1=3$，故$A_2(-3,3)$；
2. 计算$A_3$：将$A_2(-3,3)$代入公式，横坐标为$-3+1=-2$，纵坐标为$-3+1=-2$，故$A_3(-2,-2)$；
3. 计算$A_4$：将$A_3(-2,-2)$代入公式，横坐标为$-(-2)+1=3$，纵坐标为$-2+1=-1$，故$A_4(3,-1)$；
4. 计算$A_5$：将$A_4(3,-1)$代入公式，横坐标为$-(-1)+1=2$，纵坐标为$3+1=4$，故$A_5(2,4)$，和$A_1$坐标相同。
由此可得坐标每4个为一个循环周期，周期顺序为$A_1→A_2→A_3→A_4→A_1$……
计算$20÷4=5$，无余数，说明$A_{20}$和周期内第4个点$A_4$的坐标相同，即$A_{20}(3,-1)$。
【答案】
A
【知识点】
新定义运算，点的坐标变换，周期规律探究
【点评】
本题属于新定义与规律探究结合的题型，核心是准确理解新定义的运算规则，通过列举前几个点的坐标归纳出周期规律，再利用周期求解目标点坐标，考查学生的运算能力和归纳总结能力。
【难度系数】
0.7
2. 如图,以球桌的相邻两边为轴建立平面直角坐标系,小球起始时位于$(3,0)$处,沿箭头所示的方向击球,小球运动的轨迹如图所示.当小球第55次碰到球桌边时,小球的位置是 (
A.$(0,3)$
B.$(3,0)$
C.$(7,4)$
D.$(8,3)$
A
)A.$(0,3)$
B.$(3,0)$
C.$(7,4)$
D.$(8,3)$
答案
2. A
解析
【分析】
这是坐标系中的规律探究类问题，解题思路如下：首先明确击球起点不算碰撞次数，先按照小球的运动轨迹，依次写出前几次碰到球桌边的坐标；其次观察坐标的变化规律，找到循环周期；最后用总碰撞次数除以周期得到余数，对应周期内的位置就能得到所求坐标。
【解析】
首先逐次记录小球碰到球桌边的坐标：
第1次碰到桌边：$\boldsymbol{(0,3)}$
第2次碰到桌边：$\boldsymbol{(1,4)}$
第3次碰到桌边：$\boldsymbol{(5,0)}$
第4次碰到桌边：$\boldsymbol{(7,4)}$
第5次碰到桌边：$\boldsymbol{(8,3)}$
第6次碰到桌边：$\boldsymbol{(3,0)}$（回到击球起点）
第7次碰到桌边：$(0,3)$，和第1次坐标完全一致，可知碰撞坐标的循环周期为$\boldsymbol{6}$。
计算55除以周期6的商和余数：$55÷6=9······1$，即经过9个完整循环后，第55次碰撞对应周期内第1次碰撞的坐标，为$(0,3)$。
【答案】
A
【知识点】
平面直角坐标系点的坐标，周期规律探究，坐标变化规律
【点评】
本题核心是通过枚举前几次碰撞坐标找到循环周期，解题时要注意不要将击球起点计入碰撞次数，只要细心观察坐标变化就能顺利求解。
【难度系数】
0.65
这是坐标系中的规律探究类问题，解题思路如下：首先明确击球起点不算碰撞次数，先按照小球的运动轨迹，依次写出前几次碰到球桌边的坐标；其次观察坐标的变化规律，找到循环周期；最后用总碰撞次数除以周期得到余数，对应周期内的位置就能得到所求坐标。
【解析】
首先逐次记录小球碰到球桌边的坐标：
第1次碰到桌边：$\boldsymbol{(0,3)}$
第2次碰到桌边：$\boldsymbol{(1,4)}$
第3次碰到桌边：$\boldsymbol{(5,0)}$
第4次碰到桌边：$\boldsymbol{(7,4)}$
第5次碰到桌边：$\boldsymbol{(8,3)}$
第6次碰到桌边：$\boldsymbol{(3,0)}$（回到击球起点）
第7次碰到桌边：$(0,3)$，和第1次坐标完全一致，可知碰撞坐标的循环周期为$\boldsymbol{6}$。
计算55除以周期6的商和余数：$55÷6=9······1$，即经过9个完整循环后，第55次碰撞对应周期内第1次碰撞的坐标，为$(0,3)$。
【答案】
A
【知识点】
平面直角坐标系点的坐标，周期规律探究，坐标变化规律
【点评】
本题核心是通过枚举前几次碰撞坐标找到循环周期，解题时要注意不要将击球起点计入碰撞次数，只要细心观察坐标变化就能顺利求解。
【难度系数】
0.65
3. 如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆$O_1,O_2,O_3,\dots$组成一条平滑的曲线.点$P$从原点$O$出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒$\frac{π}{2}$个单位长度，则第2026秒时，点$P$的坐标是
(2 026,0)
.答案
3. (2 026,0)
解析
【分析】
解题时首先明确点P的运动路径是半径为1的连续半圆，第一步先计算单个半圆的弧长，结合运动速度算出走完一个半圆需要的时间，得到运动的周期规律；第二步观察不同时间点P的坐标特征，总结横坐标、纵坐标随时间的变化规律；最后将2026秒代入规律即可求出对应坐标。
【解析】
解：已知每个半圆的半径$r=1$，
1. 计算单个半圆的弧长：半圆的弧长是整圆周长的一半，整圆周长为$2π r$，因此半圆弧长$l=\frac{1}{2}×2π r=π×1=π$。
2. 计算走完一个半圆的时间：已知点P运动速度为每秒$\frac{π}{2}$个单位长度，由$时间=路程÷速度$，得走一个半圆的时间$t=π÷\frac{π}{2}=2$秒，即每2秒点P走完1个半圆，横坐标增加2。
3. 总结坐标规律：
当运动时间为偶数秒（$t=2k$，k为正整数）时，点P刚好走完k个半圆，落在x轴上，坐标为$(2k,0)$；
当运动时间为奇数秒时，点P在对应半圆的最高点或最低点，纵坐标为1或-1。
4. 代入$t=2026$计算：2026是偶数，$2026=2×1013$，符合偶数秒的规律，此时横坐标为2026，纵坐标为0。
【答案】
$(2026,0)$
【知识点】
弧长计算，规律探究，平面直角坐标系
【点评】
本题是典型的坐标系规律探究题，解题核心是先确定点P的运动周期，再通过观察归纳坐标的变化规律，侧重考查学生的观察和归纳能力，掌握规律后计算难度较低。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确点P的运动路径是半径为1的连续半圆，第一步先计算单个半圆的弧长，结合运动速度算出走完一个半圆需要的时间，得到运动的周期规律；第二步观察不同时间点P的坐标特征，总结横坐标、纵坐标随时间的变化规律；最后将2026秒代入规律即可求出对应坐标。
【解析】
解：已知每个半圆的半径$r=1$，
1. 计算单个半圆的弧长：半圆的弧长是整圆周长的一半，整圆周长为$2π r$，因此半圆弧长$l=\frac{1}{2}×2π r=π×1=π$。
2. 计算走完一个半圆的时间：已知点P运动速度为每秒$\frac{π}{2}$个单位长度，由$时间=路程÷速度$，得走一个半圆的时间$t=π÷\frac{π}{2}=2$秒，即每2秒点P走完1个半圆，横坐标增加2。
3. 总结坐标规律：
当运动时间为偶数秒（$t=2k$，k为正整数）时，点P刚好走完k个半圆，落在x轴上，坐标为$(2k,0)$；
当运动时间为奇数秒时，点P在对应半圆的最高点或最低点，纵坐标为1或-1。
4. 代入$t=2026$计算：2026是偶数，$2026=2×1013$，符合偶数秒的规律，此时横坐标为2026，纵坐标为0。
【答案】
$(2026,0)$
【知识点】
弧长计算，规律探究，平面直角坐标系
【点评】
本题是典型的坐标系规律探究题，解题核心是先确定点P的运动周期，再通过观察归纳坐标的变化规律，侧重考查学生的观察和归纳能力，掌握规律后计算难度较低。
【难度系数】
0.7
4.如图,在平面直角坐标系中,有若干个整数点,并按图中箭头方向排列,即$(1,0),(2,0),(2,1),(3,2),(3,1),(3,0),\dots$.根据规律探索
可得,第31个点的坐标为
可得,第31个点的坐标为
(8,2)
.答案
4. (8,2)
解析
【分析】
解题时先观察点的排列规律：横坐标为$k$的点共有$k$个，前$k$个横坐标对应的总点数为前$k$个正整数的和；再看纵坐标的排列规则：横坐标为奇数时，纵坐标从$k-1$递减到0，横坐标为偶数时，纵坐标从0递增到$k-1$。先通过求和公式找到接近31的总点数，确定目标点的横坐标，再根据横坐标的奇偶性推导纵坐标即可。
【解析】
1. 总结规律：横坐标为$k$时，对应$k$个点，前$k$组点的总个数为$S_k=1+2+3+\dots+k=\frac{k(k+1)}{2}$。
2. 确定第31个点的横坐标：
当$k=7$时，$S_7=\frac{7×8}{2}=28$，即前7组共28个点，第28个点是横坐标为7的最后一个点。
因为7是奇数，横坐标为奇数时纵坐标从高到低排列，所以第28个点坐标为$(7,0)$。
3. 推导第31个点的纵坐标：
第28个点之后的点横坐标为8，8是偶数，纵坐标从0开始递增：
第29个点：$(8,0)$，第30个点：$(8,1)$，第31个点：$(8,2)$。
【答案】
$(8,2)$
【知识点】
平面直角坐标系点坐标，规律探究，等差数列求和
【点评】
本题是坐标系规律探究的典型题型，核心是先分组梳理横、纵坐标的排列规则，再结合数列求和定位目标点的位置，对观察归纳能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题时先观察点的排列规律：横坐标为$k$的点共有$k$个，前$k$个横坐标对应的总点数为前$k$个正整数的和；再看纵坐标的排列规则：横坐标为奇数时，纵坐标从$k-1$递减到0，横坐标为偶数时，纵坐标从0递增到$k-1$。先通过求和公式找到接近31的总点数，确定目标点的横坐标，再根据横坐标的奇偶性推导纵坐标即可。
【解析】
1. 总结规律：横坐标为$k$时，对应$k$个点，前$k$组点的总个数为$S_k=1+2+3+\dots+k=\frac{k(k+1)}{2}$。
2. 确定第31个点的横坐标：
当$k=7$时，$S_7=\frac{7×8}{2}=28$，即前7组共28个点，第28个点是横坐标为7的最后一个点。
因为7是奇数，横坐标为奇数时纵坐标从高到低排列，所以第28个点坐标为$(7,0)$。
3. 推导第31个点的纵坐标：
第28个点之后的点横坐标为8，8是偶数，纵坐标从0开始递增：
第29个点：$(8,0)$，第30个点：$(8,1)$，第31个点：$(8,2)$。
【答案】
$(8,2)$
【知识点】
平面直角坐标系点坐标，规律探究，等差数列求和
【点评】
本题是坐标系规律探究的典型题型，核心是先分组梳理横、纵坐标的排列规则，再结合数列求和定位目标点的位置，对观察归纳能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
5. 如图,在平面直角坐标系中,$x$轴负半轴上有一点$A(-1,0)$,点$A$先向上平移1个单位长度至点$A_1(-1,1)$,接着又向右平移1个单位长度至点$A_2(0,1)$,然后再向上平移1个单位长度至点$A_3(0,2)$,又向右平移1个单位长度至点$A_4(1,2)$……照此规律平移下去,当点$A$平移至点$A_{2025}$时,点$A_{2025}$的坐标为
(1 011,1 013)
.答案
5. (1 011,1 013)
解析
【分析】
要解决这个问题，我们首先从已知的点坐标入手，观察平移的规律：每次平移要么向上1个单位，要么向右1个单位，交替进行。由于2025是奇数，我们可以重点列举下标为奇数的点的坐标，总结奇数下标点的横、纵坐标和下标的对应关系，再代入n=2025计算即可得到答案。
【解析】
首先列出已知的奇数下标点的坐标：
$A_1(-1,1)$，$A_3(0,2)$，$A_5(1,3)$，$A_7(2,4)\dots$
设奇数下标为$n=2k-1$（$k$为正整数），观察可得规律：
横坐标为$k-2$，纵坐标为$k$。
因为2025是奇数，令$2k-1=2025$，解得$k=\frac{2025+1}{2}=1013$。
代入规律得：横坐标为$1013-2=1011$，纵坐标为$1013$。
【答案】
$(1011,1013)$
【知识点】
点的平移规律，坐标规律探究
【点评】
本题是坐标系中典型的规律探究类题目，解题核心是通过列举部分点的坐标，分类总结不同下标对应的坐标变化规律，再代入所求序号计算即可，解题时要注意区分奇偶下标对应的规律，避免混淆。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，我们首先从已知的点坐标入手，观察平移的规律：每次平移要么向上1个单位，要么向右1个单位，交替进行。由于2025是奇数，我们可以重点列举下标为奇数的点的坐标，总结奇数下标点的横、纵坐标和下标的对应关系，再代入n=2025计算即可得到答案。
【解析】
首先列出已知的奇数下标点的坐标：
$A_1(-1,1)$，$A_3(0,2)$，$A_5(1,3)$，$A_7(2,4)\dots$
设奇数下标为$n=2k-1$（$k$为正整数），观察可得规律：
横坐标为$k-2$，纵坐标为$k$。
因为2025是奇数，令$2k-1=2025$，解得$k=\frac{2025+1}{2}=1013$。
代入规律得：横坐标为$1013-2=1011$，纵坐标为$1013$。
【答案】
$(1011,1013)$
【知识点】
点的平移规律，坐标规律探究
【点评】
本题是坐标系中典型的规律探究类题目，解题核心是通过列举部分点的坐标，分类总结不同下标对应的坐标变化规律，再代入所求序号计算即可，解题时要注意区分奇偶下标对应的规律，避免混淆。
【难度系数】
0.6
6. 如图,一个粒子在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动,从原点出发,每秒运动1个单位长度,按照这样的规律运动,那么第32秒时,这个粒子所处位置的横、纵坐标之和为
8
。答案
6. 8
解析
【分析】要解决本题，首先观察粒子运动的规律，先确定横纵坐标相等的点$(n,n)$对应的运动时间：可归纳出点$(n,n)$对应的运动时间为$n(n+1)$秒；再明确到达$(n,n)$后的运动方向：n为奇数时，粒子向左运动（横坐标每秒减1，纵坐标不变），n为偶数时，粒子向下运动（纵坐标每秒减1，横坐标不变）。先找到32秒前最近的横纵坐标相等的点对应的时间，再根据剩余运动时长计算32秒时的位置，最后求横纵坐标之和即可。
【解析】
1. 归纳特殊点的时间规律：
观察粒子运动路径，可得当粒子运动到点$(n,n)$时，所用时间为$n(n+1)$秒：
当$n=5$时，对应时间为$5×6=30$秒，即第30秒时粒子处于$(5,5)$的位置。
2. 计算32秒时的位置：
因为$n=5$是奇数，粒子到达$(5,5)$后向左运动，每秒横坐标减少1，纵坐标保持5不变。
32秒与30秒的时间差为$32-30=2$秒，所以横坐标减少2，变为$5-2=3$，纵坐标仍为5，即第32秒时粒子位置为$(3,5)$。
3. 计算横纵坐标之和：
$3+5=8$。
【答案】8
【知识点】平面直角坐标系；点的坐标；规律探究
【点评】本题是坐标系中的规律探究类问题，核心是通过观察运动路径归纳特殊点的时间规律和运动方向，再结合时间差推导目标位置，能有效锻炼学生的观察归纳和逻辑推理能力。
【难度系数】0.6
【解析】
1. 归纳特殊点的时间规律：
观察粒子运动路径，可得当粒子运动到点$(n,n)$时，所用时间为$n(n+1)$秒：
当$n=5$时，对应时间为$5×6=30$秒，即第30秒时粒子处于$(5,5)$的位置。
2. 计算32秒时的位置：
因为$n=5$是奇数，粒子到达$(5,5)$后向左运动，每秒横坐标减少1，纵坐标保持5不变。
32秒与30秒的时间差为$32-30=2$秒，所以横坐标减少2，变为$5-2=3$，纵坐标仍为5，即第32秒时粒子位置为$(3,5)$。
3. 计算横纵坐标之和：
$3+5=8$。
【答案】8
【知识点】平面直角坐标系；点的坐标；规律探究
【点评】本题是坐标系中的规律探究类问题，核心是通过观察运动路径归纳特殊点的时间规律和运动方向，再结合时间差推导目标位置，能有效锻炼学生的观察归纳和逻辑推理能力。
【难度系数】0.6
7. 观察下列有序数对：$(3,-1),(-5,\frac{1}{2}),(7,-\frac{1}{3}),(-9,\frac{1}{4}),···$,根据你发现的规律，第19个有序数对应该是
$(39,-\dfrac{1}{19})$
。答案
7. $(39,-\dfrac{1}{19})$
解析
【分析】
解决这类有序数对的规律问题，我们可以将横坐标和纵坐标拆分后分别探究规律：先分别找出第n个有序数对的横坐标、纵坐标和序号n的对应关系，再把n=19代入对应的表达式计算即可。首先观察横坐标的绝对值、符号和n的联系，再观察纵坐标的绝对值、符号和n的联系，最后合并得到第19个数对。
【解析】
我们分别探究横坐标、纵坐标的规律：
1. 横坐标的规律：
给出的横坐标依次为$3,-5,7,-9\dots$
①绝对值部分：第1个为$3=2×1+1$，第2个为$5=2×2+1$，第3个为$7=2×3+1$，第4个为$9=2×4+1$，可得第n个横坐标的绝对值为$2n+1$；
②符号部分：序号为奇数时横坐标为正，序号为偶数时横坐标为负。
2. 纵坐标的规律：
给出的纵坐标依次为$-1,\frac{1}{2},-\frac{1}{3},\frac{1}{4}\dots$
①绝对值部分：第1个为$\frac{1}{1}$，第2个为$\frac{1}{2}$，第3个为$\frac{1}{3}$，第4个为$\frac{1}{4}$，可得第n个纵坐标的绝对值为$\frac{1}{n}$；
②符号部分：序号为奇数时纵坐标为负，序号为偶数时纵坐标为正。
代入$n=19$计算：
横坐标：19是奇数，符号为正，绝对值$=2×19+1=39$，即横坐标为39；
纵坐标：19是奇数，符号为负，绝对值$=\frac{1}{19}$，即纵坐标为$-\frac{1}{19}$。
【答案】
$(39,-\dfrac{1}{19})$
【知识点】
有序数对，数字规律探究
【点评】
本题是规律探究类的基础题型，核心解题方法是将复合的有序数对拆分为横、纵坐标两个独立部分分别找规律，这种拆分思路在解决多模块的规律问题时普遍适用。
【难度系数】
0.7
解决这类有序数对的规律问题，我们可以将横坐标和纵坐标拆分后分别探究规律：先分别找出第n个有序数对的横坐标、纵坐标和序号n的对应关系，再把n=19代入对应的表达式计算即可。首先观察横坐标的绝对值、符号和n的联系，再观察纵坐标的绝对值、符号和n的联系，最后合并得到第19个数对。
【解析】
我们分别探究横坐标、纵坐标的规律：
1. 横坐标的规律：
给出的横坐标依次为$3,-5,7,-9\dots$
①绝对值部分：第1个为$3=2×1+1$，第2个为$5=2×2+1$，第3个为$7=2×3+1$，第4个为$9=2×4+1$，可得第n个横坐标的绝对值为$2n+1$；
②符号部分：序号为奇数时横坐标为正，序号为偶数时横坐标为负。
2. 纵坐标的规律：
给出的纵坐标依次为$-1,\frac{1}{2},-\frac{1}{3},\frac{1}{4}\dots$
①绝对值部分：第1个为$\frac{1}{1}$，第2个为$\frac{1}{2}$，第3个为$\frac{1}{3}$，第4个为$\frac{1}{4}$，可得第n个纵坐标的绝对值为$\frac{1}{n}$；
②符号部分：序号为奇数时纵坐标为负，序号为偶数时纵坐标为正。
代入$n=19$计算：
横坐标：19是奇数，符号为正，绝对值$=2×19+1=39$，即横坐标为39；
纵坐标：19是奇数，符号为负，绝对值$=\frac{1}{19}$，即纵坐标为$-\frac{1}{19}$。
【答案】
$(39,-\dfrac{1}{19})$
【知识点】
有序数对，数字规律探究
【点评】
本题是规律探究类的基础题型，核心解题方法是将复合的有序数对拆分为横、纵坐标两个独立部分分别找规律，这种拆分思路在解决多模块的规律问题时普遍适用。
【难度系数】
0.7
