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1.在如图所示的平面直角坐标系中，已知三角形ABC的三个顶点的坐标分别是A(-2,1),B(1,-3),C(3,4),求三角形ABC的面积.
答案
$\frac{29}{2}$
解析
【分析】
已知三角形ABC三个顶点的坐标，且三角形的边均不与坐标轴平行，无法直接用底乘高计算面积，因此采用割补法求解：先构造一个边分别平行于x轴、y轴的矩形，将三角形ABC完全包含在内，再用矩形的面积减去矩形内除三角形ABC外的三个直角三角形的面积，即可得到三角形ABC的面积。
【解析】
第一步：构造矩形DEFG，使它的边分别平行于x轴和y轴，四个顶点坐标为D(-2,4)、E(3,4)、F(3,-3)、G(-2,-3)，刚好将△ABC包含在内。
第二步：计算矩形DEFG的面积：
矩形的长为 $ 3 - (-2) = 5 $，宽为 $ 4 - (-3) = 7 $，因此面积 $ S_{\mathrm{矩形}} = 5 × 7 = 35 $。
第三步：分别计算矩形内三个多余直角三角形的面积：
① 对于△ADC：直角边长分别为 $ 4 - 1 = 3 $、$ 3 - (-2) = 5 $，因此 $ S_1 = \frac{1}{2} × 3 × 5 = \frac{15}{2} $；
② 对于△CFB：直角边长分别为 $ 3 - 1 = 2 $、$ 4 - (-3) = 7 $，因此 $ S_2 = \frac{1}{2} × 2 × 7 = 7 $；
③ 对于△AGB：直角边长分别为 $ 1 - (-2) = 3 $、$ 1 - (-3) = 4 $，因此 $ S_3 = \frac{1}{2} × 3 × 4 = 6 $。
第四步：计算△ABC的面积：
$ S_{△ ABC} = S_{\mathrm{矩形}} - S_1 - S_2 - S_3 = 35 - \frac{15}{2} - 7 - 6 = \frac{29}{2} $。
【答案】
$\frac{29}{2}$
【知识点】
割补法求面积；平面直角坐标系应用；三角形面积计算
【点评】
本题是平面直角坐标系中求图形面积的典型题目，通过割补法将无法直接计算的三角形面积转化为规则图形面积的差，简化了计算过程，解题时要注意准确提取各点的坐标值，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
已知三角形ABC三个顶点的坐标，且三角形的边均不与坐标轴平行，无法直接用底乘高计算面积，因此采用割补法求解：先构造一个边分别平行于x轴、y轴的矩形，将三角形ABC完全包含在内，再用矩形的面积减去矩形内除三角形ABC外的三个直角三角形的面积，即可得到三角形ABC的面积。
【解析】
第一步：构造矩形DEFG，使它的边分别平行于x轴和y轴，四个顶点坐标为D(-2,4)、E(3,4)、F(3,-3)、G(-2,-3)，刚好将△ABC包含在内。
第二步：计算矩形DEFG的面积：
矩形的长为 $ 3 - (-2) = 5 $，宽为 $ 4 - (-3) = 7 $，因此面积 $ S_{\mathrm{矩形}} = 5 × 7 = 35 $。
第三步：分别计算矩形内三个多余直角三角形的面积：
① 对于△ADC：直角边长分别为 $ 4 - 1 = 3 $、$ 3 - (-2) = 5 $，因此 $ S_1 = \frac{1}{2} × 3 × 5 = \frac{15}{2} $；
② 对于△CFB：直角边长分别为 $ 3 - 1 = 2 $、$ 4 - (-3) = 7 $，因此 $ S_2 = \frac{1}{2} × 2 × 7 = 7 $；
③ 对于△AGB：直角边长分别为 $ 1 - (-2) = 3 $、$ 1 - (-3) = 4 $，因此 $ S_3 = \frac{1}{2} × 3 × 4 = 6 $。
第四步：计算△ABC的面积：
$ S_{△ ABC} = S_{\mathrm{矩形}} - S_1 - S_2 - S_3 = 35 - \frac{15}{2} - 7 - 6 = \frac{29}{2} $。
【答案】
$\frac{29}{2}$
【知识点】
割补法求面积；平面直角坐标系应用；三角形面积计算
【点评】
本题是平面直角坐标系中求图形面积的典型题目，通过割补法将无法直接计算的三角形面积转化为规则图形面积的差，简化了计算过程，解题时要注意准确提取各点的坐标值，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
2. 如图,在平面直角坐标系中,已知点A(4,0),B(3,2),C(-2,3),D(-3,0),求四边形ABCD的面积.
答案
15
解析
【分析】
四边形ABCD为不规则图形，无法直接套用规则图形面积公式计算，因此选用割补法求解：我们可以通过向x轴作垂线，将四边形分割为2个直角三角形和1个梯形，三个规则图形的面积和就是四边形ABCD的面积。解题时先根据各点坐标求出分割后各规则图形的边长，再分别计算面积求和即可。
【解析】
解：过点C作CE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F。
由各点坐标可得：
$DE = -2 - (-3) = 1$，$CE = 3$，
则$S_{△ CDE}=\frac{1}{2} × DE × CE = \frac{1}{2} × 1 × 3 = 1.5$；
$EF = 3 - (-2) = 5$，$BF = 2$，
则$S_{梯形CEFB}=\frac{1}{2} × (CE + BF) × EF = \frac{1}{2} × (3+2) × 5 = 12.5$；
$AF = 4 - 3 = 1$，
则$S_{△ BFA}=\frac{1}{2} × AF × BF = \frac{1}{2} × 1 × 2 = 1$；
所以四边形ABCD的面积$S = 1.5 + 12.5 + 1 = 15$。
【答案】
15
【知识点】
割补法求面积，坐标与图形性质，三角形和梯形面积计算
【点评】
本题是平面直角坐标系与几何面积计算结合的基础题，解题关键是掌握割补法的核心思想：将不规则图形转化为可直接计算面积的规则图形，再结合坐标确定各线段长度求解，熟练掌握该方法可快速解决同类坐标求面积的问题。
【难度系数】
0.7
四边形ABCD为不规则图形，无法直接套用规则图形面积公式计算，因此选用割补法求解：我们可以通过向x轴作垂线，将四边形分割为2个直角三角形和1个梯形，三个规则图形的面积和就是四边形ABCD的面积。解题时先根据各点坐标求出分割后各规则图形的边长，再分别计算面积求和即可。
【解析】
解：过点C作CE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F。
由各点坐标可得：
$DE = -2 - (-3) = 1$，$CE = 3$，
则$S_{△ CDE}=\frac{1}{2} × DE × CE = \frac{1}{2} × 1 × 3 = 1.5$；
$EF = 3 - (-2) = 5$，$BF = 2$，
则$S_{梯形CEFB}=\frac{1}{2} × (CE + BF) × EF = \frac{1}{2} × (3+2) × 5 = 12.5$；
$AF = 4 - 3 = 1$，
则$S_{△ BFA}=\frac{1}{2} × AF × BF = \frac{1}{2} × 1 × 2 = 1$；
所以四边形ABCD的面积$S = 1.5 + 12.5 + 1 = 15$。
【答案】
15
【知识点】
割补法求面积，坐标与图形性质，三角形和梯形面积计算
【点评】
本题是平面直角坐标系与几何面积计算结合的基础题，解题关键是掌握割补法的核心思想：将不规则图形转化为可直接计算面积的规则图形，再结合坐标确定各线段长度求解，熟练掌握该方法可快速解决同类坐标求面积的问题。
【难度系数】
0.7
1.如图,在平面直角坐标系中,已知点A(4,4),B(1,3),C(3,3),D(3,1),求图中阴影部分(四边形ABCD)的面积.
答案
2
解析
【分析】
所求阴影部分是不规则四边形，无法直接用面积公式计算，可结合各点坐标特征采用割补法求解：观察发现点B、C纵坐标相同，点C、D横坐标相同，因此可将四边形沿AC分割为△ABC和△ACD两个规则三角形，分别计算两个三角形的面积后相加，即可得到阴影部分的总面积。
【解析】
解：采用分割法将四边形ABCD分为△ABC和△ACD两部分计算面积：
1. 计算△ABC的面积：
∵ B(1,3)，C(3,3)，两点纵坐标相等，
∴ 线段BC为水平线段，长度$BC=3-1=2$，
BC所在直线为$y=3$，点A(4,4)到直线BC的垂直距离$h_1=4-3=1$，
由三角形面积公式得：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × BC × h_1=\frac{1}{2} × 2 × 1=1$。
2. 计算△ACD的面积：
∵ C(3,3)，D(3,1)，两点横坐标相等，
∴ 线段CD为竖直线段，长度$CD=3-1=2$，
CD所在直线为$x=3$，点A(4,4)到直线CD的垂直距离$h_2=4-3=1$，
由三角形面积公式得：$S_{△ ACD}=\frac{1}{2} × CD × h_2=\frac{1}{2} × 2 × 1=1$。
3. 阴影部分总面积：
$S_{阴影}=S_{△ ABC}+S_{△ ACD}=1+1=2$。
【答案】
2
【知识点】
割补法求面积，坐标与图形性质，三角形面积计算
【点评】
本题解题核心是将不规则图形转化为规则的三角形进行计算，结合坐标特征可以快速求出三角形的底和对应高，简化计算过程，是求解坐标系中不规则图形面积的常用思路。
【难度系数】
0.7
所求阴影部分是不规则四边形，无法直接用面积公式计算，可结合各点坐标特征采用割补法求解：观察发现点B、C纵坐标相同，点C、D横坐标相同，因此可将四边形沿AC分割为△ABC和△ACD两个规则三角形，分别计算两个三角形的面积后相加，即可得到阴影部分的总面积。
【解析】
解：采用分割法将四边形ABCD分为△ABC和△ACD两部分计算面积：
1. 计算△ABC的面积：
∵ B(1,3)，C(3,3)，两点纵坐标相等，
∴ 线段BC为水平线段，长度$BC=3-1=2$，
BC所在直线为$y=3$，点A(4,4)到直线BC的垂直距离$h_1=4-3=1$，
由三角形面积公式得：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × BC × h_1=\frac{1}{2} × 2 × 1=1$。
2. 计算△ACD的面积：
∵ C(3,3)，D(3,1)，两点横坐标相等，
∴ 线段CD为竖直线段，长度$CD=3-1=2$，
CD所在直线为$x=3$，点A(4,4)到直线CD的垂直距离$h_2=4-3=1$，
由三角形面积公式得：$S_{△ ACD}=\frac{1}{2} × CD × h_2=\frac{1}{2} × 2 × 1=1$。
3. 阴影部分总面积：
$S_{阴影}=S_{△ ABC}+S_{△ ACD}=1+1=2$。
【答案】
2
【知识点】
割补法求面积，坐标与图形性质，三角形面积计算
【点评】
本题解题核心是将不规则图形转化为规则的三角形进行计算，结合坐标特征可以快速求出三角形的底和对应高，简化计算过程，是求解坐标系中不规则图形面积的常用思路。
【难度系数】
0.7
