14. (★★)一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶100 n mile到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶100 n mile到达C地，则A,C两地相距

【 】

A.100 n mile
B.80 n mile
C.60 n mile
D.40 n mile

A

由题意可知，A、B两处的正北方向线互相平行，因此从B点观测A点的方向为北偏东40°，可得∠ABC=40°+20°=60°。已知AB=100 n mile，BC=100 n mile，即AB=BC，根据“有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形”，可判定△ABC为等边三角形，因此AC=AB=100 n mile。

15. (★★)如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,AF为边BC上的中线,D为AF上的一点,且BD的垂直平分线过点C交BD于点E. 求证:$△ BCD$是等边三角形.

证明：
∵ $AB=AC$，$AF$为边$BC$上的中线，
∴ $AF$垂直平分$BC$（等腰三角形三线合一的性质）。
∵ 点$D$在$AF$上，
∴ $DB=DC$（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
又∵ $CE$是$BD$的垂直平分线，点$C$在$CE$上，
∴ $CB=CD$（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
∴ $DB=DC=CB$，
∴ $△ BCD$是等边三角形。

16. (★★★)如图，O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB = 110°，∠BOC=α，△BOC≌△ADC，连接OD.
(1)求证:△OCD是等边三角形；
(2)当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
(3)探究:当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？

解：
(1) 证明：
∵ △BOC≌△ADC，
∴ OC = DC，∠BCO = ∠ACD。
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠ACB = 60°，即∠BCO + ∠OCA = 60°，
∴ ∠OCD = ∠OCA + ∠ACD = ∠OCA + ∠BCO = ∠ACB = 60°。
又∵ OC = DC，
∴ △OCD是等边三角形。
(2) △AOD是直角三角形，理由如下：
∵ △BOC≌△ADC，
∴ ∠ADC = ∠BOC = 150°。
由(1)知△OCD是等边三角形，
∴ ∠ODC = 60°，
∴ ∠ADO = ∠ADC - ∠ODC = 150° - 60° = 90°，
∴ △AOD是直角三角形。
(3) 由周角的定义得：
∠AOC = 360° - ∠AOB - ∠BOC = 360° - 110° - α = 250° - α。
∵ △OCD是等边三角形，
∴ ∠COD = ∠ODC = 60°，
∴ ∠AOD = ∠AOC - ∠COD = (250° - α) - 60° = 190° - α。
∵ △BOC≌△ADC，
∴ ∠ADC = ∠BOC = α，
∴ ∠ADO = ∠ADC - ∠ODC = α - 60°。
在△AOD中，由三角形内角和为180°得：
∠OAD = 180° - ∠AOD - ∠ADO = 180° - (190° - α) - (α - 60°) = 50°。
△AOD为等腰三角形分三种情况：
① 若AO = AD，则∠AOD = ∠ADO，
即190° - α = α - 60°，
解得α = 125°；
② 若AO = OD，则∠OAD = ∠ADO，
即50° = α - 60°，
解得α = 110°；
③ 若AD = OD，则∠OAD = ∠AOD，
即50° = 190° - α，
解得α = 140°。
综上，当α为110°、125°或140°时，△AOD是等腰三角形。

17.(★★★)已知在等边三角形ABC中,点E在AB上,点D在CB的延长线上,且ED=EC.
(1)如图①,当E为AB的中点时,确定线段AE与DB的大小关系,请你直接写出结论: AE (填“＞”“＜”或“=”)DB.
(2)如图②,当E为边AB上任意一点时,请判断线段AE与DB的大小关系,并说明理由.(提示:过点E作EF//BC,交AC于点F)
(3)如图③,在等边三角形ABC中,点E在直线AB上,点D在线段CB的延长线上,且ED=EC,若△ABC的边长为3,AE=6,求线段CD的长.

(1)
$AE \boldsymbol{=} DB$
---
(2)
解：$AE=DB$，理由如下：
过点$E$作$EF// BC$，交$AC$于点$F$。
$\because △ ABC$是等边三角形，
$\therefore ∠ A=∠ ABC=∠ ACB=60°$。
$\because EF// BC$，
$\therefore ∠ AEF=∠ ABC=60°$，$∠ AFE=∠ ACB=60°$，
$\therefore △ AEF$是等边三角形，
$\therefore AE=EF=AF$，且$BE=CF$。
$\because ED=EC$，
$\therefore ∠ D=∠ ECD$。
$\because ∠ D+∠ DEB=∠ ABC=60°$，$∠ ECD+∠ ECF=∠ ACB=60°$，
$\therefore ∠ DEB=∠ ECF$。
在$△ EBD$和$△ CFE$中：
$\begin{cases}∠ DEB=∠ ECF \\∠ EBD=∠ CFE=120° \\ED=EC\end{cases}$
$\therefore △ EBD≌△ CFE(\mathrm{AAS})$，
$\therefore BD=EF$，
又$\because AE=EF$，
$\therefore AE=BD$。
---
(3)
解：过点$E$作$EF// BC$，交$CA$的延长线于点$F$。
$\because △ ABC$是等边三角形，
$\therefore ∠ BAC=∠ ABC=∠ ACB=60°$。
$\because EF// BC$，
$\therefore ∠ AEF=∠ ABC=60°$，$∠ AFE=∠ ACB=60°$，
$\therefore △ AEF$是等边三角形，
$\therefore AE=EF=AF=6$。
$\therefore ∠ EBD=180°-∠ ABC=120°$，$∠ EFC=180°-∠ AFE=120°$，
$\therefore ∠ EBD=∠ EFC$。
$\because ED=EC$，
$\therefore ∠ D=∠ ECD$。
在$△ EBD$和$△ CFE$中：
$\begin{cases}∠ D=∠ ECF \\∠ EBD=∠ CFE \\ED=EC\end{cases}$
$\therefore △ EBD≌△ CFE(\mathrm{AAS})$，
$\therefore BD=EF=6$。
$\because CD=BD+BC$，$BC=3$，
$\therefore CD=6+3=9$。
答：线段$CD$的长为$9$。