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21. 一个长方形如图所示，
(1)根据图中尺寸大小，用含x的代数式表示阴影部分的面积S；
(2)若$x=3$，求$S$的值.
(1)根据图中尺寸大小，用含x的代数式表示阴影部分的面积S；
(2)若$x=3$，求$S$的值.
答案
21. 解 (1)由图形可知 $S=\dfrac{1}{2}×4×8-\dfrac{1}{2}×(8-4)×(4-x)=16-2(4-x)(\mathrm{cm}^2).$
(2)当 $x=3$ 时，$S=16-2×(4-3)=16-2=14(\mathrm{cm}^2).$
(2)当 $x=3$ 时，$S=16-2×(4-3)=16-2=14(\mathrm{cm}^2).$
解析
【分析】
求解阴影部分面积时，因阴影为不规则图形，优先采用“整体减空白”的思路：第一步先确定包含阴影的大图形面积，本题中大图形是长方形沿对角线分割得到的直角三角形，可直接用三角形面积公式计算；第二步确定空白小直角三角形的边长，用面积公式算出空白面积；第三步用大图形面积减空白面积即可得到含x的阴影面积表达式。第二问只需将x=3代入第一问得到的代数式，按运算顺序计算即可得到S的数值。
【解析】
(1) 由图形可知长方形的长为8、宽为4：
包含阴影的大直角三角形面积为 $\dfrac{1}{2} × 4 × 8 = 16$，
右下角空白小直角三角形的两条直角边分别为$8-4=4$和$4-x$，其面积为 $\dfrac{1}{2} × 4 × (4-x) = 2(4-x)$，
因此阴影部分面积 $S=16-2(4-x)\ (\mathrm{cm}^2)$。
(2) 当$x=3$时，将其代入上述代数式计算：
$S=16 - 2×(4-3) = 16-2×1 = 14\ (\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
(1) $S=16-2(4-x)\ \mathrm{cm}^2$
(2) $14\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
列代数式，代数式求值，割补法求面积
【点评】
本题是代数与几何结合的基础题型，核心是利用割补法将不规则阴影面积转化为规则图形的面积差，再进行代数式的代入计算，解题时需注意准确识别各规则图形的边长，避免列式错误。
【难度系数】
0.7
求解阴影部分面积时，因阴影为不规则图形，优先采用“整体减空白”的思路：第一步先确定包含阴影的大图形面积，本题中大图形是长方形沿对角线分割得到的直角三角形，可直接用三角形面积公式计算；第二步确定空白小直角三角形的边长，用面积公式算出空白面积；第三步用大图形面积减空白面积即可得到含x的阴影面积表达式。第二问只需将x=3代入第一问得到的代数式，按运算顺序计算即可得到S的数值。
【解析】
(1) 由图形可知长方形的长为8、宽为4：
包含阴影的大直角三角形面积为 $\dfrac{1}{2} × 4 × 8 = 16$，
右下角空白小直角三角形的两条直角边分别为$8-4=4$和$4-x$，其面积为 $\dfrac{1}{2} × 4 × (4-x) = 2(4-x)$，
因此阴影部分面积 $S=16-2(4-x)\ (\mathrm{cm}^2)$。
(2) 当$x=3$时，将其代入上述代数式计算：
$S=16 - 2×(4-3) = 16-2×1 = 14\ (\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
(1) $S=16-2(4-x)\ \mathrm{cm}^2$
(2) $14\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
列代数式，代数式求值，割补法求面积
【点评】
本题是代数与几何结合的基础题型，核心是利用割补法将不规则阴影面积转化为规则图形的面积差，再进行代数式的代入计算，解题时需注意准确识别各规则图形的边长，避免列式错误。
【难度系数】
0.7
22. 如图，某学校办公楼前有一长为x m、宽为y m的长方形空地，在中心位置留出一个直径为2b m的圆形区域建一个喷泉，两边是两块长为2b m、宽为a m的长方形休息区，阴影部分为草坪.
(1)用含字母a，b，x，y的代数式表示阴影部分的面积；
(2)当x=8，y=6，a=1，b=2时，阴影部分的面积约是多少？(π取3)
(1)用含字母a，b，x，y的代数式表示阴影部分的面积；
(2)当x=8，y=6，a=1，b=2时，阴影部分的面积约是多少？(π取3)
答案
22. 解 (1)阴影部分的面积为 $xy-π b^2-2×2ab=xy-π b^2-4ab(\mathrm{m}^2).$
(2)当 $x=8$，$y=6$，$a=1$，$b=2$，$π\approx3$ 时，$xy-π b^2-4ab\approx8×6-3×2^2-4×1×2=48-12-8=28(\mathrm{m}^2).$
答：当 $x=8$，$y=6$，$a=1$，$b=2$ 时，阴影部分的面积约是 $28\ \mathrm{m}^2.$
(2)当 $x=8$，$y=6$，$a=1$，$b=2$，$π\approx3$ 时，$xy-π b^2-4ab\approx8×6-3×2^2-4×1×2=48-12-8=28(\mathrm{m}^2).$
答：当 $x=8$，$y=6$，$a=1$，$b=2$ 时，阴影部分的面积约是 $28\ \mathrm{m}^2.$
解析
【分析】
(1) 求不规则阴影部分面积可采用“整体减空白”的思路：先计算长方形空地的总面积，再减去所有空白部分（圆形喷泉、两块长方形休息区）的面积即可。首先回忆各基本图形的面积公式：长方形面积=长×宽，圆的面积=π×半径²，其中圆形喷泉直径为2b，可得半径为b；两块休息区均为长2b、宽a的长方形，分别算出各空白部分面积后，用总面积减去空白面积的和，就能得到阴影面积的代数式。
(2) 第二问为代数式求值问题，将给出的x、y、a、b的取值以及π≈3代入第一问得到的代数式，按照“先乘方、再乘除、最后加减”的运算顺序计算，即可得到阴影部分的具体面积。
【解析】
(1) 长方形空地的面积为：$xy \ \mathrm{m}^2$
圆形喷泉的半径为$2b÷2=b\ \mathrm{m}$，面积为：$π b^2 \ \mathrm{m}^2$
两块长方形休息区的总面积为：$2×(2b· a)=4ab \ \mathrm{m}^2$
因此阴影部分的面积为：$xy-π b^2-4ab \ \mathrm{m}^2$
(2) 把$x=8$，$y=6$，$a=1$，$b=2$，$π\approx3$代入$xy-π b^2-4ab$：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&\approx8×6 - 3×2^2 - 4×1×2\\&=48 - 3×4 - 8\\&=48 - 12 - 8\\&=28 \ (\mathrm{m}^2)\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{xy-π b^2-4ab \ (\mathrm{m}^2)}$
(2) $\boxed{28 \ \mathrm{m}^2}$
【知识点】
1. 列代数式
2. 代数式求值
3. 图形面积计算
【点评】
本题是几何与代数结合的基础考题，解题关键是熟练掌握不规则图形面积的“整体减空白”计算方法，代入求值时要注意运算顺序，避免因计算失误丢分。
【难度系数】
0.8
(1) 求不规则阴影部分面积可采用“整体减空白”的思路：先计算长方形空地的总面积，再减去所有空白部分（圆形喷泉、两块长方形休息区）的面积即可。首先回忆各基本图形的面积公式：长方形面积=长×宽，圆的面积=π×半径²，其中圆形喷泉直径为2b，可得半径为b；两块休息区均为长2b、宽a的长方形，分别算出各空白部分面积后，用总面积减去空白面积的和，就能得到阴影面积的代数式。
(2) 第二问为代数式求值问题，将给出的x、y、a、b的取值以及π≈3代入第一问得到的代数式，按照“先乘方、再乘除、最后加减”的运算顺序计算，即可得到阴影部分的具体面积。
【解析】
(1) 长方形空地的面积为：$xy \ \mathrm{m}^2$
圆形喷泉的半径为$2b÷2=b\ \mathrm{m}$，面积为：$π b^2 \ \mathrm{m}^2$
两块长方形休息区的总面积为：$2×(2b· a)=4ab \ \mathrm{m}^2$
因此阴影部分的面积为：$xy-π b^2-4ab \ \mathrm{m}^2$
(2) 把$x=8$，$y=6$，$a=1$，$b=2$，$π\approx3$代入$xy-π b^2-4ab$：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&\approx8×6 - 3×2^2 - 4×1×2\\&=48 - 3×4 - 8\\&=48 - 12 - 8\\&=28 \ (\mathrm{m}^2)\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{xy-π b^2-4ab \ (\mathrm{m}^2)}$
(2) $\boxed{28 \ \mathrm{m}^2}$
【知识点】
1. 列代数式
2. 代数式求值
3. 图形面积计算
【点评】
本题是几何与代数结合的基础考题，解题关键是熟练掌握不规则图形面积的“整体减空白”计算方法，代入求值时要注意运算顺序，避免因计算失误丢分。
【难度系数】
0.8
