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20. 甲、乙两个长方形的边长如图所示$(m＞0)$，面积分别为$S_{1},S_{2}$.
(1) $S_{1}=$ ______，$S_{2}=$ ______；（用含$m$的代数式表示，结果化为最简形式）
(2) $S_{1}$ ______ $S_{2}$；（填“＞”“＜”或“=”）
(3) 若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和，设该正方形的面积为$S_{3}$，则$S_{3}$与$2(S_{1}+S_{2})$的差是否为定值？若为定值，则求出该值；若不为定值，则说明理由.
(1) $S_{1}=$ ______，$S_{2}=$ ______；（用含$m$的代数式表示，结果化为最简形式）
(2) $S_{1}$ ______ $S_{2}$；（填“＞”“＜”或“=”）
(3) 若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和，设该正方形的面积为$S_{3}$，则$S_{3}$与$2(S_{1}+S_{2})$的差是否为定值？若为定值，则求出该值；若不为定值，则说明理由.
答案
20. 解 （1）$m^2+6m+5$ $m^2+6m+8$
（2）$＜$
（3）正方形的周长为 $2×(m+5+m+1+m+4+m+2)=8m+24$. 所以正方形的边长为 $(8m+24)÷4=2m+6$.
所以 $S_3=(2m+6)^2=4m^2+24m+36$.
所以 $S_3-2(S_1+S_2)=4m^2+24m+36-2×(m^2+6m+5+m^2+6m+8)=4m^2+24m+36-2×(2m^2+12m+13)=10$.
所以 $S_3$ 与 $2(S_1+S_2)$ 的差是定值，定值为 10.
（2）$＜$
（3）正方形的周长为 $2×(m+5+m+1+m+4+m+2)=8m+24$. 所以正方形的边长为 $(8m+24)÷4=2m+6$.
所以 $S_3=(2m+6)^2=4m^2+24m+36$.
所以 $S_3-2(S_1+S_2)=4m^2+24m+36-2×(m^2+6m+5+m^2+6m+8)=4m^2+24m+36-2×(2m^2+12m+13)=10$.
所以 $S_3$ 与 $2(S_1+S_2)$ 的差是定值，定值为 10.
21. 某数学兴趣小组利用“等面积法”分别构造了两种图形验证“平方差公式”，如图所示.
（1）探究：以下两种图形能够验证平方差公式的是
（2）应用：利用“平方差公式”计算$1949^2 - 1948×1950$；
（3）拓展：运用平方差公式计算$(2+1)×(2^2 +1)×(2^4 +1)×(2^8 +1)×\dots×(2^{1024} +1)+1$.
（1）探究：以下两种图形能够验证平方差公式的是
①
（填序号）；（2）应用：利用“平方差公式”计算$1949^2 - 1948×1950$；
（3）拓展：运用平方差公式计算$(2+1)×(2^2 +1)×(2^4 +1)×(2^8 +1)×\dots×(2^{1024} +1)+1$.
答案
21. 解 （1）①
（2）$1\ 949^2 - 1\ 948×1\ 950 = 1\ 949^2 -(1\ 949-1)×(1\ 949+1)=1\ 949^2 -(1\ 949^2 -1)=1\ 949^2 -1\ 949^2 +1=1$.
（3）原式$=(2-1)×(2+1)×(2^2 +1)×(2^4 +1)×(2^8 +1)×\dots×(2^{1\ 024} +1)+1=(2^2-1)×(2^2+1)×(2^4+1)×(2^8+1)×\dots×(2^{1\ 024}+1)+1=(2^4-1)×(2^4+1)×(2^8+1)×\dots×(2^{1\ 024}+1)+1=\dots=2^{2\ 048}-1+1=2^{2\ 048}$.
（2）$1\ 949^2 - 1\ 948×1\ 950 = 1\ 949^2 -(1\ 949-1)×(1\ 949+1)=1\ 949^2 -(1\ 949^2 -1)=1\ 949^2 -1\ 949^2 +1=1$.
（3）原式$=(2-1)×(2+1)×(2^2 +1)×(2^4 +1)×(2^8 +1)×\dots×(2^{1\ 024} +1)+1=(2^2-1)×(2^2+1)×(2^4+1)×(2^8+1)×\dots×(2^{1\ 024}+1)+1=(2^4-1)×(2^4+1)×(2^8+1)×\dots×(2^{1\ 024}+1)+1=\dots=2^{2\ 048}-1+1=2^{2\ 048}$.
