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9.若点$A(a,b)$在反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象上，则代数式$ab-4$的值为
-2
。答案
9. -2
解析
【分析】
遇到点在函数图象上的问题时，核心思路是：函数图象上的点的横、纵坐标一定满足该函数的解析式。因此我们可以先将点A的坐标代入反比例函数解析式，推导出a与b的乘积的值，再将其代入待求代数式即可算出结果。
【解析】
∵点$A(a,b)$在反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象上，
∴将$x=a$，$y=b$代入$y=\frac{2}{x}$，可得$b=\frac{2}{a}$，
等式两边同乘$a$（$a≠0$，符合反比例函数自变量取值要求），得$ab=2$，
将$ab=2$代入代数式$ab-4$，可得：
$ab-4=2-4=-2$。
【答案】
-2
【知识点】
1. 反比例函数图象上点的坐标特征
2. 代数式求值
【点评】
本题是反比例函数的基础常考题，核心考察对“函数图象上的点坐标满足函数解析式”这一基本性质的理解，解题步骤简单，没有计算难度，熟练掌握该性质即可快速得分。
【难度系数】
0.9
遇到点在函数图象上的问题时，核心思路是：函数图象上的点的横、纵坐标一定满足该函数的解析式。因此我们可以先将点A的坐标代入反比例函数解析式，推导出a与b的乘积的值，再将其代入待求代数式即可算出结果。
【解析】
∵点$A(a,b)$在反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象上，
∴将$x=a$，$y=b$代入$y=\frac{2}{x}$，可得$b=\frac{2}{a}$，
等式两边同乘$a$（$a≠0$，符合反比例函数自变量取值要求），得$ab=2$，
将$ab=2$代入代数式$ab-4$，可得：
$ab-4=2-4=-2$。
【答案】
-2
【知识点】
1. 反比例函数图象上点的坐标特征
2. 代数式求值
【点评】
本题是反比例函数的基础常考题，核心考察对“函数图象上的点坐标满足函数解析式”这一基本性质的理解，解题步骤简单，没有计算难度，熟练掌握该性质即可快速得分。
【难度系数】
0.9
10. 如图，$A(\sqrt{3}a,a)$是反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象与圆O的一个交点，图中阴影部分的面积为$4π$，则反比例函数的解析式为 （
A.$y=\frac{2}{x}$
B.$y=\frac{2\sqrt{3}}{x}$
C.$y=\frac{4}{x}$
D.$y=\frac{4\sqrt{3}}{x}$
D
）A.$y=\frac{2}{x}$
B.$y=\frac{2\sqrt{3}}{x}$
C.$y=\frac{4}{x}$
D.$y=\frac{4\sqrt{3}}{x}$
答案
10. D
解析
【分析】
解题时先利用反比例函数和圆的中心对称性、轴对称性，通过割补法将不规则的阴影部分面积转化为规则的四分之一圆的面积，先求出圆的半径；再结合点A在圆上，利用勾股定理求出参数a的值，最后将点A坐标代入反比例函数解析式求出k值，即可得到反比例函数的解析式。
【解析】
1. 转化阴影面积：
∵ 反比例函数的图象和圆O均关于原点中心对称，也关于坐标轴对称，
∴ 左下角的阴影部分可以和右上角圆内、双曲线外的空白部分完全重合，即阴影部分的总面积等于四分之一圆的面积。
已知阴影面积为$4π$，设圆O的半径为$r$，则：
$\frac{1}{4}π r^2 = 4π$
解得$r^2=16$，即$r=4$，也就是$OA=4$。
2. 求参数$a$的值：
∵ 点$A(\sqrt{3}a,a)$在圆O上，OA为半径，根据勾股定理：
$OA^2 = (\sqrt{3}a)^2 + a^2 = 3a^2 + a^2 = 4a^2$
又
∵ $OA^2 = r^2=16$，
∴ $4a^2=16$，解得$a^2=4$。
3. 求反比例函数解析式：
将点$A(\sqrt{3}a,a)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$k=xy=\sqrt{3}a · a = \sqrt{3}a^2$，
把$a^2=4$代入得$k=\sqrt{3} × 4=4\sqrt{3}$，
∴ 反比例函数的解析式为$y=\frac{4\sqrt{3}}{x}$。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的性质，圆的对称性，待定系数法求函数解析式
【点评】
本题是函数与几何的综合题，解题的核心是利用对称性将不规则阴影面积转化为规则图形面积，再结合勾股定理和待定系数法求解，很好地考查了图形转化思想和知识综合应用能力。
【难度系数】
0.6
解题时先利用反比例函数和圆的中心对称性、轴对称性，通过割补法将不规则的阴影部分面积转化为规则的四分之一圆的面积，先求出圆的半径；再结合点A在圆上，利用勾股定理求出参数a的值，最后将点A坐标代入反比例函数解析式求出k值，即可得到反比例函数的解析式。
【解析】
1. 转化阴影面积：
∵ 反比例函数的图象和圆O均关于原点中心对称，也关于坐标轴对称，
∴ 左下角的阴影部分可以和右上角圆内、双曲线外的空白部分完全重合，即阴影部分的总面积等于四分之一圆的面积。
已知阴影面积为$4π$，设圆O的半径为$r$，则：
$\frac{1}{4}π r^2 = 4π$
解得$r^2=16$，即$r=4$，也就是$OA=4$。
2. 求参数$a$的值：
∵ 点$A(\sqrt{3}a,a)$在圆O上，OA为半径，根据勾股定理：
$OA^2 = (\sqrt{3}a)^2 + a^2 = 3a^2 + a^2 = 4a^2$
又
∵ $OA^2 = r^2=16$，
∴ $4a^2=16$，解得$a^2=4$。
3. 求反比例函数解析式：
将点$A(\sqrt{3}a,a)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$k=xy=\sqrt{3}a · a = \sqrt{3}a^2$，
把$a^2=4$代入得$k=\sqrt{3} × 4=4\sqrt{3}$，
∴ 反比例函数的解析式为$y=\frac{4\sqrt{3}}{x}$。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的性质，圆的对称性，待定系数法求函数解析式
【点评】
本题是函数与几何的综合题，解题的核心是利用对称性将不规则阴影面积转化为规则图形面积，再结合勾股定理和待定系数法求解，很好地考查了图形转化思想和知识综合应用能力。
【难度系数】
0.6
11. 如图，函数$y=-x$与函数$y=-\dfrac{4}{x}$的图象相交于A，B两点，分别过A，B两点作y轴的垂线，垂足分别为点C，D. 则四边形ACBD的面积为（
A.2
B.4
C.6
D.8
D
）A.2
B.4
C.6
D.8
答案
11. D
解析
【分析】
解题时首先需要求出两个函数图象的交点A、B的坐标，可通过联立两个函数的解析式解方程组得到；再根据“过点作y轴垂线，垂足的横坐标为0，纵坐标与该点纵坐标相等”得到C、D两点的坐标；最后将四边形ACBD的面积拆分为以CD为公共底的△ACD和△BCD的面积之和，分别计算两个三角形的面积再相加即可得到结果。
【解析】
1. 求交点A、B的坐标：
联立两个函数的解析式得方程组：
$\begin{cases}y=-x \\ y=-\dfrac{4}{x}\end{cases}$
将$y=-x$代入$y=-\dfrac{4}{x}$，得：$-x=-\dfrac{4}{x}$，整理得$x^2=4$，解得$x_1=2$，$x_2=-2$。
当$x=-2$时，$y=2$，即点A坐标为$(-2,2)$；当$x=2$时，$y=-2$，即点B坐标为$(2,-2)$。
2. 求C、D两点的坐标：
∵AC⊥y轴，BD⊥y轴，
∴点C的坐标为$(0,2)$，点D的坐标为$(0,-2)$。
∴线段CD的长度为$2 - (-2)=4$。
3. 计算四边形ACBD的面积：
四边形ACBD的面积可拆分为$△ ACD$和$△ BCD$的面积之和：
$△ ACD$中，底CD=4，高为点A到y轴的水平距离，即$|x_A|=2$，故$S_{△ ACD}=\dfrac{1}{2}×4×2=4$；
$△ BCD$中，底CD=4，高为点B到y轴的水平距离，即$|x_B|=2$，故$S_{△ BCD}=\dfrac{1}{2}×4×2=4$；
∴$S_{四边形ACBD}=4+4=8$。
【答案】
D
【知识点】
函数交点求解；坐标与图形性质；割补法求面积
【点评】
本题结合一次函数与反比例函数的性质考查图形面积计算，解题关键是通过联立方程得到关键点坐标，再通过割补法将不规则四边形转化为规则图形求解，方法灵活度较高。
【难度系数】
0.7
解题时首先需要求出两个函数图象的交点A、B的坐标，可通过联立两个函数的解析式解方程组得到；再根据“过点作y轴垂线，垂足的横坐标为0，纵坐标与该点纵坐标相等”得到C、D两点的坐标；最后将四边形ACBD的面积拆分为以CD为公共底的△ACD和△BCD的面积之和，分别计算两个三角形的面积再相加即可得到结果。
【解析】
1. 求交点A、B的坐标：
联立两个函数的解析式得方程组：
$\begin{cases}y=-x \\ y=-\dfrac{4}{x}\end{cases}$
将$y=-x$代入$y=-\dfrac{4}{x}$，得：$-x=-\dfrac{4}{x}$，整理得$x^2=4$，解得$x_1=2$，$x_2=-2$。
当$x=-2$时，$y=2$，即点A坐标为$(-2,2)$；当$x=2$时，$y=-2$，即点B坐标为$(2,-2)$。
2. 求C、D两点的坐标：
∵AC⊥y轴，BD⊥y轴，
∴点C的坐标为$(0,2)$，点D的坐标为$(0,-2)$。
∴线段CD的长度为$2 - (-2)=4$。
3. 计算四边形ACBD的面积：
四边形ACBD的面积可拆分为$△ ACD$和$△ BCD$的面积之和：
$△ ACD$中，底CD=4，高为点A到y轴的水平距离，即$|x_A|=2$，故$S_{△ ACD}=\dfrac{1}{2}×4×2=4$；
$△ BCD$中，底CD=4，高为点B到y轴的水平距离，即$|x_B|=2$，故$S_{△ BCD}=\dfrac{1}{2}×4×2=4$；
∴$S_{四边形ACBD}=4+4=8$。
【答案】
D
【知识点】
函数交点求解；坐标与图形性质；割补法求面积
【点评】
本题结合一次函数与反比例函数的性质考查图形面积计算，解题关键是通过联立方程得到关键点坐标，再通过割补法将不规则四边形转化为规则图形求解，方法灵活度较高。
【难度系数】
0.7
12. 为了预防冬季流感，某校对教室采用药薰消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量$ y $（单位：毫克）与时间$ x $（单位：分钟）成正比例，药物燃烧后，$ y $与$ x $成反比例（
），现测药物8分钟燃毕，此时空气中每立方米含药量为10毫克，请根据题中所提供的信息，回答下列问题.
(1)药物燃烧时，$ y $关于$ x $的函数关系式为
(2)研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过几分钟后，学生才能回到教室？
(3)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于2.5毫克且持续时间不低于30分钟时，才能有效地杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？
），现测药物8分钟燃毕，此时空气中每立方米含药量为10毫克，请根据题中所提供的信息，回答下列问题.(1)药物燃烧时，$ y $关于$ x $的函数关系式为
$y=\frac{5}{4}x$
，自变量$ x $的取值范围是$0≤ x≤ 8$
；药物燃烧完后，$ y $与$ x $的函数关系式为$y=\frac{80}{x}$
；自变量$ x $的取值范围是$x≥ 8$
.(2)研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过几分钟后，学生才能回到教室？
(3)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于2.5毫克且持续时间不低于30分钟时，才能有效地杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？
答案
12. (1)$y=\frac{5}{4}x\ \ 0≤ x≤ 8\ \ y=\frac{80}{x}\ \ x≥ 8$
解析:药物燃烧时,设$ y $关于$ x $的函数关系式为$ y = kx $,将$(8,10)$代入,得$ 10 = 8k $,解得$k=\frac{5}{4}$.
$\therefore$ 药物燃烧时,$y$关于$x$的函数关系式为$y=\frac{5}{4}x$,自变量$x$的取值范围是$0≤ x≤ 8$.
设药物燃烧完后,$y$与$x$的函数关系式为$y=\frac{m}{x}$,将$(8,10)$代入,得$10=\frac{m}{8}$,解得$m=80$.
$\therefore$ 药物燃烧完后,$y$与$x$的函数关系式为$y=\frac{80}{x}$,自变量$x$的取值范围是$x≥ 8$.
(2)结合实际,令$y=\frac{80}{x}$中$y≤ 1.6$,得$\frac{80}{x}≤ 1.6$,解得$x≥ 50$.
即从消毒开始,至少需要50分钟后学生才能回到教室.
(3)把$y=2.5$代入$y=\frac{5}{4}x$,得$\frac{5}{4}x=2.5$,解得$x=2$.
把$y=2.5$代入$y=\frac{80}{x}$,得$\frac{80}{x}=2.5$,解得$x=32$.
$\because\ \ 32-2=30$,
$\therefore$ 这次消毒有效.
解析:药物燃烧时,设$ y $关于$ x $的函数关系式为$ y = kx $,将$(8,10)$代入,得$ 10 = 8k $,解得$k=\frac{5}{4}$.
$\therefore$ 药物燃烧时,$y$关于$x$的函数关系式为$y=\frac{5}{4}x$,自变量$x$的取值范围是$0≤ x≤ 8$.
设药物燃烧完后,$y$与$x$的函数关系式为$y=\frac{m}{x}$,将$(8,10)$代入,得$10=\frac{m}{8}$,解得$m=80$.
$\therefore$ 药物燃烧完后,$y$与$x$的函数关系式为$y=\frac{80}{x}$,自变量$x$的取值范围是$x≥ 8$.
(2)结合实际,令$y=\frac{80}{x}$中$y≤ 1.6$,得$\frac{80}{x}≤ 1.6$,解得$x≥ 50$.
即从消毒开始,至少需要50分钟后学生才能回到教室.
(3)把$y=2.5$代入$y=\frac{5}{4}x$,得$\frac{5}{4}x=2.5$,解得$x=2$.
把$y=2.5$代入$y=\frac{80}{x}$,得$\frac{80}{x}=2.5$,解得$x=32$.
$\because\ \ 32-2=30$,
$\therefore$ 这次消毒有效.
解析
【分析】
这是一道结合实际场景的分段函数应用题，解题思路清晰可分为三步：1. 明确药物燃烧阶段对应正比例函数、燃烧后阶段对应反比例函数，两个阶段的分界点为(8,10)，用待定系数法代入该点即可求出两段函数的解析式及对应自变量取值范围；2. 第二问寻找含药量低于1.6毫克的时间，此时处于燃烧后的反比例函数阶段，令反比例函数的y≤1.6解不等式即可得到最小x值；3. 第三问计算含药量不低于2.5毫克的持续时长，分别将y=2.5代入两段函数求出对应的两个x值，计算差值后与30分钟比较，即可判断消毒是否有效。
【解析】
(1) ①药物燃烧时，y与x成正比例，设函数关系式为$y=kx(k≠0)$，将点$(8,10)$代入得：$10=8k$，解得$k=\frac{5}{4}$，因此燃烧时函数关系式为$y=\frac{5}{4}x$，结合燃烧过程的时间范围，自变量$x$的取值范围是$0≤x≤8$；
②药物燃烧完后，y与x成反比例，设函数关系式为$y=\frac{m}{x}(m≠0)$，将点$(8,10)$代入得：$10=\frac{m}{8}$，解得$m=80$，因此燃烧后函数关系式为$y=\frac{80}{x}$，此时自变量$x$的取值范围是$x≥8$。
(2) 药物燃烧后y随x增大而减小，因此令$y=\frac{80}{x}$中$y≤1.6$，可得$\frac{80}{x}≤1.6$，由于$x＞0$，两边同乘$x$不等号方向不变得：$80≤1.6x$，解得$x≥50$，即至少需要经过50分钟学生才能回到教室。
(3) 先求含药量为2.5毫克时对应的两个时间点：
将$y=2.5$代入燃烧时的函数$y=\frac{5}{4}x$，得$2.5=\frac{5}{4}x$，解得$x=2$；
将$y=2.5$代入燃烧后的函数$y=\frac{80}{x}$，得$2.5=\frac{80}{x}$，解得$x=32$；
含药量不低于2.5毫克的持续时间为$32-2=30$分钟，刚好满足不低于30分钟的杀菌要求，因此此次消毒有效。
【答案】
(1) $y=\frac{5}{4}x$；$0≤ x≤8$；$y=\frac{80}{x}$；$x≥8$
(2) 至少需要经过50分钟后学生才能回到教室
(3) 此次消毒有效，因为含药量不低于2.5毫克的持续时间为30分钟，满足杀菌要求
【知识点】
待定系数法求解析式，反比例函数应用，分段函数求解
【点评】
本题结合生活中的消毒场景考查函数的实际应用，解题核心是明确不同阶段对应的函数类型，利用分界点坐标求出两段函数的解析式，再结合函数性质求解实际问题，贴近生活场景，能有效考查学生运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
这是一道结合实际场景的分段函数应用题，解题思路清晰可分为三步：1. 明确药物燃烧阶段对应正比例函数、燃烧后阶段对应反比例函数，两个阶段的分界点为(8,10)，用待定系数法代入该点即可求出两段函数的解析式及对应自变量取值范围；2. 第二问寻找含药量低于1.6毫克的时间，此时处于燃烧后的反比例函数阶段，令反比例函数的y≤1.6解不等式即可得到最小x值；3. 第三问计算含药量不低于2.5毫克的持续时长，分别将y=2.5代入两段函数求出对应的两个x值，计算差值后与30分钟比较，即可判断消毒是否有效。
【解析】
(1) ①药物燃烧时，y与x成正比例，设函数关系式为$y=kx(k≠0)$，将点$(8,10)$代入得：$10=8k$，解得$k=\frac{5}{4}$，因此燃烧时函数关系式为$y=\frac{5}{4}x$，结合燃烧过程的时间范围，自变量$x$的取值范围是$0≤x≤8$；
②药物燃烧完后，y与x成反比例，设函数关系式为$y=\frac{m}{x}(m≠0)$，将点$(8,10)$代入得：$10=\frac{m}{8}$，解得$m=80$，因此燃烧后函数关系式为$y=\frac{80}{x}$，此时自变量$x$的取值范围是$x≥8$。
(2) 药物燃烧后y随x增大而减小，因此令$y=\frac{80}{x}$中$y≤1.6$，可得$\frac{80}{x}≤1.6$，由于$x＞0$，两边同乘$x$不等号方向不变得：$80≤1.6x$，解得$x≥50$，即至少需要经过50分钟学生才能回到教室。
(3) 先求含药量为2.5毫克时对应的两个时间点：
将$y=2.5$代入燃烧时的函数$y=\frac{5}{4}x$，得$2.5=\frac{5}{4}x$，解得$x=2$；
将$y=2.5$代入燃烧后的函数$y=\frac{80}{x}$，得$2.5=\frac{80}{x}$，解得$x=32$；
含药量不低于2.5毫克的持续时间为$32-2=30$分钟，刚好满足不低于30分钟的杀菌要求，因此此次消毒有效。
【答案】
(1) $y=\frac{5}{4}x$；$0≤ x≤8$；$y=\frac{80}{x}$；$x≥8$
(2) 至少需要经过50分钟后学生才能回到教室
(3) 此次消毒有效，因为含药量不低于2.5毫克的持续时间为30分钟，满足杀菌要求
【知识点】
待定系数法求解析式，反比例函数应用，分段函数求解
【点评】
本题结合生活中的消毒场景考查函数的实际应用，解题核心是明确不同阶段对应的函数类型，利用分界点坐标求出两段函数的解析式，再结合函数性质求解实际问题，贴近生活场景，能有效考查学生运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
