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用关系式表示下列问题中变量之间的关系.
[要求化成 $ y = ax^2 + bx + c $（$ a $，$ b $，$ c $ 是常数）的形式]
(1)正方体的棱长是 $ x $，表面积是 $ y $，则 $ y $ 与 $ x $ 之间的关系式为
(2)半径为 $ x $ 的圆与面积为5的矩形的面积之和为 $ y $，则 $ y $ 与 $ x $ 之间的关系式为
(3)$ n $ 边形的对角线条数 $ d $ 与边数 $ n $ 之间的关系式为
(4)某产品年产量为30台，计划今后每年产量的增长率为 $ x $，则两年后的年产量 $ y $ 与 $ x $ 之间的关系式为
探究：以上所得函数关系式右边都是
新知生成：一般地，形如
[要求化成 $ y = ax^2 + bx + c $（$ a $，$ b $，$ c $ 是常数）的形式]
(1)正方体的棱长是 $ x $，表面积是 $ y $，则 $ y $ 与 $ x $ 之间的关系式为
$y=6x^2$
；(2)半径为 $ x $ 的圆与面积为5的矩形的面积之和为 $ y $，则 $ y $ 与 $ x $ 之间的关系式为
$y=π x^2 + 5$
；(3)$ n $ 边形的对角线条数 $ d $ 与边数 $ n $ 之间的关系式为
$d=\frac{1}{2}n^2-\frac{3}{2}n$
；(4)某产品年产量为30台，计划今后每年产量的增长率为 $ x $，则两年后的年产量 $ y $ 与 $ x $ 之间的关系式为
$y=30x^2+60x+30$
.探究：以上所得函数关系式右边都是
整
式，且均含有关于自变量的 二次
项，这些二次项的系数都 不为0
.新知生成：一般地，形如
$y=ax^2+bx+c$
（$ a $，$ b $，$ c $ 是常数，$ a ≠ 0 $）的函数，叫作二次函数.其中 $x$
是自变量，$a,b,c$
分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.答案
(1) $y=6x^2$
(2) $y=π x^2 + 5$
(3) $d=\frac{1}{2}n^2-\frac{3}{2}n$
(4) $y=30x^2+60x+30$
探究：以上所得函数关系式右边都是整式，且均含有关于自变量的二次项，这些二次项的系数都不为0。
新知生成：一般地，形如$y=ax^2+bx+c$（$a$，$b$，$c$是常数，$a≠0$）的函数，叫作二次函数.其中$x$是自变量，$a,b,c$分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。
(2) $y=π x^2 + 5$
(3) $d=\frac{1}{2}n^2-\frac{3}{2}n$
(4) $y=30x^2+60x+30$
探究：以上所得函数关系式右边都是整式，且均含有关于自变量的二次项，这些二次项的系数都不为0。
新知生成：一般地，形如$y=ax^2+bx+c$（$a$，$b$，$c$是常数，$a≠0$）的函数，叫作二次函数.其中$x$是自变量，$a,b,c$分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。
解析
【分析】
本题需要先结合不同场景的数量关系列出变量间的关系式，再化简为指定的$y=ax^2+bx+c$形式，最后通过观察式子特征归纳二次函数的定义。解题时可按小问逐个推导：①正方体表面积是6个正方形面的面积和，直接计算即可；②总面积为圆面积加矩形固定面积，代入圆面积公式即可；③利用n边形对角线的计数规律，列式后展开化简；④增长率问题按“现产量=原产量×(1+增长率)ⁿ（n为增长年数）”列式展开。最后观察所得4个式子的共同特征，对应填写探究和新知生成的内容即可。
【解析】
(1) 正方体有6个面积相等的面，每个面的面积为$x^2$，因此表面积$y=6× x^2$，整理得$y=6x^2$。
(2) 半径为$x$的圆的面积为$π x^2$，加上固定的矩形面积5，可得总面积$y=π x^2 + 5$。
(3) $n$边形每个顶点可连接$(n-3)$条对角线，共$n$个顶点，且每条对角线会被重复计算1次，因此对角线条数$d=\frac{1}{2}n(n-3)$，展开化简得$d=\frac{1}{2}n^2 - \frac{3}{2}n$。
(4) 一年后产量为$30(1+x)$，两年后产量是在第一年基础上再增长$x$，即$y=30(1+x)^2$，展开得$y=30(x^2+2x+1)=30x^2+60x+30$。
探究部分：观察上述4个关系式，右边均为整式，都含有自变量的二次项，且二次项的系数分别为6、$π$、$\frac{1}{2}$、30，全部不为0。
新知生成部分：根据二次函数的定义，一般地，形如$y=ax^2+bx+c$（$a,b,c$是常数，$a≠0$）的函数叫作二次函数，其中$x$是自变量，$a、b、c$分别对应二次项系数、一次项系数和常数项。
【答案】
(1) $y=6x^2$
(2) $y=π x^2 + 5$
(3) $d=\frac{1}{2}n^2-\frac{3}{2}n$
(4) $y=30x^2+60x+30$
探究：整式；二次；不为0
新知生成：$y=ax^2+bx+c$；$x$；$a、b、c$
【知识点】
列实际问题函数关系式、整式化简、二次函数的概念
【点评】
本题依托几何和生活实际场景，引导学生逐步推导函数关系式，自主归纳二次函数的核心特征，既锻炼了学生将实际问题转化为数学模型的能力，也能加深对二次函数定义的理解，是二次函数入门的典型基础题。
【难度系数】
0.8
本题需要先结合不同场景的数量关系列出变量间的关系式，再化简为指定的$y=ax^2+bx+c$形式，最后通过观察式子特征归纳二次函数的定义。解题时可按小问逐个推导：①正方体表面积是6个正方形面的面积和，直接计算即可；②总面积为圆面积加矩形固定面积，代入圆面积公式即可；③利用n边形对角线的计数规律，列式后展开化简；④增长率问题按“现产量=原产量×(1+增长率)ⁿ（n为增长年数）”列式展开。最后观察所得4个式子的共同特征，对应填写探究和新知生成的内容即可。
【解析】
(1) 正方体有6个面积相等的面，每个面的面积为$x^2$，因此表面积$y=6× x^2$，整理得$y=6x^2$。
(2) 半径为$x$的圆的面积为$π x^2$，加上固定的矩形面积5，可得总面积$y=π x^2 + 5$。
(3) $n$边形每个顶点可连接$(n-3)$条对角线，共$n$个顶点，且每条对角线会被重复计算1次，因此对角线条数$d=\frac{1}{2}n(n-3)$，展开化简得$d=\frac{1}{2}n^2 - \frac{3}{2}n$。
(4) 一年后产量为$30(1+x)$，两年后产量是在第一年基础上再增长$x$，即$y=30(1+x)^2$，展开得$y=30(x^2+2x+1)=30x^2+60x+30$。
探究部分：观察上述4个关系式，右边均为整式，都含有自变量的二次项，且二次项的系数分别为6、$π$、$\frac{1}{2}$、30，全部不为0。
新知生成部分：根据二次函数的定义，一般地，形如$y=ax^2+bx+c$（$a,b,c$是常数，$a≠0$）的函数叫作二次函数，其中$x$是自变量，$a、b、c$分别对应二次项系数、一次项系数和常数项。
【答案】
(1) $y=6x^2$
(2) $y=π x^2 + 5$
(3) $d=\frac{1}{2}n^2-\frac{3}{2}n$
(4) $y=30x^2+60x+30$
探究：整式；二次；不为0
新知生成：$y=ax^2+bx+c$；$x$；$a、b、c$
【知识点】
列实际问题函数关系式、整式化简、二次函数的概念
【点评】
本题依托几何和生活实际场景，引导学生逐步推导函数关系式，自主归纳二次函数的核心特征，既锻炼了学生将实际问题转化为数学模型的能力，也能加深对二次函数定义的理解，是二次函数入门的典型基础题。
【难度系数】
0.8
1. 下列函数中，是二次函数的是 （
A.$y=2x+2$
B.$y=x^2+\frac{2}{x}$
C.$y=(x-2)(x+2)$
D.$y=x(x^2-2)$
C
）A.$y=2x+2$
B.$y=x^2+\frac{2}{x}$
C.$y=(x-2)(x+2)$
D.$y=x(x^2-2)$
答案
1.C
解析
【分析】
要判断一个函数是否为二次函数，首先要牢记二次函数的判定标准：①函数表达式的右边是整式；②化简后自变量的最高次数为2；③二次项的系数不为0。解题时我们先明确上述判定标准，再逐个化简每个选项的表达式，对照标准逐一排查即可得出正确答案。
【解析】
二次函数的定义为：形如$y=ax^2+bx+c$（$a$、$b$、$c$为常数，且$a≠0$）的函数叫做二次函数，我们逐个分析选项：
选项A：$y=2x+2$中自变量$x$的最高次数是1，属于一次函数，不符合二次函数定义，排除；
选项B：$y=x^2+\frac{2}{x}$中含有分式$\frac{2}{x}$，表达式不是整式，不符合二次函数的要求，排除；
选项C：先化简表达式：$y=(x-2)(x+2)=x^2-4$，符合$y=ax^2+bx+c$的形式，且$a=1≠0$，自变量最高次数为2，属于二次函数，符合要求；
选项D：先化简表达式：$y=x(x^2-2)=x^3-2x$，自变量$x$的最高次数是3，属于三次函数，不符合二次函数定义，排除。
【答案】
C
【知识点】
1.二次函数的定义 2.整式的概念 3.多项式的次数
【点评】
本题考查二次函数的基础判定，解题时不能仅看表达式的表面形式，要先将表达式化简为最简形式，再结合二次函数的三个判定条件逐一判断，尤其要注意表达式必须为整式这一前提。
【难度系数】
0.8
要判断一个函数是否为二次函数，首先要牢记二次函数的判定标准：①函数表达式的右边是整式；②化简后自变量的最高次数为2；③二次项的系数不为0。解题时我们先明确上述判定标准，再逐个化简每个选项的表达式，对照标准逐一排查即可得出正确答案。
【解析】
二次函数的定义为：形如$y=ax^2+bx+c$（$a$、$b$、$c$为常数，且$a≠0$）的函数叫做二次函数，我们逐个分析选项：
选项A：$y=2x+2$中自变量$x$的最高次数是1，属于一次函数，不符合二次函数定义，排除；
选项B：$y=x^2+\frac{2}{x}$中含有分式$\frac{2}{x}$，表达式不是整式，不符合二次函数的要求，排除；
选项C：先化简表达式：$y=(x-2)(x+2)=x^2-4$，符合$y=ax^2+bx+c$的形式，且$a=1≠0$，自变量最高次数为2，属于二次函数，符合要求；
选项D：先化简表达式：$y=x(x^2-2)=x^3-2x$，自变量$x$的最高次数是3，属于三次函数，不符合二次函数定义，排除。
【答案】
C
【知识点】
1.二次函数的定义 2.整式的概念 3.多项式的次数
【点评】
本题考查二次函数的基础判定，解题时不能仅看表达式的表面形式，要先将表达式化简为最简形式，再结合二次函数的三个判定条件逐一判断，尤其要注意表达式必须为整式这一前提。
【难度系数】
0.8
2. 将二次函数$y=-2(x-2)^2$化成一般形式，其中二次项系数为
任务二
列出实际问题中的二次函数
解析式
$-2$
，一次项系数为$8$
，常数项为$-8$
。任务二
列出实际问题中的二次函数
解析式
答案
二次项系数为$-2$，一次项系数为$8$，常数项为$-8$
解析
【分析】
解题时首先要明确二次函数的一般形式为$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$，$a$、$b$、$c$分别为二次项系数、一次项系数、常数项），因此需要将给定的顶点式通过整式运算展开化简为一般形式。展开时先利用完全平方公式计算$(x-2)^2$，再乘以系数$-2$，最后合并同类项后对照一般形式即可找到对应系数，运算过程中要注意符号变化，避免出错。
【解析】
首先回忆二次函数的一般形式为$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），对给定的二次函数展开化简：
1. 利用完全平方公式展开$(x-2)^2$：
$(x-2)^2=x^2-4x+4$
2. 将展开式代入原式并去括号：
$y=-2(x^2-4x+4)=-2x^2+8x-8$
3. 对照一般形式$y=ax^2+bx+c$，对应提取各项系数即可。
【答案】
二次项系数为$\boldsymbol{-2}$，一次项系数为$\boldsymbol{8}$，常数项为$\boldsymbol{-8}$
【知识点】
1. 二次函数一般形式
2. 完全平方公式
3. 整式乘法运算
【点评】
本题是二次函数概念的基础考察题，核心是掌握二次函数顶点式向一般式的转化方法，解题的易错点是去括号时的符号运算，熟练掌握整式运算法则即可顺利求解，这类基础运算技能是后续学习二次函数性质的重要前提。
【难度系数】
0.75
解题时首先要明确二次函数的一般形式为$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$，$a$、$b$、$c$分别为二次项系数、一次项系数、常数项），因此需要将给定的顶点式通过整式运算展开化简为一般形式。展开时先利用完全平方公式计算$(x-2)^2$，再乘以系数$-2$，最后合并同类项后对照一般形式即可找到对应系数，运算过程中要注意符号变化，避免出错。
【解析】
首先回忆二次函数的一般形式为$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），对给定的二次函数展开化简：
1. 利用完全平方公式展开$(x-2)^2$：
$(x-2)^2=x^2-4x+4$
2. 将展开式代入原式并去括号：
$y=-2(x^2-4x+4)=-2x^2+8x-8$
3. 对照一般形式$y=ax^2+bx+c$，对应提取各项系数即可。
【答案】
二次项系数为$\boldsymbol{-2}$，一次项系数为$\boldsymbol{8}$，常数项为$\boldsymbol{-8}$
【知识点】
1. 二次函数一般形式
2. 完全平方公式
3. 整式乘法运算
【点评】
本题是二次函数概念的基础考察题，核心是掌握二次函数顶点式向一般式的转化方法，解题的易错点是去括号时的符号运算，熟练掌握整式运算法则即可顺利求解，这类基础运算技能是后续学习二次函数性质的重要前提。
【难度系数】
0.75
阅读材料，完成下列探究.
某超市购进一种单价为40元的篮球.如果以50元的价格出售，那么每月可售出500个.根据销售经验，售价每提高1元，销售量相应减少10个.如果超市将篮球售价定为x元(x＞50)，每月销售这种篮球所获利润为y元.
探究1:求y关于x的函数解析式.
探究2:超市计划下月销售这种篮球所获利润为8000元.如果要吸引更多的顾客，那么这种篮球的售价应定为多少元?
归纳总结
即时测评
某超市购进一种单价为40元的篮球.如果以50元的价格出售，那么每月可售出500个.根据销售经验，售价每提高1元，销售量相应减少10个.如果超市将篮球售价定为x元(x＞50)，每月销售这种篮球所获利润为y元.
探究1:求y关于x的函数解析式.
探究2:超市计划下月销售这种篮球所获利润为8000元.如果要吸引更多的顾客，那么这种篮球的售价应定为多少元?
归纳总结
即时测评
答案
探究1 解：$y=(x-40)[500-10(x-50)]=-10x^2+1400x-40000(50＜x＜100)$。
探究2 解：根据题意，得$-10x^2+1400x-40000=8000$。化简，得$x^2-140x+4800=0$，解得$x_1=60$，$x_2=80$。
∵要吸引更多的顾客，
∴售价应定为60元。
探究2 解：根据题意，得$-10x^2+1400x-40000=8000$。化简，得$x^2-140x+4800=0$，解得$x_1=60$，$x_2=80$。
∵要吸引更多的顾客，
∴售价应定为60元。
解析
【分析】
探究1解题思路：首先明确销售问题的核心等量关系：总利润=单个商品利润×销售数量。单个利润为售价减进价，即(x-40)元；再分析销量：售价从50元涨到x元，共上涨(x-50)元，每涨1元销量减少10个，因此销量共减少10(x-50)个，实际销量为[500-10(x-50)]个，将单个利润与销量相乘即可得到函数解析式，最后结合销量为正的实际要求确定自变量取值范围。
探究2解题思路：已知利润为8000元，将y=8000代入探究1的解析式得到一元二次方程，求解得到两个售价解后，结合“吸引更多顾客需要售价更低”的实际需求，选择数值更小的解即可。
【解析】
探究1
单个篮球的利润为$(x-40)$元，
售价上涨$(x-50)$元，因此每月销售量为$500-10(x-50)$个，
根据总利润公式列式：
$\begin{aligned}y&=(x-40)[500-10(x-50)]\\&=(x-40)(1000-10x)\\&=-10x^2+1400x-40000\end{aligned}$
由销量大于0可得$500-10(x-50)＞0$，解得$x＜100$，结合题设$x＞50$，得自变量取值范围为$50＜x＜100$。
探究2
令$y=8000$，代入解析式得：
$-10x^2+1400x-40000=8000$
化简得：$x^2-140x+4800=0$
因式分解得$(x-60)(x-80)=0$，解得$x_1=60$，$x_2=80$。
因为要吸引更多顾客，需选择更低的售价，因此取$x=60$。
【答案】
探究1：$\boldsymbol{y=-10x^2+1400x-40000(50＜x＜100)}$
探究2：这种篮球的售价应定为$\boldsymbol{60}$元。
【知识点】
1. 销售利润计算
2. 二次函数解析式列写
3. 一元二次方程求解
【点评】
本题是二次函数在销售场景中的典型基础应用题，核心考察利润等量关系的运用，同时需要结合实际需求对方程的解进行筛选，解题时要注意自变量的实际取值范围，避免出现不符合现实逻辑的结果。
【难度系数】
0.7
探究1解题思路：首先明确销售问题的核心等量关系：总利润=单个商品利润×销售数量。单个利润为售价减进价，即(x-40)元；再分析销量：售价从50元涨到x元，共上涨(x-50)元，每涨1元销量减少10个，因此销量共减少10(x-50)个，实际销量为[500-10(x-50)]个，将单个利润与销量相乘即可得到函数解析式，最后结合销量为正的实际要求确定自变量取值范围。
探究2解题思路：已知利润为8000元，将y=8000代入探究1的解析式得到一元二次方程，求解得到两个售价解后，结合“吸引更多顾客需要售价更低”的实际需求，选择数值更小的解即可。
【解析】
探究1
单个篮球的利润为$(x-40)$元，
售价上涨$(x-50)$元，因此每月销售量为$500-10(x-50)$个，
根据总利润公式列式：
$\begin{aligned}y&=(x-40)[500-10(x-50)]\\&=(x-40)(1000-10x)\\&=-10x^2+1400x-40000\end{aligned}$
由销量大于0可得$500-10(x-50)＞0$，解得$x＜100$，结合题设$x＞50$，得自变量取值范围为$50＜x＜100$。
探究2
令$y=8000$，代入解析式得：
$-10x^2+1400x-40000=8000$
化简得：$x^2-140x+4800=0$
因式分解得$(x-60)(x-80)=0$，解得$x_1=60$，$x_2=80$。
因为要吸引更多顾客，需选择更低的售价，因此取$x=60$。
【答案】
探究1：$\boldsymbol{y=-10x^2+1400x-40000(50＜x＜100)}$
探究2：这种篮球的售价应定为$\boldsymbol{60}$元。
【知识点】
1. 销售利润计算
2. 二次函数解析式列写
3. 一元二次方程求解
【点评】
本题是二次函数在销售场景中的典型基础应用题，核心考察利润等量关系的运用，同时需要结合实际需求对方程的解进行筛选，解题时要注意自变量的实际取值范围，避免出现不符合现实逻辑的结果。
【难度系数】
0.7
