已知以下三个二次方程恰有一个公共解：
①$ax^2 + bx + c = 0$；
②$bx^2 + cx + a = 0$；
③$cx^2 + ax + b = 0$。
(1)求这三个方程的公共解；

(1)这三个方程的公共解为$x=1$.
(2)原式$=3$.

【分析】
(1) 求三个方程的公共解时，可先设公共解为$x=α$，将其分别代入三个方程，再把得到的三个等式相加，对左边因式分解，结合二次项系数不为0的隐含条件和实数范围内代数式的取值特点推导公共解；
(2) 由第一问结论可得$a+b+c=0$，再利用立方和相关的因式分解公式变形$a^3+b^3+c^3$，代入所求分式化简即可得到结果，注意要保证分母$abc≠0$。
【解析】
(1) 设三个方程的公共解为$x=α$，将$x=α$分别代入方程①②③，可得：
$\begin{cases} aα^2 + bα + c = 0 \\ bα^2 + cα + a = 0 \\ cα^2 + aα + b = 0 \end{cases}$
将三个等式左右两边分别相加，得：
$(a+b+c)α^2 + (a+b+c)α + (a+b+c) = 0$
提取公因式后变形为：$(a+b+c)(α^2 + α + 1) = 0$
对于代数式$α^2 + α + 1$，其判别式$\Delta = 1^2 - 4×1×1 = -3 ＜ 0$，因此在实数范围内$α^2 + α + 1 ≠ 0$，因此可得$a + b + c = 0$。
将$x=1$代入三个方程，左边均为$a×1^2 + b×1 + c = a+b+c=0$，满足所有方程，因此三个方程的公共解为$x=1$。
(2) 由(1)可知$a + b + c = 0$，根据因式分解公式：
$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$
将$a+b+c=0$代入上式，得$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 0$，即$a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$。
因为三个方程都是二次方程，因此$a≠0、b≠0、c≠0$，即$abc≠0$，因此：
$\frac{a^3 + b^3 + c^3}{abc} = \frac{3abc}{abc} = 3$
【答案】
(1) 公共解为$\boldsymbol{x=1}$；(2) 式子的值为$\boldsymbol{3}$
【知识点】
一元二次方程的解、因式分解的应用、代数式化简
【点评】
本题解题的核心是通过设公共解代入方程相加得到$a+b+c=0$的关系，再结合因式分解公式完成代数式求值，解题过程中要注意二次方程二次项系数不为0的隐含条件，避免忽略分母不为0的要求。
【难度系数】
0.65

活动2 神奇的线段分割
下面是小陈同学的学习笔记，请认真阅读，并完成相应任务.
白银分割比
[学习背景]黄金分割比被称为比例之王，在艺术创作和建筑设计上有很多例子. 不过，事实上黄金分割符合的是西方美学，而东方美学更钟爱于白银分割.
[概念理解]如图1，C，D是线段AB上的点（点C在点D左侧），将线段AB分成三部分，$AC=BD＞CD$，且$\frac{AC}{AB}=\frac{CD}{AC}$，则称点C，D为线段AB的白银分割点，即线段AB被点C，D白银分割，$\frac{AC}{AB}$的值叫作白银分割比.

[提出问题]白银分割比是多少呢？
[问题解决]若$AB=1$，求线段$AC$的长.
解：设$AC=x$，则$BD=x$，$CD=1-2x$.
根据概念，得$AC^2=AB·CD$.
$x^2=1-2x$.
移项，得$x^2+2x-1=0$.（依据）
……
任务：
(1)[问题解决]中的依据是；
(2)补全[问题解决]的过程；
(3)如图2，已知线段AB，请用尺规作图法求作线段AB的白银分割点C，D.（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

(1)等式的基本性质
(2)$\because a=1，b=2，c=-1$，
$\therefore \Delta =b^2-4ac=8＞0.$
$\therefore x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-2\pm2\sqrt{2}}{2}=-1\pm\sqrt{2}.$
$\therefore x_1=\sqrt{2}-1，x_2=-\sqrt{2}-1(舍去).$
$\therefore$线段$AC$的长为$\sqrt{2}-1.$
(3)以点$B$为圆心，$AB$的长为半径作弧，交$AB$的延长线于点$M$；分别以点$A$，$M$为圆心，大于$\frac{1}{2}AM$的长为半径作弧，两弧相交于点$H$，$K$，过点$H$，$K$作直线，以点$B$为圆心，$AB$的长为半径作弧，交直线$HK$于点$E$，则$AB=BE$，连接$AE$.以点$A$为圆心，$AB$的长为半径作弧，交$AE$于点$F$，则$EF=(\sqrt{2}-1)AB$，以点$A$为圆心，$EF$的长为半径作弧，交$AB$于点$C$，以点$B$为圆心，$EF$的长为半径作弧，交$AB$于点$D$.

【分析】
(1) 观察方程变形过程，将等号右侧的$1-2x$移到左侧得到$x^2+2x-1=0$，该变形的依据是等式两边同时加或减同一个整式，等式仍然成立，即等式的基本性质。
(2) 要求$AC$的长，需解一元二次方程$x^2+2x-1=0$，可使用公式法求解：先计算判别式判断根的情况，再代入求根公式得到两根，结合线段长度为正的实际意义舍去负根即可。
(3) 由(2)可知$AC=(\sqrt{2}-1)AB$，首先构造长度为$\sqrt{2}AB$的线段：作$AB$的垂线构造等腰直角三角形，得到斜边长为$\sqrt{2}AB$，减去$AB$的长度即可得到$(\sqrt{2}-1)AB$，最后以此长度为半径，分别以$A$、$B$为端点向$AB$内部截线段，即可得到$C$、$D$点。
【解析】
(1) 方程$x^2=1-2x$移项得到$x^2+2x-1=0$，是依据等式的基本性质：等式两边同时加上$(2x-1)$，等式仍然成立。
(2) 用公式法解一元二次方程$x^2+2x-1=0$：
先确定二次项系数$a=1$，一次项系数$b=2$，常数项$c=-1$，
计算判别式：$\Delta =b^2-4ac=2^2-4×1×(-1)=8＞0$，说明方程有两个不相等的实数根，
代入求根公式得：$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-2\pm2\sqrt{2}}{2}=-1\pm\sqrt{2}$，
由于线段$AC$长度为正数，故负根$x=-1-\sqrt{2}$不符合实际，舍去，
因此$AC=\sqrt{2}-1$。
(3) 按照构造$(\sqrt{2}-1)AB$长度的思路作图：先延长$AB$到$M$使$BM=AB$，作$AM$的垂直平分线过点$B$，在垂直平分线上截取$BE=AB$，连接$AE$得到$AE=\sqrt{2}AB$，在$AE$上截取$AF=AB$得$EF=(\sqrt{2}-1)AB$，最后分别以$A$、$B$为圆心，$EF$长为半径作弧交$AB$于$C$、$D$即可。
【答案】
(1) 等式的基本性质
(2) $\because a=1，b=2，c=-1$，
$\therefore \Delta =b^2-4ac=8＞0.$
$\therefore x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-2\pm2\sqrt{2}}{2}=-1\pm\sqrt{2}.$
$\therefore x_1=\sqrt{2}-1，x_2=-\sqrt{2}-1(舍去).$
$\therefore$线段$AC$的长为$\sqrt{2}-1.$
(3) 以点$B$为圆心，$AB$的长为半径作弧，交$AB$的延长线于点$M$；分别以点$A$，$M$为圆心，大于$\frac{1}{2}AM$的长为半径作弧，两弧相交于点$H$，$K$，过点$H$，$K$作直线，以点$B$为圆心，$AB$的长为半径作弧，交直线$HK$于点$E$，则$AB=BE$，连接$AE$.以点$A$为圆心，$AB$的长为半径作弧，交$AE$于点$F$，则$EF=(\sqrt{2}-1)AB$，以点$A$为圆心，$EF$的长为半径作弧，交$AB$于点$C$，以点$B$为圆心，$EF$的长为半径作弧，交$AB$于点$D$.

【知识点】
等式的性质，一元二次方程的解法，尺规作图
【点评】
本题以新定义“白银分割”为载体，既考查了基础概念的理解应用能力，也考查了一元二次方程求解能力和尺规作图的动手操作能力，有助于提升学生的知识迁移能力和阅读理解能力。
【难度系数】
0.7