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如图，要在空地上用40 m长的竹篱笆围出一个矩形园地. 矩形的一边利用教学楼长为25 m的外墙，其余三边用竹篱笆围成. 设矩形垂直于墙的一边为x m，面积为y m². y关于x的函数解析式为
$y=-2x^2+40x$
，自变量x的取值范围是$7.5≤ x＜20$
.答案
$y=-2x^2+40x$，自变量x的取值范围是$7.5≤ x＜20$
解析
【分析】
要得到y关于x的函数解析式，首先根据竹篱笆的总长表示出矩形平行于墙的边长，再结合矩形面积=长×宽列出表达式即可；求自变量x的取值范围时，需结合实际意义考虑两个限制条件：一是平行于墙的边长不能超过教学楼外墙长度25m，二是矩形的边长必须为正数，据此列不等式求解即可。
【解析】
已知矩形垂直于墙的边长为x m，由于三边竹篱笆总长为40m，因此平行于墙的边长为$(40-2x)$m。
根据矩形面积公式可得：
$y = x(40-2x) = -2x^2 + 40x$
接下来求x的取值范围：
1. 矩形边长为正数，因此平行于墙的边长$40-2x＞0$，解不等式：
$-2x＞-40$，即$x＜20$
2. 平行于墙的边长不能超过外墙长度25m，因此$40-2x≤25$，解不等式：
$-2x≤-15$，即$x≥7.5$
综合可得x的取值范围为$7.5≤x＜20$。
【答案】
$y=-2x^2+40x$；$7.5≤ x＜20$
【知识点】
二次函数实际应用，不等式求解，矩形面积计算
【点评】
本题是二次函数与实际场景结合的基础题型，解题的核心是正确根据题意表示出矩形的各边长度，同时需要注意实际问题中自变量的取值不仅要使代数式有意义，还要满足题目给出的现实限制条件，避免漏解取值范围。
【难度系数】
0.7
要得到y关于x的函数解析式，首先根据竹篱笆的总长表示出矩形平行于墙的边长，再结合矩形面积=长×宽列出表达式即可；求自变量x的取值范围时，需结合实际意义考虑两个限制条件：一是平行于墙的边长不能超过教学楼外墙长度25m，二是矩形的边长必须为正数，据此列不等式求解即可。
【解析】
已知矩形垂直于墙的边长为x m，由于三边竹篱笆总长为40m，因此平行于墙的边长为$(40-2x)$m。
根据矩形面积公式可得：
$y = x(40-2x) = -2x^2 + 40x$
接下来求x的取值范围：
1. 矩形边长为正数，因此平行于墙的边长$40-2x＞0$，解不等式：
$-2x＞-40$，即$x＜20$
2. 平行于墙的边长不能超过外墙长度25m，因此$40-2x≤25$，解不等式：
$-2x≤-15$，即$x≥7.5$
综合可得x的取值范围为$7.5≤x＜20$。
【答案】
$y=-2x^2+40x$；$7.5≤ x＜20$
【知识点】
二次函数实际应用，不等式求解，矩形面积计算
【点评】
本题是二次函数与实际场景结合的基础题型，解题的核心是正确根据题意表示出矩形的各边长度，同时需要注意实际问题中自变量的取值不仅要使代数式有意义，还要满足题目给出的现实限制条件，避免漏解取值范围。
【难度系数】
0.7
例 如果函数 $y=(k-2)x^{k^2 - 2k + 2} + kx + 1$ 是关于x的二次函数，那么k的值是（
A.1或2
B.0或2
C.2
D.0
D
）A.1或2
B.0或2
C.2
D.0
答案
D
解析
【分析】要判断给定函数是二次函数，需紧扣二次函数的定义核心，需同时满足两个条件：一是自变量x的最高次数为2；二是二次项的系数不能为0。解题时先根据最高次数为2列方程求出k的可能取值，再结合二次项系数不为0的条件排除不符合的取值，最终得到正确的k值。
【解析】
∵函数 $y=(k-2)x^{k^2 - 2k + 2} + kx + 1$ 是关于x的二次函数
∴需同时满足以下两个条件：
1. 自变量x的最高次数为2，即：
$k^2 - 2k + 2 = 2$
移项化简得：$k^2 - 2k = 0$
因式分解得：$k(k-2)=0$
解得：$k=0$ 或 $k=2$
2. 二次项系数不为0，即：
$k-2 ≠ 0$，解得 $k ≠ 2$
综合两个条件，排除$k=2$，因此$k=0$
【答案】D
【知识点】二次函数的定义；一元二次方程的解法
【点评】本题考查二次函数的概念应用，易错点是容易忽略二次项系数不为0的限制条件，仅根据最高次数为2选错答案，解题时需注意两个判定条件要同时满足，逐一验证即可避免失误。
【难度系数】0.6
【解析】
∵函数 $y=(k-2)x^{k^2 - 2k + 2} + kx + 1$ 是关于x的二次函数
∴需同时满足以下两个条件：
1. 自变量x的最高次数为2，即：
$k^2 - 2k + 2 = 2$
移项化简得：$k^2 - 2k = 0$
因式分解得：$k(k-2)=0$
解得：$k=0$ 或 $k=2$
2. 二次项系数不为0，即：
$k-2 ≠ 0$，解得 $k ≠ 2$
综合两个条件，排除$k=2$，因此$k=0$
【答案】D
【知识点】二次函数的定义；一元二次方程的解法
【点评】本题考查二次函数的概念应用，易错点是容易忽略二次项系数不为0的限制条件，仅根据最高次数为2选错答案，解题时需注意两个判定条件要同时满足，逐一验证即可避免失误。
【难度系数】0.6
若函数 $y=(m+1)x^{|m|+1}-5$ 是二次函数，则 $m$ 的值为多少？
答案
$m=1$
解析
【分析】
要解这道题，首先回忆二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a、b、c$是常数，$a≠0$）的函数叫做二次函数，需同时满足两个核心条件：①自变量的最高次数为2；②二次项的系数不为0。我们可以根据这两个条件分别列关于$m$的方程和不等式，求解后取公共解即可得到$m$的值。
【解析】
根据二次函数的定义，可得：
1. 自变量$x$的最高次数为2，即：
$\vert m\vert +1=2$
解绝对值方程得：$\vert m\vert=1$，因此$m=1$或$m=-1$
2. 二次项系数不为0，即：
$m+1≠0$
解得$m≠-1$
结合两个条件，排除$m=-1$，最终得$m=1$。
【答案】
$m=1$
【知识点】
1.二次函数的定义 2.绝对值方程求解 3.一元一次不等式求解
【点评】
本题是二次函数概念的基础考查题，解题关键是明确二次函数需要同时满足最高次次数为2、二次项系数不为0两个要求，易错点是容易忽略二次项系数不为0的限制条件，错误得出$m=±1$的结论。
【难度系数】
0.8
要解这道题，首先回忆二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a、b、c$是常数，$a≠0$）的函数叫做二次函数，需同时满足两个核心条件：①自变量的最高次数为2；②二次项的系数不为0。我们可以根据这两个条件分别列关于$m$的方程和不等式，求解后取公共解即可得到$m$的值。
【解析】
根据二次函数的定义，可得：
1. 自变量$x$的最高次数为2，即：
$\vert m\vert +1=2$
解绝对值方程得：$\vert m\vert=1$，因此$m=1$或$m=-1$
2. 二次项系数不为0，即：
$m+1≠0$
解得$m≠-1$
结合两个条件，排除$m=-1$，最终得$m=1$。
【答案】
$m=1$
【知识点】
1.二次函数的定义 2.绝对值方程求解 3.一元一次不等式求解
【点评】
本题是二次函数概念的基础考查题，解题关键是明确二次函数需要同时满足最高次次数为2、二次项系数不为0两个要求，易错点是容易忽略二次项系数不为0的限制条件，错误得出$m=±1$的结论。
【难度系数】
0.8
归纳总结
根据二次函数的概念求参数值的一般步骤：
(1)根据自变量的最高次项的指数等于2，系数不等于0，列出关于字母参数的方程和不等式；
(2)解方程和不等式，确定最终的字母取值。
课时小结
请根据本课所学，构建知识体系。
二次函数
二次函数的概念
根据实际问题列二次函数解析式
一般步骤
①审题：仔细审题，分析
②列式：根据实际问题中的
③取值：联系实际，确定
根据二次函数的概念求参数值的一般步骤：
(1)根据自变量的最高次项的指数等于2，系数不等于0，列出关于字母参数的方程和不等式；
(2)解方程和不等式，确定最终的字母取值。
课时小结
请根据本课所学，构建知识体系。
二次函数
二次函数的概念
根据实际问题列二次函数解析式
一般步骤
①审题：仔细审题，分析
变量
之间的关系，将文字语言转化为符号语言；②列式：根据实际问题中的
等量
关系，列二次函数解析式，并化成一般形式；③取值：联系实际，确定
自变量
的取值范围答案
①变量 ②等量 ③自变量
解析
【分析】
本题考查根据实际问题列二次函数解析式的步骤，可结合各步骤的核心逻辑推导填空内容：第一步审题的核心是梳理问题中各类变化的量之间的关联，因此需要先明确相关变量的关系；第二步列解析式的核心是找到可列等式的数量依据，即等量关系；第三步要兼顾实际问题的特殊性，避免出现不符合现实意义的取值，因此需要明确自变量的可取值范围。
【解析】
①审题环节首先要梳理问题中涉及的各个变化的量（即变量）之间的对应关系，才能完成文字语言到符号语言的转化，因此第一空填“变量”；
②列二次函数解析式时，需要依托实际问题中的相等数量关系（即等量关系）建立两个变量的等式，再整理为二次函数的一般形式，因此第二空填“等量”；
③实际问题中自变量的取值需要符合现实意义（如长度、时间不能为负，人数为正整数等），因此第三步要确定自变量的取值范围，第三空填“自变量”。
【答案】
①变量 ②等量 ③自变量
【知识点】
列二次函数解析式；自变量取值范围确定；二次函数实际应用
【点评】
本题属于基础概念类题目，主要考查对列二次函数解析式步骤的记忆与理解，理清各步骤的逻辑就能快速作答，是后续解决二次函数实际应用问题的基础。
【难度系数】
0.9
本题考查根据实际问题列二次函数解析式的步骤，可结合各步骤的核心逻辑推导填空内容：第一步审题的核心是梳理问题中各类变化的量之间的关联，因此需要先明确相关变量的关系；第二步列解析式的核心是找到可列等式的数量依据，即等量关系；第三步要兼顾实际问题的特殊性，避免出现不符合现实意义的取值，因此需要明确自变量的可取值范围。
【解析】
①审题环节首先要梳理问题中涉及的各个变化的量（即变量）之间的对应关系，才能完成文字语言到符号语言的转化，因此第一空填“变量”；
②列二次函数解析式时，需要依托实际问题中的相等数量关系（即等量关系）建立两个变量的等式，再整理为二次函数的一般形式，因此第二空填“等量”；
③实际问题中自变量的取值需要符合现实意义（如长度、时间不能为负，人数为正整数等），因此第三步要确定自变量的取值范围，第三空填“自变量”。
【答案】
①变量 ②等量 ③自变量
【知识点】
列二次函数解析式；自变量取值范围确定；二次函数实际应用
【点评】
本题属于基础概念类题目，主要考查对列二次函数解析式步骤的记忆与理解，理清各步骤的逻辑就能快速作答，是后续解决二次函数实际应用问题的基础。
【难度系数】
0.9
