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15.已知直线$l_1 // l_2$，将一块直角三角板ABC(其中$∠ A$是$30°$，$∠ C$是$60°$)按如图所示方式放置。若$∠ 1=84°$，求$∠ 2$的度数。
答案
15. ∠2=66°
解析
【分析】
解题时需要将已知条件、三角板的固定角度和所求角通过几何性质关联起来：首先利用邻补角的性质求出AC与$l_2$相交形成的三角形内角，再结合三角形内角和定理求出$∠ CBD$的度数，接着根据直角三角板的直角属性求出AB与$l_2$的夹角，最后利用平行线的性质即可得到$∠ 2$的度数。
【解析】
设AC与直线$l_2$交于点D。
1. 由平角的定义，$∠ 1$与$∠ CDB$互为邻补角，因此：
$∠ CDB = 180° - ∠ 1 = 180° - 84° = 96°$
2. 在$△ BCD$中，根据三角形内角和为$180°$，已知$∠ C=60°$，因此：
$∠ CBD = 180° - ∠ C - ∠ CDB = 180° - 60° - 96° = 24°$
3. 由直角三角板的性质，$∠ ABC=90°$，因此AB与$l_2$的夹角为：
$∠ ABD = ∠ ABC - ∠ CBD = 90° - 24° = 66°$
4. 因为$l_1 // l_2$，根据“两直线平行，同位角相等”，$∠ 2$与$∠ ABD$是同位角，因此：
$∠ 2 = ∠ ABD = 66°$
【答案】
$∠ 2=66°$
【知识点】
平行线的性质；三角形内角和定理；邻补角的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，解题关键是明确各角的位置关系，通过合理的角度转化，将已知条件和未知角通过所学几何性质串联起来，计算过程难度不大，重点考查对基础性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时需要将已知条件、三角板的固定角度和所求角通过几何性质关联起来：首先利用邻补角的性质求出AC与$l_2$相交形成的三角形内角，再结合三角形内角和定理求出$∠ CBD$的度数，接着根据直角三角板的直角属性求出AB与$l_2$的夹角，最后利用平行线的性质即可得到$∠ 2$的度数。
【解析】
设AC与直线$l_2$交于点D。
1. 由平角的定义，$∠ 1$与$∠ CDB$互为邻补角，因此：
$∠ CDB = 180° - ∠ 1 = 180° - 84° = 96°$
2. 在$△ BCD$中，根据三角形内角和为$180°$，已知$∠ C=60°$，因此：
$∠ CBD = 180° - ∠ C - ∠ CDB = 180° - 60° - 96° = 24°$
3. 由直角三角板的性质，$∠ ABC=90°$，因此AB与$l_2$的夹角为：
$∠ ABD = ∠ ABC - ∠ CBD = 90° - 24° = 66°$
4. 因为$l_1 // l_2$，根据“两直线平行，同位角相等”，$∠ 2$与$∠ ABD$是同位角，因此：
$∠ 2 = ∠ ABD = 66°$
【答案】
$∠ 2=66°$
【知识点】
平行线的性质；三角形内角和定理；邻补角的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，解题关键是明确各角的位置关系，通过合理的角度转化，将已知条件和未知角通过所学几何性质串联起来，计算过程难度不大，重点考查对基础性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
16. 已知$a,b,c$满足$|a-3|+\sqrt{b-5}+(c-6)^2=0$。
(1)求$a,b,c$的值。
(2)以$a,b,c$为三边长，能否构成三角形？若能构成三角形，请求出构成的三角形的周长；若不能，请说明理由。
(1)求$a,b,c$的值。
(2)以$a,b,c$为三边长，能否构成三角形？若能构成三角形，请求出构成的三角形的周长；若不能，请说明理由。
答案
16. (1)$a=3,b=5,c=6$
(2)$\because c$为最大边,而$a+b＞c$,$\therefore$能构成三角形,构成的三角形的周长为14
(2)$\because c$为最大边,而$a+b＞c$,$\therefore$能构成三角形,构成的三角形的周长为14
解析
【分析】
首先解决第(1)问：我们已知绝对值、算术平方根、完全平方数都是非负数，当几个非负数的和为0时，每个非负数都必须等于0，据此分别列出关于a、b、c的等式，求解即可得到三个值。再解决第(2)问：判断三条线段能否构成三角形的核心依据是三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，简便判断方法是只需验证较小的两条边之和大于最长边即可，若满足则能构成三角形，周长为三边长度之和。
【解析】
(1) 解：$\because |a-3|≥0$，$\sqrt{b-5}≥0$，$(c-6)^2≥0$，且三者之和为0，
$\therefore$ 每个非负项都为0，即：
$a-3=0$，$b-5=0$，$c-6=0$，
解得：$a=3$，$b=5$，$c=6$。
(2) 解：先比较三边长大小：$3＜5＜6$，即最长边为$c=6$，
$\because$ 较小两边之和为$a+b=3+5=8$，$8＞6$，满足三角形任意两边之和大于第三边的要求，
$\therefore$ 以a、b、c为三边长能构成三角形，
三角形的周长为$a+b+c=3+5+6=14$。
【答案】
(1)$a=3,b=5,c=6$
(2)能构成三角形，构成的三角形的周长为14
【知识点】
非负数的性质；三角形三边关系
【点评】
本题属于基础题，解题关键是熟练掌握非负数的性质，以及判断三边能否构成三角形的简便方法，计算难度低，掌握相关概念即可顺利得分。
【难度系数】
0.85
首先解决第(1)问：我们已知绝对值、算术平方根、完全平方数都是非负数，当几个非负数的和为0时，每个非负数都必须等于0，据此分别列出关于a、b、c的等式，求解即可得到三个值。再解决第(2)问：判断三条线段能否构成三角形的核心依据是三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，简便判断方法是只需验证较小的两条边之和大于最长边即可，若满足则能构成三角形，周长为三边长度之和。
【解析】
(1) 解：$\because |a-3|≥0$，$\sqrt{b-5}≥0$，$(c-6)^2≥0$，且三者之和为0，
$\therefore$ 每个非负项都为0，即：
$a-3=0$，$b-5=0$，$c-6=0$，
解得：$a=3$，$b=5$，$c=6$。
(2) 解：先比较三边长大小：$3＜5＜6$，即最长边为$c=6$，
$\because$ 较小两边之和为$a+b=3+5=8$，$8＞6$，满足三角形任意两边之和大于第三边的要求，
$\therefore$ 以a、b、c为三边长能构成三角形，
三角形的周长为$a+b+c=3+5+6=14$。
【答案】
(1)$a=3,b=5,c=6$
(2)能构成三角形，构成的三角形的周长为14
【知识点】
非负数的性质；三角形三边关系
【点评】
本题属于基础题，解题关键是熟练掌握非负数的性质，以及判断三边能否构成三角形的简便方法，计算难度低，掌握相关概念即可顺利得分。
【难度系数】
0.85
17.已知$a$是整数，三角形三边的长分别是4 cm，9 cm和$a$ cm，又关于$x$，$y$的方程组$\begin{cases}2x + ay = 18, \\2x - y = 0\end{cases}$有正整数解，求$a$的值。
答案
17. $a=8$
解析
【分析】
解题需结合两个约束条件逐步推导：①首先利用三角形三边关系（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）确定a的整数取值范围，缩小筛选范围；②再解二元一次方程组，用含a的代数式表示x、y，根据方程组有正整数解的要求，得出a+1需是9的正因数，最后在第一步得到的范围内筛选出符合条件的a值即可。
【解析】
步骤1：根据三角形三边关系求a的范围
已知三角形三边长为4cm、9cm、a cm，由三角形三边关系可得：
$9-4 ＜ a ＜ 9+4$，即$5 ＜ a ＜ 13$
又因为a是整数，所以a的可能取值为6、7、8、9、10、11、12。
步骤2：解二元一次方程组
已知方程组$\begin{cases}2x + ay = 18 \\2x - y = 0\end{cases}$
由第二个方程$2x - y = 0$可得：$y=2x$
将$y=2x$代入第一个方程，得：
$2x + a·2x = 18$
整理得：$2x(a+1)=18$，即$x(a+1)=9$
所以$x=\frac{9}{a+1}$，$y=2x=\frac{18}{a+1}$
步骤3：根据正整数解的要求筛选a值
因为方程组的解x、y为正整数，所以$\frac{9}{a+1}$必须是正整数，即$a+1$是9的正因数。
9的正因数有1、3、9，对应的a值为0、2、8。
结合步骤1中$5 ＜ a ＜13$的范围，只有$a=8$符合要求。
【答案】
$a=8$
【知识点】
1.三角形三边关系
2.解二元一次方程组
3.正整数解应用
【点评】
本题是几何性质与代数计算的综合题型，既考查了三角形三边的基本性质，也考查了含参数的二元一次方程组正整数解的求解方法，解题时需注意两个约束条件的结合，避免仅通过单一条件求解出现多解错误。
【难度系数】
0.6
解题需结合两个约束条件逐步推导：①首先利用三角形三边关系（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）确定a的整数取值范围，缩小筛选范围；②再解二元一次方程组，用含a的代数式表示x、y，根据方程组有正整数解的要求，得出a+1需是9的正因数，最后在第一步得到的范围内筛选出符合条件的a值即可。
【解析】
步骤1：根据三角形三边关系求a的范围
已知三角形三边长为4cm、9cm、a cm，由三角形三边关系可得：
$9-4 ＜ a ＜ 9+4$，即$5 ＜ a ＜ 13$
又因为a是整数，所以a的可能取值为6、7、8、9、10、11、12。
步骤2：解二元一次方程组
已知方程组$\begin{cases}2x + ay = 18 \\2x - y = 0\end{cases}$
由第二个方程$2x - y = 0$可得：$y=2x$
将$y=2x$代入第一个方程，得：
$2x + a·2x = 18$
整理得：$2x(a+1)=18$，即$x(a+1)=9$
所以$x=\frac{9}{a+1}$，$y=2x=\frac{18}{a+1}$
步骤3：根据正整数解的要求筛选a值
因为方程组的解x、y为正整数，所以$\frac{9}{a+1}$必须是正整数，即$a+1$是9的正因数。
9的正因数有1、3、9，对应的a值为0、2、8。
结合步骤1中$5 ＜ a ＜13$的范围，只有$a=8$符合要求。
【答案】
$a=8$
【知识点】
1.三角形三边关系
2.解二元一次方程组
3.正整数解应用
【点评】
本题是几何性质与代数计算的综合题型，既考查了三角形三边的基本性质，也考查了含参数的二元一次方程组正整数解的求解方法，解题时需注意两个约束条件的结合，避免仅通过单一条件求解出现多解错误。
【难度系数】
0.6
