登录
7.如图,在$△ ABC$中,已知$ED⊥ BC$于点$D$,$∠ AED=140°$,$∠ B=∠ C$。求$△ ABC$各内角的度数。
答案
7. ∠C=50°,∠B=50°,∠A=80°
解析
【分析】
要计算△ABC各内角的度数，已知∠B=∠C，因此只需先求出∠B或∠C的度数，再结合三角形内角和定理求∠A即可。首先观察已知条件：∠AED=140°，它与∠DEC互为邻补角，可先求出∠DEC的度数；再根据ED⊥BC得到∠EDC=90°，在△EDC中利用三角形内角和就能算出∠C的度数，后续依次求出∠B和∠A即可。
【解析】
解：
∵∠AED=140°，∠AED与∠DEC组成平角
∴∠DEC=180°-∠AED=180°-140°=40°
∵ED⊥BC
∴∠EDC=90°
在△EDC中，根据三角形内角和为180°可得：
∠C=180°-∠EDC-∠DEC=180°-90°-40°=50°
∵∠B=∠C
∴∠B=50°
在△ABC中，根据三角形内角和为180°可得：
∠A=180°-∠B-∠C=180°-50°-50°=80°
【答案】
∠B=50°,∠C=50°,∠A=80°
【知识点】
三角形内角和定理，邻补角性质，垂直的定义
【点评】
本题是基础的角度计算问题，解题的关键是找到已知角和待求角之间的关联，灵活运用平角、直角的特殊角度属性，结合三角形内角和定理求解即可。
【难度系数】
0.8
要计算△ABC各内角的度数，已知∠B=∠C，因此只需先求出∠B或∠C的度数，再结合三角形内角和定理求∠A即可。首先观察已知条件：∠AED=140°，它与∠DEC互为邻补角，可先求出∠DEC的度数；再根据ED⊥BC得到∠EDC=90°，在△EDC中利用三角形内角和就能算出∠C的度数，后续依次求出∠B和∠A即可。
【解析】
解：
∵∠AED=140°，∠AED与∠DEC组成平角
∴∠DEC=180°-∠AED=180°-140°=40°
∵ED⊥BC
∴∠EDC=90°
在△EDC中，根据三角形内角和为180°可得：
∠C=180°-∠EDC-∠DEC=180°-90°-40°=50°
∵∠B=∠C
∴∠B=50°
在△ABC中，根据三角形内角和为180°可得：
∠A=180°-∠B-∠C=180°-50°-50°=80°
【答案】
∠B=50°,∠C=50°,∠A=80°
【知识点】
三角形内角和定理，邻补角性质，垂直的定义
【点评】
本题是基础的角度计算问题，解题的关键是找到已知角和待求角之间的关联，灵活运用平角、直角的特殊角度属性，结合三角形内角和定理求解即可。
【难度系数】
0.8
8. 四条线段的长分别是5 cm,6 cm,8 cm,13 cm,则以其中任意三条线段为边可以构成
2
个三角形。答案
8. 2
解析
【分析】
要解决这个问题，首先我们需要明确三角形的三边判定条件：三角形任意两边之和大于第三边，实际验证时只需判断较短两条边的和是否大于最长边即可（最长边与任意一条短边的和必然大于另一条短边，可简化计算）。解题步骤分为两步：第一步先不重不漏地列举出从四条线段中任选三条的所有组合，第二步对每个组合逐一用三边关系验证，统计满足条件的组合数即可。
【解析】
首先列出从4条线段中任选3条的所有组合，共4种：
1. 选取5cm、6cm、8cm：较短两边之和为$5+6=11\mathrm{cm}$，$11＞8$，满足三角形三边关系，可以构成三角形；
2. 选取5cm、6cm、13cm：较短两边之和为$5+6=11\mathrm{cm}$，$11＜13$，不满足三边关系，不能构成三角形；
3. 选取5cm、8cm、13cm：较短两边之和为$5+8=13\mathrm{cm}$，$13=13$，不满足“两边之和大于第三边”的要求，不能构成三角形；
4. 选取6cm、8cm、13cm：较短两边之和为$6+8=14\mathrm{cm}$，$14＞13$，满足三边关系，可以构成三角形。
综上，能构成三角形的组合共2个。
【答案】
2
【知识点】
三角形三边关系，分类讨论
【点评】
本题是三角形三边关系的基础应用题，解题时需注意先完整列举所有组合，再逐一验证，尤其要注意两边之和等于第三边时，三条线段共线，无法构成三角形，避免多算。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先我们需要明确三角形的三边判定条件：三角形任意两边之和大于第三边，实际验证时只需判断较短两条边的和是否大于最长边即可（最长边与任意一条短边的和必然大于另一条短边，可简化计算）。解题步骤分为两步：第一步先不重不漏地列举出从四条线段中任选三条的所有组合，第二步对每个组合逐一用三边关系验证，统计满足条件的组合数即可。
【解析】
首先列出从4条线段中任选3条的所有组合，共4种：
1. 选取5cm、6cm、8cm：较短两边之和为$5+6=11\mathrm{cm}$，$11＞8$，满足三角形三边关系，可以构成三角形；
2. 选取5cm、6cm、13cm：较短两边之和为$5+6=11\mathrm{cm}$，$11＜13$，不满足三边关系，不能构成三角形；
3. 选取5cm、8cm、13cm：较短两边之和为$5+8=13\mathrm{cm}$，$13=13$，不满足“两边之和大于第三边”的要求，不能构成三角形；
4. 选取6cm、8cm、13cm：较短两边之和为$6+8=14\mathrm{cm}$，$14＞13$，满足三边关系，可以构成三角形。
综上，能构成三角形的组合共2个。
【答案】
2
【知识点】
三角形三边关系，分类讨论
【点评】
本题是三角形三边关系的基础应用题，解题时需注意先完整列举所有组合，再逐一验证，尤其要注意两边之和等于第三边时，三条线段共线，无法构成三角形，避免多算。
【难度系数】
0.7
9. 若三角形的两边长分别为3,5,则第三边a的取值范围是（
A.$a＞2$
B.$2≤ a≤8$
C.$2＜ a＜8$
D.$a＜8$
C
）A.$a＞2$
B.$2≤ a≤8$
C.$2＜ a＜8$
D.$a＜8$
答案
9. C
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形三边的关系定理：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。我们已知三角形的两条边长分别为3和5，要求第三边a的范围，只需要用两边之和求出a的上限，用两边之差（大边减小边）求出a的下限，还要注意当a等于两边之和或两边之差时，三条线段无法围成三角形，因此边界值取不到，最后对应选项选出正确答案即可。
【解析】
根据三角形三边关系：
1. 第三边小于另外两边之和：$a ＜ 3 + 5 = 8$
2. 第三边大于另外两边之差（大边减小边）：$a ＞ 5 - 3 = 2$
综上可得第三边a的取值范围是$2 ＜ a ＜ 8$。
【答案】C
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题属于基础题型，重点考查三角形三边关系的直接应用，解题时需注意取值范围的边界无法取到，避免混淆不等号是否带等号的情况。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆三角形三边的关系定理：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。我们已知三角形的两条边长分别为3和5，要求第三边a的范围，只需要用两边之和求出a的上限，用两边之差（大边减小边）求出a的下限，还要注意当a等于两边之和或两边之差时，三条线段无法围成三角形，因此边界值取不到，最后对应选项选出正确答案即可。
【解析】
根据三角形三边关系：
1. 第三边小于另外两边之和：$a ＜ 3 + 5 = 8$
2. 第三边大于另外两边之差（大边减小边）：$a ＞ 5 - 3 = 2$
综上可得第三边a的取值范围是$2 ＜ a ＜ 8$。
【答案】C
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题属于基础题型，重点考查三角形三边关系的直接应用，解题时需注意取值范围的边界无法取到，避免混淆不等号是否带等号的情况。
【难度系数】
0.9
10. 一个三角形的三边长分别是1,x,5，且x是整数，则x的值是（
A.3
B.4
C.5
D.6
C
）A.3
B.4
C.5
D.6
答案
10. C
解析
【分析】
本题考查三角形三边关系的应用，解题思路如下：首先回忆三角形三边的大小规律：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。已知三角形两条边长为1和5，我们可以先根据三边关系求出第三边x的取值范围，再结合x是整数的限制条件，筛选出符合要求的x的值，最后匹配对应选项即可。
【解析】
根据三角形三边关系：两边之差＜第三边＜两边之和，可得：
$5-1 ＜ x ＜ 5+1$
化简得$4 ＜ x ＜ 6$
已知x是整数，在4到6之间的整数只有5，因此x=5。
【答案】
C
【知识点】
三角形三边关系，不等式的整数解
【点评】
本题属于基础题型，核心考查三角形三边关系的直接应用，解题时要注意不要忽略x为整数的限制条件，熟练掌握三边关系是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
本题考查三角形三边关系的应用，解题思路如下：首先回忆三角形三边的大小规律：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。已知三角形两条边长为1和5，我们可以先根据三边关系求出第三边x的取值范围，再结合x是整数的限制条件，筛选出符合要求的x的值，最后匹配对应选项即可。
【解析】
根据三角形三边关系：两边之差＜第三边＜两边之和，可得：
$5-1 ＜ x ＜ 5+1$
化简得$4 ＜ x ＜ 6$
已知x是整数，在4到6之间的整数只有5，因此x=5。
【答案】
C
【知识点】
三角形三边关系，不等式的整数解
【点评】
本题属于基础题型，核心考查三角形三边关系的直接应用，解题时要注意不要忽略x为整数的限制条件，熟练掌握三边关系是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
11. 在两边相等的一个三角形中，已知一边长为5 cm，另一边长为9 cm，则这个三角形的周长是 （
A.19 cm
B.23 cm
C.19 cm或23 cm
D.不能确定
C
）A.19 cm
B.23 cm
C.19 cm或23 cm
D.不能确定
答案
11. C
解析
【分析】
题目中两边相等的三角形是等腰三角形，已知两条边长分别为5cm和9cm，但未明确哪条是腰长、哪条是底边长，因此需要分两种情况讨论。同时每种情况都要结合三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）验证是否能构成三角形，最终计算符合条件的周长即可。
【解析】
已知该三角形为等腰三角形，分两种情况讨论：
1. 当腰长为5cm，底边长为9cm时：
三边长为5cm、5cm、9cm，验证三边关系：$5+5=10＞9$，满足三角形构成条件，此时周长为$5+5+9=19\mathrm{cm}$；
2. 当腰长为9cm，底边长为5cm时：
三边长为9cm、9cm、5cm，验证三边关系：$9+5=14＞9$，满足三角形构成条件，此时周长为$9+9+5=23\mathrm{cm}$。
因此这个三角形的周长为19cm或23cm。
【答案】
C
【知识点】
1.等腰三角形的性质 2.三角形三边关系
【点评】
本题重点考查分类讨论思想的应用，解决等腰三角形边长相关问题时，若未明确腰和底的长度，必须分类讨论，同时要验证三边是否满足三角形构成条件，避免出现错解或漏解。
【难度系数】
0.7
题目中两边相等的三角形是等腰三角形，已知两条边长分别为5cm和9cm，但未明确哪条是腰长、哪条是底边长，因此需要分两种情况讨论。同时每种情况都要结合三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）验证是否能构成三角形，最终计算符合条件的周长即可。
【解析】
已知该三角形为等腰三角形，分两种情况讨论：
1. 当腰长为5cm，底边长为9cm时：
三边长为5cm、5cm、9cm，验证三边关系：$5+5=10＞9$，满足三角形构成条件，此时周长为$5+5+9=19\mathrm{cm}$；
2. 当腰长为9cm，底边长为5cm时：
三边长为9cm、9cm、5cm，验证三边关系：$9+5=14＞9$，满足三角形构成条件，此时周长为$9+9+5=23\mathrm{cm}$。
因此这个三角形的周长为19cm或23cm。
【答案】
C
【知识点】
1.等腰三角形的性质 2.三角形三边关系
【点评】
本题重点考查分类讨论思想的应用，解决等腰三角形边长相关问题时，若未明确腰和底的长度，必须分类讨论，同时要验证三边是否满足三角形构成条件，避免出现错解或漏解。
【难度系数】
0.7
12. 用长度相等的7根火柴棒首尾顺次相接摆成一个三角形，能摆成不同的三角形有（
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
B
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
12. B
解析
【分析】
要解决用7根等长火柴摆不同三角形的问题，本质是寻找和为7的三个正整数，且满足三角形三边关系（任意两边之和大于第三边），同时避免重复计数：
1. 先设三边长对应的火柴数为$a≤ b≤ c$（$a、b、c$均为正整数），则$a+b+c=7$；
2. 利用三边关系推导最大边$c$的取值范围：因为$a+b＞c$，代入$a+b=7-c$得$7-c＞c$，即$c＜3.5$；又因为$c$是最大边，所以$3c≥7$，即$c≥\frac{7}{3}\approx2.33$，因此$c$只能取3；
3. 再枚举$c=3$时$a、b$的可能取值，筛选符合条件的组合即可。
【解析】
设三角形三边所用火柴棒数量为正整数$a≤ b≤ c$，根据题意得：
$a+b+c=7$，
根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，得$a+b＞c$，
将$a+b=7-c$代入不等式得：$7-c＞c$，解得$c＜3.5$，
又因为$c$是最大边，所以$3c≥ a+b+c=7$，即$c≥\frac{7}{3}\approx2.33$，
因为$c$为正整数，所以$c=3$，
此时$a+b=7-3=4$，且满足$a≤ b≤3$：
当$b=3$时，$a=4-3=1$，三边为1、3、3，满足$1+3＞3$，符合三角形要求；
当$b=2$时，$a=4-2=2$，三边为2、2、3，满足$2+2＞3$，符合三角形要求；
$b≤1$时不存在满足$a≤ b$的正整数解。
综上共有2种不同的三角形。
【答案】
B
【知识点】
1. 三角形三边关系
2. 分类讨论
【点评】
本题侧重考查三角形三边关系的实际应用，解题关键是先通过不等关系确定最大边的取值范围，再有序枚举筛选，能有效避免重复或漏算。
【难度系数】
0.7
要解决用7根等长火柴摆不同三角形的问题，本质是寻找和为7的三个正整数，且满足三角形三边关系（任意两边之和大于第三边），同时避免重复计数：
1. 先设三边长对应的火柴数为$a≤ b≤ c$（$a、b、c$均为正整数），则$a+b+c=7$；
2. 利用三边关系推导最大边$c$的取值范围：因为$a+b＞c$，代入$a+b=7-c$得$7-c＞c$，即$c＜3.5$；又因为$c$是最大边，所以$3c≥7$，即$c≥\frac{7}{3}\approx2.33$，因此$c$只能取3；
3. 再枚举$c=3$时$a、b$的可能取值，筛选符合条件的组合即可。
【解析】
设三角形三边所用火柴棒数量为正整数$a≤ b≤ c$，根据题意得：
$a+b+c=7$，
根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，得$a+b＞c$，
将$a+b=7-c$代入不等式得：$7-c＞c$，解得$c＜3.5$，
又因为$c$是最大边，所以$3c≥ a+b+c=7$，即$c≥\frac{7}{3}\approx2.33$，
因为$c$为正整数，所以$c=3$，
此时$a+b=7-3=4$，且满足$a≤ b≤3$：
当$b=3$时，$a=4-3=1$，三边为1、3、3，满足$1+3＞3$，符合三角形要求；
当$b=2$时，$a=4-2=2$，三边为2、2、3，满足$2+2＞3$，符合三角形要求；
$b≤1$时不存在满足$a≤ b$的正整数解。
综上共有2种不同的三角形。
【答案】
B
【知识点】
1. 三角形三边关系
2. 分类讨论
【点评】
本题侧重考查三角形三边关系的实际应用，解题关键是先通过不等关系确定最大边的取值范围，再有序枚举筛选，能有效避免重复或漏算。
【难度系数】
0.7
13. 如图，在直角三角形ABC中，AD⊥BC于点D，则图中互余的角有（
A.2对
B.3对
C.4对
D.5对
C
）A.2对
B.3对
C.4对
D.5对
答案
13. C
解析
【分析】首先明确互余的定义：若两个角的度数之和为90°，则这两个角互余。解题时先找出图中所有的直角：∠BAC=90°，∠ADB=∠ADC=90°，再结合直角三角形的两个锐角互余的性质，按顺序逐一列举出所有和为90°的角对，避免遗漏或重复。
【解析】根据题意逐一列举互余的角：
1. 在$Rt△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，因此$∠ B + ∠ C = 90°$，为第1对互余的角；同时$∠ BAD + ∠ CAD = ∠ BAC=90°$，为第2对互余的角。
2. 由$AD⊥ BC$得$∠ ADB=90°$，在$Rt△ ABD$中，$∠ B + ∠ BAD = 90°$，为第3对互余的角。
3. 同理$∠ ADC=90°$，在$Rt△ ACD$中，$∠ C + ∠ CAD = 90°$，为第4对互余的角。
综上共有4对互余的角。
【答案】C
【知识点】余角的定义；直角三角形两锐角互余；垂直的定义
【点评】本题考查互余角的识别，解题核心是熟练掌握互余的定义和直角三角形的性质，按规律列举即可避免漏解或多数。
【难度系数】0.7
【解析】根据题意逐一列举互余的角：
1. 在$Rt△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，因此$∠ B + ∠ C = 90°$，为第1对互余的角；同时$∠ BAD + ∠ CAD = ∠ BAC=90°$，为第2对互余的角。
2. 由$AD⊥ BC$得$∠ ADB=90°$，在$Rt△ ABD$中，$∠ B + ∠ BAD = 90°$，为第3对互余的角。
3. 同理$∠ ADC=90°$，在$Rt△ ACD$中，$∠ C + ∠ CAD = 90°$，为第4对互余的角。
综上共有4对互余的角。
【答案】C
【知识点】余角的定义；直角三角形两锐角互余；垂直的定义
【点评】本题考查互余角的识别，解题核心是熟练掌握互余的定义和直角三角形的性质，按规律列举即可避免漏解或多数。
【难度系数】0.7
14. 如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB$是钝角，让点C在射线BD上一直向右移动，则$△ ABC$的形状变化正确的是（
A.钝角三角形→直角三角形→锐角三角形
B.钝角三角形→锐角三角形→直角三角形→锐角三角形
C.钝角三角形→锐角三角形→直角三角形→钝角三角形
D.钝角三角形→直角三角形→锐角三角形→直角三角形→钝角三角形
（第14题）
D
）A.钝角三角形→直角三角形→锐角三角形
B.钝角三角形→锐角三角形→直角三角形→锐角三角形
C.钝角三角形→锐角三角形→直角三角形→钝角三角形
D.钝角三角形→直角三角形→锐角三角形→直角三角形→钝角三角形
（第14题）答案
14. D
解析
【分析】
解决这道题需要跟踪点C向右移动过程中△ABC各内角的变化，结合三角形按角分类的标准逐步判断形状：首先初始状态∠ACB为钝角，随着C右移，∠ACB先减小，依次经历等于90°、小于90°的情况；之后继续移动时，边BC不断变长，根据大边对大角，BC所对的∠BAC会逐渐增大，依次经历等于90°、大于90°的情况，对应三角形形状随之变化。
【解析】
我们按点C的移动过程逐步分析△ABC的形状：
1. 初始阶段：∠ACB是钝角，此时△ABC为钝角三角形；
2. 点C向右移动，∠ACB逐渐减小，当∠ACB=90°时，△ABC为直角三角形；
3. 继续右移，∠ACB＜90°，此时三个内角均小于90°，△ABC为锐角三角形；
4. 再继续右移，边BC长度不断增大，BC所对的∠BAC逐渐增大，当∠BAC=90°时，△ABC再次为直角三角形；
5. 进一步右移，∠BAC＞90°，此时△ABC为钝角三角形。
因此形状变化顺序为：钝角三角形→直角三角形→锐角三角形→直角三角形→钝角三角形，故选D。
【答案】
D
【知识点】
三角形按角分类，大边对大角，动点问题分析
【点评】
本题需要结合动点的运动趋势分析三角形内角的变化，易错点是容易忽略后续∠BAC增大变为直角、钝角的过程，解题时要全面考虑各内角的变化规律。
【难度系数】
0.6
解决这道题需要跟踪点C向右移动过程中△ABC各内角的变化，结合三角形按角分类的标准逐步判断形状：首先初始状态∠ACB为钝角，随着C右移，∠ACB先减小，依次经历等于90°、小于90°的情况；之后继续移动时，边BC不断变长，根据大边对大角，BC所对的∠BAC会逐渐增大，依次经历等于90°、大于90°的情况，对应三角形形状随之变化。
【解析】
我们按点C的移动过程逐步分析△ABC的形状：
1. 初始阶段：∠ACB是钝角，此时△ABC为钝角三角形；
2. 点C向右移动，∠ACB逐渐减小，当∠ACB=90°时，△ABC为直角三角形；
3. 继续右移，∠ACB＜90°，此时三个内角均小于90°，△ABC为锐角三角形；
4. 再继续右移，边BC长度不断增大，BC所对的∠BAC逐渐增大，当∠BAC=90°时，△ABC再次为直角三角形；
5. 进一步右移，∠BAC＞90°，此时△ABC为钝角三角形。
因此形状变化顺序为：钝角三角形→直角三角形→锐角三角形→直角三角形→钝角三角形，故选D。
【答案】
D
【知识点】
三角形按角分类，大边对大角，动点问题分析
【点评】
本题需要结合动点的运动趋势分析三角形内角的变化，易错点是容易忽略后续∠BAC增大变为直角、钝角的过程，解题时要全面考虑各内角的变化规律。
【难度系数】
0.6
