22.(10分)如图,在四边形ABCD中,∠DAB=∠CEB,AB=AC,点E在AC上,连结BE,且AD=BE。若∠D=125°,∠ABE=25°,求∠CAB的度数。

22.$30°$

【分析】
解题首先利用三角形外角的性质，结合已知∠DAB=∠CEB，通过角度等量代换得到△DAC和△EBA的一组对应角相等，再结合题目给出的两组边相等的条件，用SAS判定两个三角形全等，得到对应角∠D=∠AEB，最后在△ABE中利用三角形内角和为180°，代入已知角度即可求出∠CAB的度数。
【解析】
解：
1.
∵∠CEB是△ABE的外角，根据三角形外角性质可得：$∠ CEB=∠ CAB+∠ ABE$
2. 已知$∠ DAB=∠ CEB$，且$∠ DAB=∠ DAC+∠ CAB$，代入得：
$∠ DAC+∠ CAB=∠ CAB+∠ ABE$，化简得$∠ DAC=∠ ABE$
3. 在$△ DAC$和$△ EBA$中：
$\begin{cases}AD=BE(\mathrm{已知})\\∠ DAC=∠ ABE(\mathrm{已证})\\AC=AB(\mathrm{已知})\end{cases}$
∴$△ DAC ≌ △ EBA(\mathrm{SAS})$
4. 由全等三角形对应角相等，得$∠ D=∠ AEB=125°$
5. 在$△ ABE$中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ CAB=180°-∠ AEB-∠ ABE=180°-125°-25°=30°$
【答案】
$30°$
【知识点】
三角形外角性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是几何基础综合题，核心是通过角度的等量代换找到全等三角形的判定条件，再利用全等的性质转化角度求解，能够很好地考查学生对三角形相关性质和全等判定的综合运用能力。
【难度系数】
0.7

23.(12分)如图,在$△ ABC$中,$AD ⊥ BC$于点$D$,$EF$垂直平分$AC$,交$AC$于点$F$,交$BC$于点$E$,连结$AE$,并且$BD=ED$。
(1)求证:$AB=CE$。
(2)若$∠ BAE=40°$,求$∠ C$的度数。
(3)若$△ ABC$的周长为18,$AC=7$,直接写出$CD$的长。

23.(1)略 (2)$35°$ (3)5.5

【分析】
(1) 要证$AB=CE$，可通过等量代换推导：首先由$AD⊥ BC$且$BD=ED$，可知$AD$是$BE$的垂直平分线，得到$AB=AE$；再由$EF$是$AC$的垂直平分线，得到$AE=CE$，即可推出$AB=CE$。
(2) 求$∠ C$的度数：先利用等腰$△ ABE$的性质，结合顶角$∠ BAE=40°$算出底角$∠ AEB$的度数；再由$AE=CE$得$∠ C=∠ CAE$，结合三角形外角性质$∠ AEB=∠ C+∠ CAE=2∠ C$，代入计算即可得到$∠ C$的度数。
(3) 求$CD$的长：先由周长和$AC$的长度求出$AB+BC$的值；再结合$BD=ED$、$AB=CE$的结论，将$AB+BC$转化为$2CD$，即可计算出$CD$的长度。
【解析】
(1) 证明：
$\because AD⊥ BC$，$BD=ED$，
$\therefore AD$垂直平分线段$BE$，
根据线段垂直平分线的性质，得$AB=AE$。
$\because EF$垂直平分$AC$，
同理可得$AE=CE$，
$\therefore AB=CE$。
(2) 解：
$\because AB=AE$，$△ ABE$是等腰三角形，
$\therefore ∠ B=∠ AEB$，
$\because ∠ BAE=40°$，
$\therefore ∠ AEB=\frac{180°-∠ BAE}{2}=\frac{180°-40°}{2}=70°$。
$\because AE=CE$，$△ AEC$是等腰三角形，
$\therefore ∠ C=∠ CAE$，
$\because ∠ AEB$是$△ AEC$的外角，
$\therefore ∠ AEB=∠ C+∠ CAE=2∠ C$，
$\therefore ∠ C=\frac{1}{2}∠ AEB=\frac{70°}{2}=35°$。
(3) 解：
$\because △ ABC$的周长为$18$，$AC=7$，
$\therefore AB+BC+AC=18$，即$AB+BC=18-7=11$。
$\because BD=ED$，$AB=CE$，
$\therefore BC=BD+DE+EC=2DE+AB$，
$\therefore AB+BC=AB+2DE+AB=2(AB+DE)=11$。
又$\because CD=DE+EC=DE+AB$，
$\therefore CD=\frac{11}{2}=5.5$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\boxed{35°}$；(3) $\boxed{5.5}$
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，侧重考察线段相等、角相等的转化推导，解题的核心是利用垂直平分线性质得到相等线段，再结合等腰三角形和外角的性质关联边角关系，逐步求解。
【难度系数】
0.7