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三、解答题(共46分)
19.(8分)已知:如图,点B,C,E,F在同一直线上,点A,D在BC的两侧,AB=CD,BF=CE,∠B=∠C。求证:AE//DF。
19.(8分)已知:如图,点B,C,E,F在同一直线上,点A,D在BC的两侧,AB=CD,BF=CE,∠B=∠C。求证:AE//DF。
答案
证明：
∵ $BF = CE$，
∴ $BF + EF = CE + EF$，即 $BE = CF$。
在$△ ABE$和$△ DCF$中，
$\begin{cases}AB = CD \\∠ B = ∠ C \\BE = CF\end{cases}$
∴ $△ ABE ≌ △ DCF$（SAS），
∴ $∠ AEB = ∠ DFC$，
∴ $AE // DF$（内错角相等，两直线平行）。
∵ $BF = CE$，
∴ $BF + EF = CE + EF$，即 $BE = CF$。
在$△ ABE$和$△ DCF$中，
$\begin{cases}AB = CD \\∠ B = ∠ C \\BE = CF\end{cases}$
∴ $△ ABE ≌ △ DCF$（SAS），
∴ $∠ AEB = ∠ DFC$，
∴ $AE // DF$（内错角相等，两直线平行）。
解析
【分析】
要证明$AE// DF$，可根据平行线的判定定理，先证明内错角$∠ AEB=∠ DFC$；这两个角分别属于$△ ABE$和$△ DCF$，因此只需证明$△ ABE≌△ DCF$即可得到对应角相等。已知条件已给出$AB=CD$、$∠ B=∠ C$，还缺少一组对应边相等的条件，结合已知$BF=CE$，根据等式的性质，在等式两边同时加公共线段$EF$，即可得到$BE=CF$，满足SAS的全等判定条件，后续即可逐步推导出结论。
【解析】
证明：
$\because BF = CE$，
$\therefore BF + EF = CE + EF$，即$BE = CF$。
在$△ ABE$和$△ DCF$中，
$\begin{cases}AB = CD \\∠ B = ∠ C \\BE = CF\end{cases}$
$\therefore △ ABE ≌ △ DCF$（SAS），
$\therefore ∠ AEB = ∠ DFC$，
$\therefore AE // DF$（内错角相等，两直线平行）。
【答案】
证明过程如上所示，可证得$AE// DF$。
【知识点】
SAS判定三角形全等、全等三角形的性质、平行线的判定
【点评】
本题是全等三角形与平行线判定结合的基础题型，解题关键是通过线段的和差关系得到全等判定所需的对应边相等，逻辑链条清晰，是几何证明的常规考法。
【难度系数】
0.8
要证明$AE// DF$，可根据平行线的判定定理，先证明内错角$∠ AEB=∠ DFC$；这两个角分别属于$△ ABE$和$△ DCF$，因此只需证明$△ ABE≌△ DCF$即可得到对应角相等。已知条件已给出$AB=CD$、$∠ B=∠ C$，还缺少一组对应边相等的条件，结合已知$BF=CE$，根据等式的性质，在等式两边同时加公共线段$EF$，即可得到$BE=CF$，满足SAS的全等判定条件，后续即可逐步推导出结论。
【解析】
证明：
$\because BF = CE$，
$\therefore BF + EF = CE + EF$，即$BE = CF$。
在$△ ABE$和$△ DCF$中，
$\begin{cases}AB = CD \\∠ B = ∠ C \\BE = CF\end{cases}$
$\therefore △ ABE ≌ △ DCF$（SAS），
$\therefore ∠ AEB = ∠ DFC$，
$\therefore AE // DF$（内错角相等，两直线平行）。
【答案】
证明过程如上所示，可证得$AE// DF$。
【知识点】
SAS判定三角形全等、全等三角形的性质、平行线的判定
【点评】
本题是全等三角形与平行线判定结合的基础题型，解题关键是通过线段的和差关系得到全等判定所需的对应边相等，逻辑链条清晰，是几何证明的常规考法。
【难度系数】
0.8
20.（8分）已知：如图，在$△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$AB=AC$，$AE$是经过点$A$的一条线段，$BD ⊥ AE$于点$D$，$CE ⊥ AE$于点$E$。求证：$BD=CE+DE$。
答案
证明：
∵ ∠BAC=90°，
∴ ∠BAD + ∠CAE = 90°，
∵ BD⊥AE，CE⊥AE，
∴ ∠ADB = ∠CEA = 90°，
∴ ∠ABD + ∠BAD = 90°，
∴ ∠ABD = ∠CAE。
在△ABD和△CAE中，
$\{\begin{array}{l}∠ADB = ∠CEA \\∠ABD = ∠CAE \\AB = AC\end{array} $
∴ △ABD ≌ △CAE（AAS），
∴ BD = AE，AD = CE。
又∵ AE = AD + DE，
∴ AE = CE + DE，
∴ BD = CE + DE。
∵ ∠BAC=90°，
∴ ∠BAD + ∠CAE = 90°，
∵ BD⊥AE，CE⊥AE，
∴ ∠ADB = ∠CEA = 90°，
∴ ∠ABD + ∠BAD = 90°，
∴ ∠ABD = ∠CAE。
在△ABD和△CAE中，
$\{\begin{array}{l}∠ADB = ∠CEA \\∠ABD = ∠CAE \\AB = AC\end{array} $
∴ △ABD ≌ △CAE（AAS），
∴ BD = AE，AD = CE。
又∵ AE = AD + DE，
∴ AE = CE + DE，
∴ BD = CE + DE。
解析
【分析】
拿到这道求证线段和差的题目，可按以下逻辑思考：首先明确目标是证明BD=CE+DE，这类问题通常需要通过全等三角形实现线段的等量转化，将分散的线段转移到有和差关系的同一直线上。其次找全等的条件：已知∠BAC=90°，BD、CE都垂直于AE，可得两个直角相等；再根据同角的余角相等，能推出∠ABD=∠CAE，结合已知AB=AC，就满足了AAS全等的判定条件。最后通过全等得到对应边相等，再结合线段的和差关系进行代换，即可得到待证结论。
【解析】
证明：
∵ ∠BAC=90°，
∴ ∠BAD + ∠CAE = 90°，
∵ BD⊥AE，CE⊥AE，
∴ ∠ADB = ∠CEA = 90°，
∴ ∠ABD + ∠BAD = 90°，
∴ ∠ABD = ∠CAE。
在△ABD和△CAE中，
$\{\begin{array}{l}∠ADB = ∠CEA \\∠ABD = ∠CAE \\AB = AC\end{array} $
∴ △ABD ≌ △CAE（AAS），
∴ BD = AE，AD = CE。
又
∵ AE = AD + DE，
∴ AE = CE + DE，
∴ BD = CE + DE。
【答案】
BD=CE+DE，证明过程如上。
【知识点】
全等三角形的AAS判定；全等三角形的性质；同角的余角相等
【点评】
这道题是一线三垂直模型的典型应用，核心考察全等三角形相关知识的综合运用，解题关键是从已知的垂直、等边条件出发推导等角，完成全等证明后通过线段和差代换得到结论，是巩固全等判定与性质的典型习题。
【难度系数】
0.7
拿到这道求证线段和差的题目，可按以下逻辑思考：首先明确目标是证明BD=CE+DE，这类问题通常需要通过全等三角形实现线段的等量转化，将分散的线段转移到有和差关系的同一直线上。其次找全等的条件：已知∠BAC=90°，BD、CE都垂直于AE，可得两个直角相等；再根据同角的余角相等，能推出∠ABD=∠CAE，结合已知AB=AC，就满足了AAS全等的判定条件。最后通过全等得到对应边相等，再结合线段的和差关系进行代换，即可得到待证结论。
【解析】
证明：
∵ ∠BAC=90°，
∴ ∠BAD + ∠CAE = 90°，
∵ BD⊥AE，CE⊥AE，
∴ ∠ADB = ∠CEA = 90°，
∴ ∠ABD + ∠BAD = 90°，
∴ ∠ABD = ∠CAE。
在△ABD和△CAE中，
$\{\begin{array}{l}∠ADB = ∠CEA \\∠ABD = ∠CAE \\AB = AC\end{array} $
∴ △ABD ≌ △CAE（AAS），
∴ BD = AE，AD = CE。
又
∵ AE = AD + DE，
∴ AE = CE + DE，
∴ BD = CE + DE。
【答案】
BD=CE+DE，证明过程如上。
【知识点】
全等三角形的AAS判定；全等三角形的性质；同角的余角相等
【点评】
这道题是一线三垂直模型的典型应用，核心考察全等三角形相关知识的综合运用，解题关键是从已知的垂直、等边条件出发推导等角，完成全等证明后通过线段和差代换得到结论，是巩固全等判定与性质的典型习题。
【难度系数】
0.7
21.(8分)如图,在8×8的方格纸中,△ABC的三个顶点都在格点上,仅用无刻度的直尺,按要求作图。
(1)在图1中,作△ABP,使△ABP与△ABC全等。
(2)在图2中,过顶点A作一条直线平分△ABC的面积。(不写作法,保留作图痕迹)
(1)在图1中,作△ABP,使△ABP与△ABC全等。
(2)在图2中,过顶点A作一条直线平分△ABC的面积。(不写作法,保留作图痕迹)
答案
21.(1)略 (2)略
解析
【分析】
(1) 要作与△ABC全等的△ABP，观察可知AB是两个三角形的公共边，结合全等三角形SSS判定定理，只需找到格点P使得两组对应边分别相等即可。可以作点C关于AB的对称点，或在AB另一侧找到满足边长相等的格点P，就能得到符合要求的全等三角形。
(2) 要过A作直线平分△ABC的面积，根据三角形的性质：三角形的中线可将三角形分为面积相等的两部分，因此只需找到BC边的中点，连接A与该中点，所得直线即为所求。利用格点特征，作以BC为对角线的格点矩形的对角线，就能确定BC的中点，无需刻度尺测量。
【解析】
(1) 示例：在AB的下方，数格点确定点P，使得BP=AC、AP=BC（或作点C关于直线AB的对称点P），依次连接AP、BP，得到的△ABP即为所求，满足△ABP与△ABC全等，符合要求的P点有多个，任选其一即可。
(2) 首先找BC边的中点：观察BC两端的格点位置，找到以BC为对角线的格点矩形，连接矩形另外两个顶点，连线与BC的交点就是BC的中点D，过A、D作直线AD，该直线即为所求，可平分△ABC的面积。
【答案】
(1) 作出符合要求的△ABP即可
(2) 作出符合要求的直线即可
【知识点】
全等三角形的判定；三角形中线的性质
【点评】
本题属于格点作图类题目，综合考查了全等三角形的判定应用和三角形中线的面积性质，需要结合网格特点灵活运用几何性质完成无刻度作图，能较好检验学生对基础几何知识的运用能力和观察能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要作与△ABC全等的△ABP，观察可知AB是两个三角形的公共边，结合全等三角形SSS判定定理，只需找到格点P使得两组对应边分别相等即可。可以作点C关于AB的对称点，或在AB另一侧找到满足边长相等的格点P，就能得到符合要求的全等三角形。
(2) 要过A作直线平分△ABC的面积，根据三角形的性质：三角形的中线可将三角形分为面积相等的两部分，因此只需找到BC边的中点，连接A与该中点，所得直线即为所求。利用格点特征，作以BC为对角线的格点矩形的对角线，就能确定BC的中点，无需刻度尺测量。
【解析】
(1) 示例：在AB的下方，数格点确定点P，使得BP=AC、AP=BC（或作点C关于直线AB的对称点P），依次连接AP、BP，得到的△ABP即为所求，满足△ABP与△ABC全等，符合要求的P点有多个，任选其一即可。
(2) 首先找BC边的中点：观察BC两端的格点位置，找到以BC为对角线的格点矩形，连接矩形另外两个顶点，连线与BC的交点就是BC的中点D，过A、D作直线AD，该直线即为所求，可平分△ABC的面积。
【答案】
(1) 作出符合要求的△ABP即可
(2) 作出符合要求的直线即可
【知识点】
全等三角形的判定；三角形中线的性质
【点评】
本题属于格点作图类题目，综合考查了全等三角形的判定应用和三角形中线的面积性质，需要结合网格特点灵活运用几何性质完成无刻度作图，能较好检验学生对基础几何知识的运用能力和观察能力。
【难度系数】
0.7
