登录
9.如图,射线 OC 是∠AOB 的平分线, D 为射线 OC 上一点,DP⊥OA 于点P,PD=3,若 Q 是射线 OB 上一点,OQ=5,则阴影部分的面积为（
A.15
B.5
C.3
D.$\frac{15}{2}$
D
）A.15
B.5
C.3
D.$\frac{15}{2}$
答案
9.D
解析
【分析】
要求阴影部分△ODQ的面积，已知底OQ=5，只需先求出OQ边上的高，即点D到OB的垂线段长度。由题可知OC是∠AOB的平分线，D在OC上且DP⊥OA、DP=3，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得D到OB的距离等于DP=3，再代入三角形面积公式即可求解。
【解析】
过点D作DE⊥OB于点E。
∵射线OC是∠AOB的平分线，DP⊥OA，DE⊥OB，
∴根据角平分线的性质，得DE = DP = 3。
阴影部分为△ODQ，底OQ=5，底OQ对应的高为DE=3，
根据三角形面积公式可得：
$S_{△ ODQ}=\frac{1}{2} × OQ × DE = \frac{1}{2} × 5 × 3 = \frac{15}{2}$。
故本题选D。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题属于基础几何题，解题关键是熟练运用角平分线的性质，将未知的三角形的高转化为已知的垂线段长度，考查了学生对基础性质的应用能力和转化思想。
【难度系数】
0.75
要求阴影部分△ODQ的面积，已知底OQ=5，只需先求出OQ边上的高，即点D到OB的垂线段长度。由题可知OC是∠AOB的平分线，D在OC上且DP⊥OA、DP=3，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得D到OB的距离等于DP=3，再代入三角形面积公式即可求解。
【解析】
过点D作DE⊥OB于点E。
∵射线OC是∠AOB的平分线，DP⊥OA，DE⊥OB，
∴根据角平分线的性质，得DE = DP = 3。
阴影部分为△ODQ，底OQ=5，底OQ对应的高为DE=3，
根据三角形面积公式可得：
$S_{△ ODQ}=\frac{1}{2} × OQ × DE = \frac{1}{2} × 5 × 3 = \frac{15}{2}$。
故本题选D。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题属于基础几何题，解题关键是熟练运用角平分线的性质，将未知的三角形的高转化为已知的垂线段长度，考查了学生对基础性质的应用能力和转化思想。
【难度系数】
0.75
10. 如图，在$△ ABC$中，点$D$，$E$，$F$分别在三边上，$E$是$AC$的中点，$AD$，$BE$，$CF$交于一点$G$，$BD=2DC$，$S_{△ BGD}=8$，$S_{△ AGE}=3$，则$△ ABC$的面积是（
A.25
B.30
C.35
D.40
B
）A.25
B.30
C.35
D.40
答案
10.B
解析
【分析】
解题时先回忆三角形面积和底高的关系：①同高的两个三角形，面积比等于底边长的比；②三角形的中线会把三角形分成面积相等的两部分。首先利用E是AC中点的条件，得到△AGE和△CGE面积相等，再根据BD=2DC，推出△BGD和△CGD的面积比，求出△CGD的面积，接着算出△BCE的面积，最后利用中线BE平分△ABC面积的性质，求出△ABC的总面积即可。
【解析】
1. 因为E是AC的中点，△AGE和△CGE同高，底AE=EC，所以$S_{△ CGE}=S_{△ AGE}=3$。
2. 因为$BD=2DC$，△BGD和△CGD同高，所以$S_{△ BGD}:S_{△ CGD}=BD:DC=2:1$，已知$S_{△ BGD}=8$，因此$S_{△ CGD}=8÷2=4$。
3. 计算△BCE的面积：$S_{△ BCE}=S_{△ BGD}+S_{△ CGD}+S_{△ CGE}=8+4+3=15$。
4. 因为BE是△ABC的中线，中线平分三角形面积，所以$S_{△ ABC}=2S_{△ BCE}=2×15=30$。
【答案】
B
【知识点】
三角形中线的性质，同高三角形面积关系
【点评】
本题是三角形面积计算的典型题，核心是灵活运用同高三角形面积与底的比例关系、中线平分三角形面积的性质，逐步推导各小三角形的面积即可得到整体面积，解题时注意不要漏算对应部分的面积。
【难度系数】
0.6
解题时先回忆三角形面积和底高的关系：①同高的两个三角形，面积比等于底边长的比；②三角形的中线会把三角形分成面积相等的两部分。首先利用E是AC中点的条件，得到△AGE和△CGE面积相等，再根据BD=2DC，推出△BGD和△CGD的面积比，求出△CGD的面积，接着算出△BCE的面积，最后利用中线BE平分△ABC面积的性质，求出△ABC的总面积即可。
【解析】
1. 因为E是AC的中点，△AGE和△CGE同高，底AE=EC，所以$S_{△ CGE}=S_{△ AGE}=3$。
2. 因为$BD=2DC$，△BGD和△CGD同高，所以$S_{△ BGD}:S_{△ CGD}=BD:DC=2:1$，已知$S_{△ BGD}=8$，因此$S_{△ CGD}=8÷2=4$。
3. 计算△BCE的面积：$S_{△ BCE}=S_{△ BGD}+S_{△ CGD}+S_{△ CGE}=8+4+3=15$。
4. 因为BE是△ABC的中线，中线平分三角形面积，所以$S_{△ ABC}=2S_{△ BCE}=2×15=30$。
【答案】
B
【知识点】
三角形中线的性质，同高三角形面积关系
【点评】
本题是三角形面积计算的典型题，核心是灵活运用同高三角形面积与底的比例关系、中线平分三角形面积的性质，逐步推导各小三角形的面积即可得到整体面积，解题时注意不要漏算对应部分的面积。
【难度系数】
0.6
二、填空题(每小题3分,共24分)
11. 可以用来说明命题“$|a|=a$”是假命题的反例是
11. 可以用来说明命题“$|a|=a$”是假命题的反例是
-1(答案不唯一)
。答案
11.-1(答案不唯一)
解析
【分析】
要说明一个命题是假命题，只需举出一个反例即可，反例需要满足命题的条件，但不满足命题的结论。首先回忆绝对值的性质：非负数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数。命题“$|a|=a$”仅在$a$为非负数时成立，因此只要选取负数作为$a$的取值，就能得到$|a|=-a≠ a$，即可作为证明该命题为假的反例。
【解析】
根据绝对值的性质可知：当$a≥0$时，$|a|=a$；当$a＜0$时，$|a|=-a$。
我们取$a=-1$，此时$|a|=|-1|=1$，显然$1≠-1$，即$|a|≠ a$，不满足命题“$|a|=a$”的结论，因此$a=-1$可作为该命题是假命题的反例（任意负实数均可作为反例）。
【答案】
-1（答案不唯一）
【知识点】
绝对值的性质；假命题的判定
【点评】
本题考查假命题的判断方法和绝对值的性质，解题关键是明确反例的特征：满足命题条件，但不满足命题结论，熟练掌握绝对值的性质是解决本题的基础。
【难度系数】
0.8
要说明一个命题是假命题，只需举出一个反例即可，反例需要满足命题的条件，但不满足命题的结论。首先回忆绝对值的性质：非负数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数。命题“$|a|=a$”仅在$a$为非负数时成立，因此只要选取负数作为$a$的取值，就能得到$|a|=-a≠ a$，即可作为证明该命题为假的反例。
【解析】
根据绝对值的性质可知：当$a≥0$时，$|a|=a$；当$a＜0$时，$|a|=-a$。
我们取$a=-1$，此时$|a|=|-1|=1$，显然$1≠-1$，即$|a|≠ a$，不满足命题“$|a|=a$”的结论，因此$a=-1$可作为该命题是假命题的反例（任意负实数均可作为反例）。
【答案】
-1（答案不唯一）
【知识点】
绝对值的性质；假命题的判定
【点评】
本题考查假命题的判断方法和绝对值的性质，解题关键是明确反例的特征：满足命题条件，但不满足命题结论，熟练掌握绝对值的性质是解决本题的基础。
【难度系数】
0.8
12. 已知在$△ ABC$中，$∠ A + ∠ B = 3∠ C$，则$∠ C=$
$45°$
。答案
12.$45°$
解析
【分析】
解决这道题首先要想到三角形内角和的核心知识：三角形三个内角的和为180°。题目给出了∠A与∠B的和和∠C的倍数关系，我们可以把∠A+∠B当作整体，替换成3∠C，代入内角和公式后就能得到仅含∠C的等式，进而计算出∠C的度数。
【解析】
解：根据三角形内角和定理可得：
$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$
已知$∠ A + ∠ B = 3∠ C$，将其代入上式得：
$3∠ C + ∠ C = 180°$
即$4∠ C = 180°$
解得：$∠ C = 180° ÷ 4 = 45°$
【答案】
$45°$
【知识点】
三角形内角和定理
【点评】
本题是基础题型，核心考查三角形内角和定理的应用，只需将已知角度关系代入内角和公式计算即可得分，属于必须熟练掌握的基础内容。
【难度系数】
0.9
解决这道题首先要想到三角形内角和的核心知识：三角形三个内角的和为180°。题目给出了∠A与∠B的和和∠C的倍数关系，我们可以把∠A+∠B当作整体，替换成3∠C，代入内角和公式后就能得到仅含∠C的等式，进而计算出∠C的度数。
【解析】
解：根据三角形内角和定理可得：
$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$
已知$∠ A + ∠ B = 3∠ C$，将其代入上式得：
$3∠ C + ∠ C = 180°$
即$4∠ C = 180°$
解得：$∠ C = 180° ÷ 4 = 45°$
【答案】
$45°$
【知识点】
三角形内角和定理
【点评】
本题是基础题型，核心考查三角形内角和定理的应用，只需将已知角度关系代入内角和公式计算即可得分，属于必须熟练掌握的基础内容。
【难度系数】
0.9
13. 如图，已知$∠ BAC=∠ DAC$，请你添加一个条件：
$AD=AB$或$∠D=∠B$或$∠DCA=∠BCA$
，使$△ ABC≌△ ADC$。答案
13.$AD=AB$或$∠D=∠B$或$∠DCA=∠BCA$
解析
【分析】
要证明△ABC≌△ADC，首先梳理现有条件：已知∠BAC=∠DAC，且两个三角形共享公共边AC，即AC=AC，已经具备一组角相等、一组边相等的条件。接下来结合全等三角形的判定定理补充缺失的对应条件即可：若选用SAS判定，需添加夹相等角的另一组对应边相等；若选用AAS或ASA判定，需添加另一组对应角相等。
【解析】
在△ABC和△ADC中，已知条件如下：
① 公共边：AC=AC；
② 已知角相等：∠BAC=∠DAC。
结合全等三角形的判定定理，可添加任意一个满足判定要求的条件：
1. 当添加$AD=AB$时，满足两边及其夹角对应相等（SAS），可证△ABC≌△ADC；
2. 当添加$∠D=∠B$时，满足两角及其中一角的对边对应相等（AAS），可证△ABC≌△ADC；
3. 当添加$∠DCA=∠BCA$时，满足两角及其夹边对应相等（ASA），可证△ABC≌△ADC。
【答案】
$AD=AB$或$∠D=∠B$或$∠DCA=∠BCA$
【知识点】
全等三角形的判定，公共边的性质
【点评】
本题属于全等三角形判定的开放性题目，需要结合已知条件和隐含的公共边条件，灵活选择判定定理补充合适的条件，答案不唯一，主要考查对全等三角形判定定理的掌握程度和灵活运用能力。
【难度系数】
0.8
要证明△ABC≌△ADC，首先梳理现有条件：已知∠BAC=∠DAC，且两个三角形共享公共边AC，即AC=AC，已经具备一组角相等、一组边相等的条件。接下来结合全等三角形的判定定理补充缺失的对应条件即可：若选用SAS判定，需添加夹相等角的另一组对应边相等；若选用AAS或ASA判定，需添加另一组对应角相等。
【解析】
在△ABC和△ADC中，已知条件如下：
① 公共边：AC=AC；
② 已知角相等：∠BAC=∠DAC。
结合全等三角形的判定定理，可添加任意一个满足判定要求的条件：
1. 当添加$AD=AB$时，满足两边及其夹角对应相等（SAS），可证△ABC≌△ADC；
2. 当添加$∠D=∠B$时，满足两角及其中一角的对边对应相等（AAS），可证△ABC≌△ADC；
3. 当添加$∠DCA=∠BCA$时，满足两角及其夹边对应相等（ASA），可证△ABC≌△ADC。
【答案】
$AD=AB$或$∠D=∠B$或$∠DCA=∠BCA$
【知识点】
全等三角形的判定，公共边的性质
【点评】
本题属于全等三角形判定的开放性题目，需要结合已知条件和隐含的公共边条件，灵活选择判定定理补充合适的条件，答案不唯一，主要考查对全等三角形判定定理的掌握程度和灵活运用能力。
【难度系数】
0.8
14. 如图，已知在$△ ABC$中，$∠ A = 90°$，$∠1 + ∠2$的度数是
$270°$
。答案
14.$270°$
解析
【分析】
要计算∠1+∠2的度数，我们可以先观察角的关系：∠1与△ABC的内角∠ACB是邻补角，∠2与△ABC的内角∠ABC是邻补角，因此可以先利用三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB的度数，再结合平角为180°的性质，推导得出∠1+∠2的和。
第一步：根据△ABC中∠A=90°，用三角形内角和180°算出∠ABC+∠ACB的度数；
第二步：分别用180°减去∠ACB、∠ABC表示出∠1和∠2；
第三步：将∠1和∠2的表达式相加，代入∠ABC+∠ACB的度数即可算出结果。
【解析】
解：在△ABC中，∠A=90°，根据三角形内角和为180°可得：
$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - ∠ A = 180° - 90° = 90°$
∵ ∠1与∠ACB互为邻补角，∠2与∠ABC互为邻补角，平角为$180°$
∴ $∠ 1 = 180° - ∠ ACB$，$∠ 2 = 180° - ∠ ABC$
∴ $∠ 1 + ∠ 2 = (180° - ∠ ACB) + (180° - ∠ ABC)$
$= 360° - (∠ ACB + ∠ ABC)$
$= 360° - 90°$
$= 270°$
【答案】
$270°$
【知识点】
三角形内角和定理、平角的性质、邻补角计算
【点评】
本题是基础的角度计算问题，核心是将待求的外角和转化为与三角形内角相关的式子，结合已知条件求解，只要理清角之间的和差关系就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
要计算∠1+∠2的度数，我们可以先观察角的关系：∠1与△ABC的内角∠ACB是邻补角，∠2与△ABC的内角∠ABC是邻补角，因此可以先利用三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB的度数，再结合平角为180°的性质，推导得出∠1+∠2的和。
第一步：根据△ABC中∠A=90°，用三角形内角和180°算出∠ABC+∠ACB的度数；
第二步：分别用180°减去∠ACB、∠ABC表示出∠1和∠2；
第三步：将∠1和∠2的表达式相加，代入∠ABC+∠ACB的度数即可算出结果。
【解析】
解：在△ABC中，∠A=90°，根据三角形内角和为180°可得：
$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - ∠ A = 180° - 90° = 90°$
∵ ∠1与∠ACB互为邻补角，∠2与∠ABC互为邻补角，平角为$180°$
∴ $∠ 1 = 180° - ∠ ACB$，$∠ 2 = 180° - ∠ ABC$
∴ $∠ 1 + ∠ 2 = (180° - ∠ ACB) + (180° - ∠ ABC)$
$= 360° - (∠ ACB + ∠ ABC)$
$= 360° - 90°$
$= 270°$
【答案】
$270°$
【知识点】
三角形内角和定理、平角的性质、邻补角计算
【点评】
本题是基础的角度计算问题，核心是将待求的外角和转化为与三角形内角相关的式子，结合已知条件求解，只要理清角之间的和差关系就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
15. 如图，$△ ABC$中，$AB=12$，$BC=9$，$BD$是$AC$边上的中线，若$△ ABD$的周长为30，则$△ BCD$的周长是
27
。答案
15.27
解析
【分析】
要解决本题，首先回忆三角形中线的定义：BD是AC边上的中线，说明D是AC的中点，可得AD=CD。接下来观察△ABD和△BCD的周长组成，两个三角形都有公共边BD，且AD=CD，因此两个三角形的周长差仅为AB与BC的差。我们可以先根据△ABD的周长求出AD+BD的值，再整体代入△BCD的周长公式计算即可。
【解析】
解：
∵BD是AC边上的中线，
∴AD = CD。
∵△ABD的周长为30，AB=12，
∴$AB + AD + BD = 30$，
代入AB=12得：$12 + AD + BD = 30$，
∴$AD + BD = 30 - 12 = 18$。
△BCD的周长为$BC + CD + BD$，
又
∵CD=AD，
∴△BCD的周长 = $BC + AD + BD = 9 + 18 = 27$。
【答案】
27
【知识点】
三角形中线的定义，周长计算，等量代换
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是利用三角形中线的性质得到相等的线段，不需要单独求出每条未知线段的长度，用整体代入的方法即可快速算出结果，掌握三角形中线的定义就能轻松解题。
【难度系数】
0.8
要解决本题，首先回忆三角形中线的定义：BD是AC边上的中线，说明D是AC的中点，可得AD=CD。接下来观察△ABD和△BCD的周长组成，两个三角形都有公共边BD，且AD=CD，因此两个三角形的周长差仅为AB与BC的差。我们可以先根据△ABD的周长求出AD+BD的值，再整体代入△BCD的周长公式计算即可。
【解析】
解：
∵BD是AC边上的中线，
∴AD = CD。
∵△ABD的周长为30，AB=12，
∴$AB + AD + BD = 30$，
代入AB=12得：$12 + AD + BD = 30$，
∴$AD + BD = 30 - 12 = 18$。
△BCD的周长为$BC + CD + BD$，
又
∵CD=AD，
∴△BCD的周长 = $BC + AD + BD = 9 + 18 = 27$。
【答案】
27
【知识点】
三角形中线的定义，周长计算，等量代换
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是利用三角形中线的性质得到相等的线段，不需要单独求出每条未知线段的长度，用整体代入的方法即可快速算出结果，掌握三角形中线的定义就能轻松解题。
【难度系数】
0.8
16.已知三角形的三边长分别为$3,2a-1,8$,则正整数$a$的值可以是
4或5
。答案
16.4或5
解析
【分析】
要解决这个问题，我们首先用到三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。已知三角形两条边长为3和8，先求出第三条边$2a-1$的取值范围，再解出a的取值范围，最后在范围内找出符合要求的正整数a即可。
【解析】
根据三角形三边关系，第三边的长度满足：两边之差 ＜ 第三边 ＜ 两边之和，可列不等式：
$8 - 3 ＜ 2a - 1 ＜ 8 + 3$
化简得：
$5 ＜ 2a - 1 ＜ 11$
不等式各边同时加1，得：
$6 ＜ 2a ＜ 12$
不等式各边同时除以2，得：
$3 ＜ a ＜ 6$
因为a为正整数，所以a的取值为4、5。
【答案】
4或5
【知识点】
三角形三边关系；一元一次不等式求解；整数解判定
【点评】
本题是三角形三边关系的常规应用题型，解题核心是准确根据三边关系列出不等式，再结合限定条件筛选答案，属于基础常考题，解题时注意不要记错三边关系的判断规则。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，我们首先用到三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。已知三角形两条边长为3和8，先求出第三条边$2a-1$的取值范围，再解出a的取值范围，最后在范围内找出符合要求的正整数a即可。
【解析】
根据三角形三边关系，第三边的长度满足：两边之差 ＜ 第三边 ＜ 两边之和，可列不等式：
$8 - 3 ＜ 2a - 1 ＜ 8 + 3$
化简得：
$5 ＜ 2a - 1 ＜ 11$
不等式各边同时加1，得：
$6 ＜ 2a ＜ 12$
不等式各边同时除以2，得：
$3 ＜ a ＜ 6$
因为a为正整数，所以a的取值为4、5。
【答案】
4或5
【知识点】
三角形三边关系；一元一次不等式求解；整数解判定
【点评】
本题是三角形三边关系的常规应用题型，解题核心是准确根据三边关系列出不等式，再结合限定条件筛选答案，属于基础常考题，解题时注意不要记错三边关系的判断规则。
【难度系数】
0.8
17.如图，在$△ ABC$与$△ ADE$中，$E$在$BC$边上，$AD=AB$，$AE=AC$，$DE=BC$，若$∠ 1=25°$，则$∠ 2$的度数为
$25°$
。答案
17.$25°$
解析
【分析】
首先观察已知条件，题目给出了三组对应边相等，可先利用SSS全等判定定理证明△ABC与△ADE全等，得到对应角相等的结论；再通过角的和差关系推导∠1与∠BAD相等，最后结合对顶角相等和三角形内角和的性质，完成∠2与∠1的等量代换，即可求出∠2的度数。
【解析】
1. 证明△ABC≌△ADE：
在△ABC和△ADE中：
$\begin{cases}AB=AD \\AC=AE \\BC=DE\end{cases}$
∴△ABC≌△ADE（SSS）
2. 推导角的等量关系：
由全等三角形的性质可得$∠ B=∠ D$，$∠ BAC=∠ DAE$，
∴$∠ BAC-∠ BAE=∠ DAE-∠ BAE$，即$∠ 1=∠ BAD$。
3. 计算∠2的度数：
设AB与DE交于点O，
在△AOD和△BOE中：$∠ D+∠ BAD+∠ AOD=180°$，$∠ B+∠ 2+∠ BOE=180°$，
∵$∠ AOD=∠ BOE$（对顶角相等），且$∠ D=∠ B$，
∴$∠ 2=∠ BAD=∠ 1=25°$。
【答案】
$25°$
【知识点】
全等三角形SSS判定、全等三角形的性质、对顶角的性质
【点评】
本题是基础的几何计算题，核心考查全等三角形的判定与性质应用，解题的关键是先通过三边相等证明三角形全等，再通过多次角的等量代换建立所求角和已知角的关系，需要熟练掌握全等三角形的判定定理，具备基础的角的推导能力。
【难度系数】
0.7
首先观察已知条件，题目给出了三组对应边相等，可先利用SSS全等判定定理证明△ABC与△ADE全等，得到对应角相等的结论；再通过角的和差关系推导∠1与∠BAD相等，最后结合对顶角相等和三角形内角和的性质，完成∠2与∠1的等量代换，即可求出∠2的度数。
【解析】
1. 证明△ABC≌△ADE：
在△ABC和△ADE中：
$\begin{cases}AB=AD \\AC=AE \\BC=DE\end{cases}$
∴△ABC≌△ADE（SSS）
2. 推导角的等量关系：
由全等三角形的性质可得$∠ B=∠ D$，$∠ BAC=∠ DAE$，
∴$∠ BAC-∠ BAE=∠ DAE-∠ BAE$，即$∠ 1=∠ BAD$。
3. 计算∠2的度数：
设AB与DE交于点O，
在△AOD和△BOE中：$∠ D+∠ BAD+∠ AOD=180°$，$∠ B+∠ 2+∠ BOE=180°$，
∵$∠ AOD=∠ BOE$（对顶角相等），且$∠ D=∠ B$，
∴$∠ 2=∠ BAD=∠ 1=25°$。
【答案】
$25°$
【知识点】
全等三角形SSS判定、全等三角形的性质、对顶角的性质
【点评】
本题是基础的几何计算题，核心考查全等三角形的判定与性质应用，解题的关键是先通过三边相等证明三角形全等，再通过多次角的等量代换建立所求角和已知角的关系，需要熟练掌握全等三角形的判定定理，具备基础的角的推导能力。
【难度系数】
0.7
18. 如图，$△ ABC$ 的面积为 8，BP 是$∠ ABC$ 的平分线，$AP ⊥ BP$，垂足为 P，连结 PC，则$△ PBC$ 的面积为
4
。答案
18.4
解析
【分析】
遇到“角平分线+角平分线上的垂线”这类条件时，通常采用延长垂线与角的另一边相交的辅助线方法，构造全等三角形。本题先延长AP交BC于点D，首先通过角平分线定义、公共边、垂直得到的直角，证明△ABP和△DBP全等，推出AP=DP，即P是AD中点；再根据等底同高的三角形面积相等，可得△PBC的面积是△ABC面积的一半，代入已知面积即可求解。
【解析】
解：延长AP交BC于点D。
∵BP是∠ABC的平分线，
∴∠ABP=∠DBP，
∵AP⊥BP，
∴∠APB=∠DPB=90°，
在△ABP和△DBP中：
$\{\begin{array}{l}∠ABP=∠DBP \\BP=BP \\∠APB=∠DPB\end{array} $
∴△ABP≌△DBP（ASA），
∴AP=DP，即P为AD的中点，
根据等底同高的三角形面积相等，可得：
$S_{△ ABP}=S_{△ DBP}$，$S_{△ ACP}=S_{△ DCP}$，
∴$S_{△ PBC}=S_{△ DBP}+S_{△ DCP}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$，
∵$S_{△ ABC}=8$，
∴$S_{△ PBC}=\frac{1}{2}×8=4$。
【答案】
4
【知识点】
角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形面积计算
【点评】
本题的核心是掌握角平分线相关的常用辅助线构造方法，通过构造全等三角形得到线段中点，再利用三角形面积的倍分关系求解，是几何中很典型的一类题型。
【难度系数】
0.6
遇到“角平分线+角平分线上的垂线”这类条件时，通常采用延长垂线与角的另一边相交的辅助线方法，构造全等三角形。本题先延长AP交BC于点D，首先通过角平分线定义、公共边、垂直得到的直角，证明△ABP和△DBP全等，推出AP=DP，即P是AD中点；再根据等底同高的三角形面积相等，可得△PBC的面积是△ABC面积的一半，代入已知面积即可求解。
【解析】
解：延长AP交BC于点D。
∵BP是∠ABC的平分线，
∴∠ABP=∠DBP，
∵AP⊥BP，
∴∠APB=∠DPB=90°，
在△ABP和△DBP中：
$\{\begin{array}{l}∠ABP=∠DBP \\BP=BP \\∠APB=∠DPB\end{array} $
∴△ABP≌△DBP（ASA），
∴AP=DP，即P为AD的中点，
根据等底同高的三角形面积相等，可得：
$S_{△ ABP}=S_{△ DBP}$，$S_{△ ACP}=S_{△ DCP}$，
∴$S_{△ PBC}=S_{△ DBP}+S_{△ DCP}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$，
∵$S_{△ ABC}=8$，
∴$S_{△ PBC}=\frac{1}{2}×8=4$。
【答案】
4
【知识点】
角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形面积计算
【点评】
本题的核心是掌握角平分线相关的常用辅助线构造方法，通过构造全等三角形得到线段中点，再利用三角形面积的倍分关系求解，是几何中很典型的一类题型。
【难度系数】
0.6
