1. 等腰三角形的对称轴最多有条。

1. 3

【分析】
要确定等腰三角形最多有几条对称轴，需先明确等腰三角形的分类：首先回忆等腰三角形的定义，即至少有两边相等的三角形，既包括只有两条边相等的普通等腰三角形，也包括三边都相等的特殊等腰三角形（等边三角形）。我们分别计算两类等腰三角形的对称轴数量，再取最大值即可。
【解析】
1. 对于只有两条边相等的普通等腰三角形：其对称轴为顶角平分线（或底边上的高、底边上的中线）所在的直线，仅有1条对称轴；
2. 对于三边都相等的特殊等腰三角形（等边三角形）：它每条边上的高（或对应角的角平分线、对应边上的中线）所在的直线都是对称轴，共有3条对称轴。
对比可知，等腰三角形的对称轴最多有3条。
【答案】
3
【知识点】
等腰三角形的性质；对称轴的定义；等边三角形的性质
【点评】
本题是基础概念题，核心考查等腰三角形的对称性，易错点是忽略等边三角形属于特殊的等腰三角形，误将答案写成1，学习时要注意特殊图形的性质归类。
【难度系数】
0.9

2. 在$△ ABC$中，$AB = AC = 1\ \mathrm{cm}$，当$BC =\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{cm}$时，$△ ABC$为正三角形。

2. 1

【分析】
首先梳理已知条件：△ABC中AB=AC=1cm，可知它首先是等腰三角形。要让等腰三角形变为正三角形（等边三角形），可依据等边三角形的判定规则思考：三边都相等的三角形是等边三角形。本题已经给出两条边的长度均为1cm，因此只要第三条边BC的长度也等于1cm，就能满足三边相等的条件，使△ABC成为正三角形。
【解析】
解：根据等边三角形的定义，三条边长度都相等的三角形是等边三角形。
已知△ABC中AB=AC=1cm，此时△ABC为等腰三角形，若要使其为正三角形，需满足三条边长度相等，即BC=AB=AC=1cm。
因此BC的长度为1cm。
【答案】
1
【知识点】
等边三角形的判定；等腰三角形的定义
【点评】
本题属于基础概念应用题，重点考查对等边三角形判定规则的掌握，牢记等边三角形的相关定义和判定条件即可快速解题，是几何部分的基础类题目。
【难度系数】
0.9

3.一个等腰三角形的两边长分别为5 cm和3 cm,则它的周长为。

3. 11 cm或13 cm

【分析】
解答本题首先要明确等腰三角形两腰相等的性质，由于题干未明确给出5 cm和3 cm哪条是腰、哪条是底，因此需要分类讨论两种情况：①假设3 cm为腰长，5 cm为底边长；②假设5 cm为腰长，3 cm为底边长。接下来需要结合三角形三边关系（任意两边之和大于第三边），分别验证两种情况能否构成三角形，最后对符合条件的情况计算周长即可。
【解析】
本题分两种情况讨论：
1. 当腰长为3 cm，底边长为5 cm时：
三角形三边长为3 cm，3 cm，5 cm，
∵ 3 + 3 = 6 ＞ 5，满足三角形三边关系，可构成三角形，
此时周长 = 3 + 3 + 5 = 11 cm。
2. 当腰长为5 cm，底边长为3 cm时：
三角形三边长为5 cm，5 cm，3 cm，
∵ 5 + 3 = 8 ＞ 5，满足三角形三边关系，可构成三角形，
此时周长 = 5 + 5 + 3 = 13 cm。
综上，该等腰三角形的周长为11 cm或13 cm。
【答案】
11 cm或13 cm
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题的易错点有两个：一是忽略分类讨论，只计算其中一种情况导致漏解；二是分类后忘记验证三边关系，直接计算周长导致错解。解题时需牢记等腰三角形边长相关问题必须分类讨论，且最终结果要符合三角形构成条件。
【难度系数】
0.7

4. 下列说法正确的是 （）

A.等腰三角形的两条高相等
B.等腰三角形的两条角平分线相等
C.等腰三角形的两条中线相等
D.等腰三角形两腰上的中线相等

4. D

【分析】
解题时先明确等腰三角形中高、角平分线、中线的位置分类，逐一判断选项表述是否严谨，对表述严谨的选项可通过全等三角形证明其正确性。首先要注意：等腰三角形的三线（高、角平分线、中线）只有对应两腰上的同类型线才会相等，若未指明位置，表述一定错误；再对D选项通过全等证明验证即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 等腰三角形的高包含底边上的高、两腰上的高，未明确高的位置时，底边上的高与腰上的高长度不相等，故A错误；
B. 等腰三角形的角平分线包含顶角的角平分线、底角的角平分线，未明确角平分线的位置时，顶角角平分线与底角角平分线长度不相等，故B错误；
C. 等腰三角形的中线包含底边上的中线、两腰上的中线，未明确中线的位置时，底边上的中线与腰上的中线长度不相等，故C错误；
D. 证明：设等腰△ABC中，AB=AC，BD、CE分别是AC、AB边上的中线，
∴AD=$\frac{1}{2}$AC，AE=$\frac{1}{2}$AB，
∵AB=AC，
∴AD=AE，
在△ABD和△ACE中：
$\{\begin{array}{l}AB=AC\\ ∠ A=∠ A\\ AD=AE\end{array} $
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE，即等腰三角形两腰上的中线相等，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质，全等三角形的判定，三角形三线定义
【点评】
本题考查等腰三角形相关线段的性质，易错点是忽略前三个选项未指明线段位置的表述漏洞，解题时要注意概念的严谨性，可通过全等证明验证表述的正确性。
【难度系数】
0.7

5.一个等腰三角形的周长为20,有两边长的比为1：2,则它的底边长为 （）

A.4
B.5
C.8
D.10

5. A

【分析】
首先，等腰三角形的两腰长度相等，题目给出两边长的比为1:2，未明确说明是底与腰的比还是腰与底的比，因此需要分两种情况讨论：①底边长:腰长=1:2；②腰长:底边长=1:2。再结合周长为20分别计算两种情况下的各边长，最后用三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）验证是否能构成三角形，排除不符合的情况即可得到底边长。
【解析】
设比例中每份的长度为$ x $，分两种情况讨论：
1. 当底边长:腰长=1:2时，底边长为$ x $，腰长为$ 2x $。
根据周长公式可得：$ x + 2x + 2x = 20 $
合并同类项得：$ 5x = 20 $
解得：$ x = 4 $
此时三边长分别为4、8、8，验证三边关系：$ 4 + 8 ＞ 8 $，满足三角形构成条件，底边长为4。
2. 当腰长:底边长=1:2时，腰长为$ x $，底边长为$ 2x $。
根据周长公式可得：$ x + x + 2x = 20 $
合并同类项得：$ 4x = 20 $
解得：$ x = 5 $
此时三边长分别为5、5、10，验证三边关系：$ 5 + 5 = 10 $，不满足任意两边之和大于第三边，该情况舍去。
综上，底边长为4。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系；分类讨论
【点评】
本题是等腰三角形边长计算的典型易错题，解题时容易忽略对三角形三边关系的验证，直接将两种计算结果都当作正确答案。需要牢记：涉及等腰三角形边长的问题，分类讨论后一定要验证三边是否能构成三角形，避免出现不符合实际的结果。
【难度系数】
0.7

6. 如图,在等腰△ABC中,AB=AC=3 cm,BC=5 cm,边AC的垂直平分线分别交AC,BC于点D,E,则△ABE的周长
是（）

A.7 cm
B.8 cm
C.9 cm
D.10 cm

6. B

【分析】
首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。题目中DE是AC的垂直平分线，点E在DE上，因此可以得到AE=CE的等量关系。接下来求△ABE的周长，周长为AB+BE+AE，将AE替换为CE后，周长可转化为AB+BE+CE，而BE+CE正好是BC的长度，代入已知的AB、BC长度即可求出结果，不需要额外计算未知线段的长度。
【解析】
解：
∵DE是AC的垂直平分线，点E在DE上
∴AE = CE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）
△ABE的周长 = AB + BE + AE
将AE=CE代入上式，得：
△ABE的周长 = AB + BE + CE = AB + BC
已知AB=3cm，BC=5cm
∴△ABE的周长 = 3 + 5 = 8(cm)
因此选B。
【答案】
B
【知识点】
线段垂直平分线的性质、三角形周长计算
【点评】
本题是典型的利用几何性质进行周长等量代换的题目，解题关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质，通过等量代换将分散的线段和转化为已知长度的线段，简化计算过程。
【难度系数】
0.8

7. 如图，$CD=CA=CB$，找出图中的等腰三角形，指出它们的腰、底边和顶角，并填入下表。


| 等腰三角形 | 腰 | 底边 | 顶角 |
| --- | --- | --- | --- |
| | | | |
| | | | |
| | | | |
| | | | |

7. $△ CAB$ $CA,CB$ $AB$ $∠ ACB$ $△ CAD$ $CA,CD$ $AD$ $∠ ACD$ $△ CBD$ $CB,CD$ $DB$ $∠ DCB$

【分析】
解题时先回忆等腰三角形的相关定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，第三条边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角。结合题目给出的$CD=CA=CB$的条件，我们依次寻找包含两组相等边的三角形：先找含$CA=CB$的三角形，再找含$CA=CD$的三角形，最后找含$CB=CD$的三角形，再对应每个三角形确定腰、底边和顶角即可。
【解析】
解：根据等腰三角形的定义，结合已知$CD=CA=CB$分析如下：
1. 在$△ CAB$中，$CA=CB$，因此它是等腰三角形：相等的两边$CA、CB$为腰，剩余边$AB$为底边，两腰的夹角$∠ ACB$为顶角；
2. 在$△ CAD$中，$CA=CD$，因此它是等腰三角形：相等的两边$CA、CD$为腰，剩余边$AD$为底边，两腰的夹角$∠ ACD$为顶角；
3. 在$△ CBD$中，$CB=CD$，因此它是等腰三角形：相等的两边$CB、CD$为腰，剩余边$DB$为底边，两腰的夹角$∠ DCB$为顶角。
【答案】
| 等腰三角形 | 腰 | 底边 | 顶角 |
| --- | --- | --- | --- |
| $△ CAB$ | $CA,CB$ | $AB$ | $∠ ACB$ |
| $△ CAD$ | $CA,CD$ | $AD$ | $∠ ACD$ |
| $△ CBD$ | $CB,CD$ | $DB$ | $∠ DCB$ |
| | | | |
【知识点】
1. 等腰三角形的定义
2. 等腰三角形的相关概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对等腰三角形判定及各组成部分定义的掌握，解题时紧扣“两边相等的三角形为等腰三角形”的判定条件，结合已知相等线段就能快速作答，注意不要混淆腰与底边、顶角与底角的概念。
【难度系数】
0.9

8. 如图，在$△ ABC$中，$AD$平分$∠ BAC$，$AB=AC$，请你说明$△ DBC$是等腰三角形。

8. 提示:利用SAS证出$△ ABD≌△ ACD$,再利用全等三角形对应边相等证得

【分析】
要证明△DBC是等腰三角形，只需证明该三角形有两条边相等，即证BD=CD即可。已知AD平分∠BAC，可得到一组相等的角，再结合已知AB=AC和公共边AD，可通过SAS判定定理证明△ABD和△ACD全等，再利用全等三角形对应边相等的性质得到BD=CD，即可证明△DBC为等腰三角形。
【解析】
证明：
∵ AD平分∠BAC，
∴ $∠ BAD=∠ CAD$（角平分线的定义）。
在$△ ABD$和$△ ACD$中：
$\begin{cases}AB=AC（已知）, \\∠ BAD=∠ CAD（已证）, \\AD=AD（公共边）,\end{cases}$
∴ $△ ABD ≌ △ ACD$（SAS）。
∴ $BD=CD$（全等三角形的对应边相等）。
∴ $△ DBC$是等腰三角形（有两条边相等的三角形是等腰三角形）。
【答案】
$△ DBC$是等腰三角形
【知识点】
全等三角形的判定（SAS）；全等三角形的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题是基础几何证明题，解题核心是结合已知条件找到全等三角形的判定依据，借助全等的性质得到相等线段，最终判定等腰三角形，熟练掌握全等三角形判定方法和等腰三角形的定义即可顺利解题。
【难度系数】
0.8