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1. (★)通过列表、描点、连线的方法,在同一平面直角坐标系中画出二次函数 $y=\frac{1}{2}x^2$, $y=\frac{1}{2}x^2+2$ 和 $y=\frac{1}{2}x^2-2$ 的图象.
(1)列表:
(2)根据表中x,y的值在平面直角坐标系中描点,再用平滑曲线顺次连接各点,就得到 $y=\frac{1}{2}x^2,y=\frac{1}{2}x^2+2$ 和 $y=\frac{1}{2}x^2-2$ 的图象.
(3)从上图可以看出,二次函数 $y=\frac{1}{2}x^2$, $y=\frac{1}{2}x^2+2$ 和 $y=\frac{1}{2}x^2-2$ 的图象的开口方向均,对称轴均是,顶点分别为,和. 可以发现,抛物线 $y=\frac{1}{2}x^2+2$ 是由抛物线 $y=\frac{1}{2}x^2$ 向平移个单位长度得到的,抛物线 $y=\frac{1}{2}x^2-2$ 是由抛物线 $y=\frac{1}{2}x^2$ 向平移个单位长度得到的.
(1)列表:
(2)根据表中x,y的值在平面直角坐标系中描点,再用平滑曲线顺次连接各点,就得到 $y=\frac{1}{2}x^2,y=\frac{1}{2}x^2+2$ 和 $y=\frac{1}{2}x^2-2$ 的图象.
(3)从上图可以看出,二次函数 $y=\frac{1}{2}x^2$, $y=\frac{1}{2}x^2+2$ 和 $y=\frac{1}{2}x^2-2$ 的图象的开口方向均,对称轴均是,顶点分别为,和. 可以发现,抛物线 $y=\frac{1}{2}x^2+2$ 是由抛物线 $y=\frac{1}{2}x^2$ 向平移个单位长度得到的,抛物线 $y=\frac{1}{2}x^2-2$ 是由抛物线 $y=\frac{1}{2}x^2$ 向平移个单位长度得到的.
答案
解：
(1)
$y=\frac{1}{2}x^2$对应的数值依次为：$8,\ 4.5,\ 2,\ 0.5,\ 0,\ 0.5,\ 2,\ 4.5,\ 8$
$y=\frac{1}{2}x^2+2$对应的数值依次为：$10,\ 6.5,\ 4,\ 2.5,\ 2,\ 2.5,\ 4,\ 6.5,\ 10$
$y=\frac{1}{2}x^2-2$对应的数值依次为：$6,\ 2.5,\ 0,\ -1.5,\ -2,\ -1.5,\ 0,\ 2.5,\ 6$
(3) 向上；直线$x=0$（y轴）；$(0,0)$；$(0,2)$；$(0,-2)$；上；$2$；下；$2$
(1)
$y=\frac{1}{2}x^2$对应的数值依次为：$8,\ 4.5,\ 2,\ 0.5,\ 0,\ 0.5,\ 2,\ 4.5,\ 8$
$y=\frac{1}{2}x^2+2$对应的数值依次为：$10,\ 6.5,\ 4,\ 2.5,\ 2,\ 2.5,\ 4,\ 6.5,\ 10$
$y=\frac{1}{2}x^2-2$对应的数值依次为：$6,\ 2.5,\ 0,\ -1.5,\ -2,\ -1.5,\ 0,\ 2.5,\ 6$
(3) 向上；直线$x=0$（y轴）；$(0,0)$；$(0,2)$；$(0,-2)$；上；$2$；下；$2$
解析
【分析】
解题思路：首先解决列表问题，只需将给定的x值分别代入三个二次函数解析式，计算出对应的y值即可。解决第(3)问时，先回忆形如$y=ax^2+k$（$a≠0$）的二次函数的性质：$a$的符号决定开口方向，无一次项时对称轴为y轴（直线$x=0$），顶点坐标为$(0,k)$；再结合函数平移“上加下减常数项”的规律，判断抛物线的平移方向和距离即可。
【解析】
(1) 分别将$x=-4、-3、-2、-1、0、1、2、3、4$代入三个函数计算$y$值：
① 对于$y=\frac{1}{2}x^2$：代入x值计算可得y值依次为$8、4.5、2、0.5、0、0.5、2、4.5、8$；
② 对于$y=\frac{1}{2}x^2+2$：每个y值比$y=\frac{1}{2}x^2$的对应y值大2，因此y值依次为$10、6.5、4、2.5、2、2.5、4、6.5、10$；
③ 对于$y=\frac{1}{2}x^2-2$：每个y值比$y=\frac{1}{2}x^2$的对应y值小2，因此y值依次为$6、2.5、0、-1.5、-2、-1.5、0、2.5、6$。
(3) 三个函数的二次项系数均为$\frac{1}{2}＞0$，因此开口均向上；解析式中均无一次项，因此对称轴均为直线$x=0$（y轴）；根据$y=ax^2+k$的顶点为$(0,k)$，可得三个函数顶点分别为$(0,0)$、$(0,2)$、$(0,-2)$。根据平移“上加下减”规律，$y=\frac{1}{2}x^2+2$是$y=\frac{1}{2}x^2$向上平移2个单位得到，$y=\frac{1}{2}x^2-2$是$y=\frac{1}{2}x^2$向下平移2个单位得到。
【答案】
(1) $y=\frac{1}{2}x^2$对应的数值依次为：$8,\ 4.5,\ 2,\ 0.5,\ 0,\ 0.5,\ 2,\ 4.5,\ 8$；
$y=\frac{1}{2}x^2+2$对应的数值依次为：$10,\ 6.5,\ 4,\ 2.5,\ 2,\ 2.5,\ 4,\ 6.5,\ 10$；
$y=\frac{1}{2}x^2-2$对应的数值依次为：$6,\ 2.5,\ 0,\ -1.5,\ -2,\ -1.5,\ 0,\ 2.5,\ 6$；
(3) 向上；直线$x=0$（y轴）；$(0,0)$；$(0,2)$；$(0,-2)$；上；$2$；下；$2$
【知识点】
二次函数图象性质，二次函数平移规律，描点法画图象
【点评】
本题是二次函数基础题型，重点考查$y=ax^2+k$型二次函数的性质和平移规律，熟练掌握“上加下减”的平移口诀和基础性质即可快速作答，是后续学习复杂二次函数的重要基础。
【难度系数】
0.9
解题思路：首先解决列表问题，只需将给定的x值分别代入三个二次函数解析式，计算出对应的y值即可。解决第(3)问时，先回忆形如$y=ax^2+k$（$a≠0$）的二次函数的性质：$a$的符号决定开口方向，无一次项时对称轴为y轴（直线$x=0$），顶点坐标为$(0,k)$；再结合函数平移“上加下减常数项”的规律，判断抛物线的平移方向和距离即可。
【解析】
(1) 分别将$x=-4、-3、-2、-1、0、1、2、3、4$代入三个函数计算$y$值：
① 对于$y=\frac{1}{2}x^2$：代入x值计算可得y值依次为$8、4.5、2、0.5、0、0.5、2、4.5、8$；
② 对于$y=\frac{1}{2}x^2+2$：每个y值比$y=\frac{1}{2}x^2$的对应y值大2，因此y值依次为$10、6.5、4、2.5、2、2.5、4、6.5、10$；
③ 对于$y=\frac{1}{2}x^2-2$：每个y值比$y=\frac{1}{2}x^2$的对应y值小2，因此y值依次为$6、2.5、0、-1.5、-2、-1.5、0、2.5、6$。
(3) 三个函数的二次项系数均为$\frac{1}{2}＞0$，因此开口均向上；解析式中均无一次项，因此对称轴均为直线$x=0$（y轴）；根据$y=ax^2+k$的顶点为$(0,k)$，可得三个函数顶点分别为$(0,0)$、$(0,2)$、$(0,-2)$。根据平移“上加下减”规律，$y=\frac{1}{2}x^2+2$是$y=\frac{1}{2}x^2$向上平移2个单位得到，$y=\frac{1}{2}x^2-2$是$y=\frac{1}{2}x^2$向下平移2个单位得到。
【答案】
(1) $y=\frac{1}{2}x^2$对应的数值依次为：$8,\ 4.5,\ 2,\ 0.5,\ 0,\ 0.5,\ 2,\ 4.5,\ 8$；
$y=\frac{1}{2}x^2+2$对应的数值依次为：$10,\ 6.5,\ 4,\ 2.5,\ 2,\ 2.5,\ 4,\ 6.5,\ 10$；
$y=\frac{1}{2}x^2-2$对应的数值依次为：$6,\ 2.5,\ 0,\ -1.5,\ -2,\ -1.5,\ 0,\ 2.5,\ 6$；
(3) 向上；直线$x=0$（y轴）；$(0,0)$；$(0,2)$；$(0,-2)$；上；$2$；下；$2$
【知识点】
二次函数图象性质，二次函数平移规律，描点法画图象
【点评】
本题是二次函数基础题型，重点考查$y=ax^2+k$型二次函数的性质和平移规律，熟练掌握“上加下减”的平移口诀和基础性质即可快速作答，是后续学习复杂二次函数的重要基础。
【难度系数】
0.9
2. (★)二次函数$y=ax^2 +k$与$y=ax^2$的图象形状，只是不同. 抛物线$y=ax^2 +k$可由抛物线$y=ax^2$沿轴向上(下)平移个单位长度得到.
答案
解：二次函数$y=ax^2 +k$与$y=ax^2$的图象形状$\boldsymbol{相同}$，只是$\boldsymbol{位置}$不同. 抛物线$y=ax^2 +k$可由抛物线$y=ax^2$沿$\boldsymbol{y}$轴向上(下)平移$\boldsymbol{|k|}$个单位长度得到。
解析
【分析】
解题时首先明确二次函数图象的核心决定因素：二次项系数a决定抛物线的开口方向和形状，当两个二次函数的a取值相同时，图象形状完全一致。再对比两个函数的顶点坐标：$y=ax^2$的顶点为$(0,0)$，$y=ax^2+k$的顶点为$(0,k)$，可知二者仅位置存在差异。最后结合二次函数“上加下减”的平移规律，即可判断平移的坐标轴和平移距离。
【解析】
1. 判断图象形状：二次函数$y=ax^2 +k$与$y=ax^2$的二次项系数均为$a$，因此两个函数的图象开口方向、形状大小完全相同；
2. 判断二者差异：$y=ax^2$的顶点坐标为$(0,0)$，$y=ax^2+k$的顶点坐标为$(0,k)$，因此两个图象仅位置不同；
3. 判断平移规则：根据二次函数平移“上加下减常数项”的规律，抛物线$y=ax^2 +k$可由$y=ax^2$沿$y$轴方向平移得到：当$k＞0$时向上平移$k$个单位，当$k＜0$时向下平移$|k|$个单位，因此平移的单位长度为$|k|$。
【答案】
相同；位置；$\boldsymbol{y}$；$\boldsymbol{|k|}$
【知识点】
二次函数图象性质；二次函数平移规律
【点评】
本题属于二次函数的基础概念题，主要考查$y=ax^2$和$y=ax^2+k$两类二次函数的联系与区别，熟练掌握二次函数平移规律是解题的关键。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确二次函数图象的核心决定因素：二次项系数a决定抛物线的开口方向和形状，当两个二次函数的a取值相同时，图象形状完全一致。再对比两个函数的顶点坐标：$y=ax^2$的顶点为$(0,0)$，$y=ax^2+k$的顶点为$(0,k)$，可知二者仅位置存在差异。最后结合二次函数“上加下减”的平移规律，即可判断平移的坐标轴和平移距离。
【解析】
1. 判断图象形状：二次函数$y=ax^2 +k$与$y=ax^2$的二次项系数均为$a$，因此两个函数的图象开口方向、形状大小完全相同；
2. 判断二者差异：$y=ax^2$的顶点坐标为$(0,0)$，$y=ax^2+k$的顶点坐标为$(0,k)$，因此两个图象仅位置不同；
3. 判断平移规则：根据二次函数平移“上加下减常数项”的规律，抛物线$y=ax^2 +k$可由$y=ax^2$沿$y$轴方向平移得到：当$k＞0$时向上平移$k$个单位，当$k＜0$时向下平移$|k|$个单位，因此平移的单位长度为$|k|$。
【答案】
相同；位置；$\boldsymbol{y}$；$\boldsymbol{|k|}$
【知识点】
二次函数图象性质；二次函数平移规律
【点评】
本题属于二次函数的基础概念题，主要考查$y=ax^2$和$y=ax^2+k$两类二次函数的联系与区别，熟练掌握二次函数平移规律是解题的关键。
【难度系数】
0.9
3. (★)填表：
$y=ax^2+k$
$(a≠0)$
| $a＞0$ | $a＜0$ |
| --- | --- |
| 图象 |
|
(续表)
$y=ax^2+k$
$(a≠0)$
| 开口方向 | | |
| --- | --- | --- |
| 对称轴 | | |
| 顶点 | | |
| 增减性 | 当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而；当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而
| 当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而；当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而 |
| 最值 | 当$x=$时，$y$有最值，为 | 当$x=$时，$y$有最值，为 |
$y=ax^2+k$
$(a≠0)$
| $a＞0$ | $a＜0$ |
| --- | --- |
| 图象 |
|(续表)
$y=ax^2+k$
$(a≠0)$
| 开口方向 | | |
| --- | --- | --- |
| 对称轴 | | |
| 顶点 | | |
| 增减性 | 当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而；当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而
| 当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而；当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而 || 最值 | 当$x=$时，$y$有最值，为 | 当$x=$时，$y$有最值，为 |
答案
解：
| 项目 | $a＞0$ | $a＜0$ |
| ---- | ---- | ---- |
| 开口方向 | 向上 | 向下 |
| 对称轴 | 直线$x=0$（y轴） | 直线$x=0$（y轴） |
| 顶点 | $(0,k)$ | $(0,k)$ |
| 增减性 | 当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大 | 当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小 |
| 最值 | 当$x=0$时，$y$有最小值，为$k$ | 当$x=0$时，$y$有最大值，为$k$ |
图象绘制说明：
1. $a＞0,k＞0$：开口向上，顶点在$y$轴正半轴$(0,k)$的抛物线；
2. $a＞0,k＜0$：开口向上，顶点在$y$轴负半轴$(0,k)$的抛物线；
3. $a＜0,k＞0$：开口向下，顶点在$y$轴正半轴$(0,k)$的抛物线；
4. $a＜0,k＜0$：开口向下，顶点在$y$轴负半轴$(0,k)$的抛物线。
| 项目 | $a＞0$ | $a＜0$ |
| ---- | ---- | ---- |
| 开口方向 | 向上 | 向下 |
| 对称轴 | 直线$x=0$（y轴） | 直线$x=0$（y轴） |
| 顶点 | $(0,k)$ | $(0,k)$ |
| 增减性 | 当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大 | 当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小 |
| 最值 | 当$x=0$时，$y$有最小值，为$k$ | 当$x=0$时，$y$有最大值，为$k$ |
图象绘制说明：
1. $a＞0,k＞0$：开口向上，顶点在$y$轴正半轴$(0,k)$的抛物线；
2. $a＞0,k＜0$：开口向上，顶点在$y$轴负半轴$(0,k)$的抛物线；
3. $a＜0,k＞0$：开口向下，顶点在$y$轴正半轴$(0,k)$的抛物线；
4. $a＜0,k＜0$：开口向下，顶点在$y$轴负半轴$(0,k)$的抛物线。
解析
【分析】
本题考查二次函数$y=ax^2+k(a≠0)$的图象与性质，解题可按以下思路推导：①首先根据参数$a$的符号判断开口方向，$a$的正负直接决定抛物线开口朝向；②再推导对称轴与顶点：该函数式不含一次项，抛物线关于y轴对称，因此对称轴为直线$x=0$，代入$x=0$即可得到顶点坐标；③结合开口方向判断增减性：开口向上时对称轴左侧函数递减、右侧递增，开口向下时规律相反；④最后判断最值：开口向上时顶点处取最小值，开口向下时顶点处取最大值，最值均为顶点的纵坐标。
【解析】
我们逐项对应性质填写：
1. 开口方向：$a＞0$时抛物线开口向上，$a＜0$时抛物线开口向下；
2. 对称轴：两种情况的抛物线都关于y轴对称，因此对称轴均为直线$x=0$（即y轴）；
3. 顶点：将$x=0$代入解析式得$y=k$，因此两种情况的顶点均为$(0,k)$；
4. 增减性：$a＞0$时，$x＜0$区间$y$随$x$的增大而减小，$x＞0$区间$y$随$x$的增大而增大；$a＜0$时，$x＜0$区间$y$随$x$的增大而增大，$x＞0$区间$y$随$x$的增大而减小；
5. 最值：$a＞0$时抛物线开口向上，顶点处取最小值，即$x=0$时$y$有最小值$k$；$a＜0$时抛物线开口向下，顶点处取最大值，即$x=0$时$y$有最大值$k$。
图象绘制说明：1. $a＞0,k＞0$：开口向上，顶点在$y$轴正半轴$(0,k)$的抛物线；2. $a＞0,k＜0$：开口向上，顶点在$y$轴负半轴$(0,k)$的抛物线；3. $a＜0,k＞0$：开口向下，顶点在$y$轴正半轴$(0,k)$的抛物线；4. $a＜0,k＜0$：开口向下，顶点在$y$轴负半轴$(0,k)$的抛物线。
【答案】
| 项目 | $a＞0$ | $a＜0$ |
| ---- | ---- | ---- |
| 开口方向 | 向上 | 向下 |
| 对称轴 | 直线$x=0$（y轴） | 直线$x=0$（y轴） |
| 顶点 | $(0,k)$ | $(0,k)$ |
| 增减性 | 当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大 | 当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小 |
| 最值 | 当$x=0$时，$y$有最小值，为$k$ | 当$x=0$时，$y$有最大值，为$k$ |
图象绘制参考：1. $a＞0,k＞0$：开口向上，顶点在$y$轴正半轴$(0,k)$的抛物线；2. $a＞0,k＜0$：开口向上，顶点在$y$轴负半轴$(0,k)$的抛物线；3. $a＜0,k＞0$：开口向下，顶点在$y$轴正半轴$(0,k)$的抛物线；4. $a＜0,k＜0$：开口向下，顶点在$y$轴负半轴$(0,k)$的抛物线。
【知识点】
二次函数开口判断；二次函数对称轴与顶点；二次函数增减性与最值
【点评】
本题属于二次函数性质的基础考察题，核心是掌握参数$a$、$k$对抛物线图象和性质的影响，是学习后续更复杂二次函数的重要基础，相关结论需要熟练掌握。
【难度系数】
0.85
本题考查二次函数$y=ax^2+k(a≠0)$的图象与性质，解题可按以下思路推导：①首先根据参数$a$的符号判断开口方向，$a$的正负直接决定抛物线开口朝向；②再推导对称轴与顶点：该函数式不含一次项，抛物线关于y轴对称，因此对称轴为直线$x=0$，代入$x=0$即可得到顶点坐标；③结合开口方向判断增减性：开口向上时对称轴左侧函数递减、右侧递增，开口向下时规律相反；④最后判断最值：开口向上时顶点处取最小值，开口向下时顶点处取最大值，最值均为顶点的纵坐标。
【解析】
我们逐项对应性质填写：
1. 开口方向：$a＞0$时抛物线开口向上，$a＜0$时抛物线开口向下；
2. 对称轴：两种情况的抛物线都关于y轴对称，因此对称轴均为直线$x=0$（即y轴）；
3. 顶点：将$x=0$代入解析式得$y=k$，因此两种情况的顶点均为$(0,k)$；
4. 增减性：$a＞0$时，$x＜0$区间$y$随$x$的增大而减小，$x＞0$区间$y$随$x$的增大而增大；$a＜0$时，$x＜0$区间$y$随$x$的增大而增大，$x＞0$区间$y$随$x$的增大而减小；
5. 最值：$a＞0$时抛物线开口向上，顶点处取最小值，即$x=0$时$y$有最小值$k$；$a＜0$时抛物线开口向下，顶点处取最大值，即$x=0$时$y$有最大值$k$。
图象绘制说明：1. $a＞0,k＞0$：开口向上，顶点在$y$轴正半轴$(0,k)$的抛物线；2. $a＞0,k＜0$：开口向上，顶点在$y$轴负半轴$(0,k)$的抛物线；3. $a＜0,k＞0$：开口向下，顶点在$y$轴正半轴$(0,k)$的抛物线；4. $a＜0,k＜0$：开口向下，顶点在$y$轴负半轴$(0,k)$的抛物线。
【答案】
| 项目 | $a＞0$ | $a＜0$ |
| ---- | ---- | ---- |
| 开口方向 | 向上 | 向下 |
| 对称轴 | 直线$x=0$（y轴） | 直线$x=0$（y轴） |
| 顶点 | $(0,k)$ | $(0,k)$ |
| 增减性 | 当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大 | 当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小 |
| 最值 | 当$x=0$时，$y$有最小值，为$k$ | 当$x=0$时，$y$有最大值，为$k$ |
图象绘制参考：1. $a＞0,k＞0$：开口向上，顶点在$y$轴正半轴$(0,k)$的抛物线；2. $a＞0,k＜0$：开口向上，顶点在$y$轴负半轴$(0,k)$的抛物线；3. $a＜0,k＞0$：开口向下，顶点在$y$轴正半轴$(0,k)$的抛物线；4. $a＜0,k＜0$：开口向下，顶点在$y$轴负半轴$(0,k)$的抛物线。
【知识点】
二次函数开口判断；二次函数对称轴与顶点；二次函数增减性与最值
【点评】
本题属于二次函数性质的基础考察题，核心是掌握参数$a$、$k$对抛物线图象和性质的影响，是学习后续更复杂二次函数的重要基础，相关结论需要熟练掌握。
【难度系数】
0.85
