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15. (★★★)已知点$A(-1,3)$，$B(3,3)$，若抛物线$y=ax^2$与线段$AB$只有一个公共点，则$a$的取值范围是
【 】
A.$0＜a≤ \dfrac{1}{3}$
B.$0＜a＜3$
C.$\dfrac{1}{3}＜a＜3$
D.$\dfrac{1}{3}≤ a＜3$
【 】
A.$0＜a≤ \dfrac{1}{3}$
B.$0＜a＜3$
C.$\dfrac{1}{3}＜a＜3$
D.$\dfrac{1}{3}≤ a＜3$
答案
D
解析
【分析】首先分析线段AB的特征：A、B两点纵坐标均为3，因此线段AB是水平线$y=3$，对应的自变量x取值范围是$-1≤x≤3$。抛物线$y=ax^2$与线段AB只有一个公共点，等价于联立两个解析式得到的方程$ax^2=3$在区间$x∈[-1,3]$上仅有1个解，且$a＞0$（若$a≤0$抛物线开口向下，与$y=3$无交点，不符合题意）。接下来通过求解方程的根，结合根的分布范围推导a的取值范围即可。
【解析】
线段AB上的点满足$y=3$，且$x∈[-1,3]$。
抛物线与线段AB只有一个公共点，即联立$\begin{cases}y=ax^2 \\ y=3\end{cases}$在$x∈[-1,3]$上仅有1组解，且$a＞0$（$a≤0$时无交点，舍去）。
联立方程得$ax^2=3$，变形为$x^2=\frac{3}{a}$，解得$x=±\sqrt{\frac{3}{a}}$。
分情况讨论根的分布：
1. 当$1＜\sqrt{\frac{3}{a}}＜3$时，负根$-\sqrt{\frac{3}{a}}＜-1$（不在区间内），正根在$(1,3)$区间内，仅1个交点：
对不等式平方得$1＜\frac{3}{a}＜9$，结合$a＞0$解得$\frac{1}{3}＜a＜3$；
2. 当$\sqrt{\frac{3}{a}}=3$时，解为$x=3$（$x=-3$不在区间内），仅与点B相交，符合题意，代入得$a=\frac{1}{3}$；
3. 当$\sqrt{\frac{3}{a}}=1$时，解为$x=±1$，均在区间内，有2个交点，不符合题意，故$a≠3$。
综上，a的取值范围是$\frac{1}{3}≤a＜3$。
【答案】D
【知识点】二次函数图像性质，函数交点问题，不等式求解
【点评】本题考查二次函数与线段的交点问题，解题核心是将交点问题转化为方程根的分布问题，要注意单独验证端点处的取值，避免漏解或多解。
【难度系数】0.6
【解析】
线段AB上的点满足$y=3$，且$x∈[-1,3]$。
抛物线与线段AB只有一个公共点，即联立$\begin{cases}y=ax^2 \\ y=3\end{cases}$在$x∈[-1,3]$上仅有1组解，且$a＞0$（$a≤0$时无交点，舍去）。
联立方程得$ax^2=3$，变形为$x^2=\frac{3}{a}$，解得$x=±\sqrt{\frac{3}{a}}$。
分情况讨论根的分布：
1. 当$1＜\sqrt{\frac{3}{a}}＜3$时，负根$-\sqrt{\frac{3}{a}}＜-1$（不在区间内），正根在$(1,3)$区间内，仅1个交点：
对不等式平方得$1＜\frac{3}{a}＜9$，结合$a＞0$解得$\frac{1}{3}＜a＜3$；
2. 当$\sqrt{\frac{3}{a}}=3$时，解为$x=3$（$x=-3$不在区间内），仅与点B相交，符合题意，代入得$a=\frac{1}{3}$；
3. 当$\sqrt{\frac{3}{a}}=1$时，解为$x=±1$，均在区间内，有2个交点，不符合题意，故$a≠3$。
综上，a的取值范围是$\frac{1}{3}≤a＜3$。
【答案】D
【知识点】二次函数图像性质，函数交点问题，不等式求解
【点评】本题考查二次函数与线段的交点问题，解题核心是将交点问题转化为方程根的分布问题，要注意单独验证端点处的取值，避免漏解或多解。
【难度系数】0.6
16. (★★★)如图,已知点$A(-2,4)$在抛物线$y=ax^2(a≠0)$上,过点A且平行于x轴的直线交抛物线于点B.
(1)求a的值和点B的坐标;
(2)若P是抛物线上一点,当以点A,B,P为顶点构成的$△ ABP$的面积为2时,求点P的坐标.
(1)求a的值和点B的坐标;
(2)若P是抛物线上一点,当以点A,B,P为顶点构成的$△ ABP$的面积为2时,求点P的坐标.
答案
解：
(1) 将点$A(-2,4)$代入抛物线解析式$y=ax^2$，得：
$4 = a · (-2)^2$，
解得$a=1$。
因此抛物线的解析式为$y=x^2$。
由题意知直线$AB$平行于$x$轴，故点$B$的纵坐标为$4$，
令$y=4$，代入$y=x^2$得$x^2=4$，
解得$x_1=-2$，$x_2=2$，
已知点$A$的横坐标为$-2$，因此点$B$的坐标为$(2,4)$。
(2) 设点$P$到直线$AB$的距离为$h$，
由$A(-2,4)$，$B(2,4)$，得$AB=2 - (-2)=4$，
根据三角形面积公式：
$S_{△ ABP}=\frac{1}{2} · AB · h = 2$，
代入$AB=4$得$\frac{1}{2} × 4 × h = 2$，解得$h=1$。
直线$AB$的解析式为$y=4$，设点$P$的纵坐标为$y_P$，则$|y_P - 4|=1$，
因此$y_P=5$或$y_P=3$。
① 当$y_P=3$时，代入$y=x^2$得$x^2=3$，解得$x=\pm\sqrt{3}$；
② 当$y_P=5$时，代入$y=x^2$得$x^2=5$，解得$x=\pm\sqrt{5}$。
综上，点$P$的坐标为$(\sqrt{3},3)$、$(-\sqrt{3},3)$、$(\sqrt{5},5)$、$(-\sqrt{5},5)$。
(1) 将点$A(-2,4)$代入抛物线解析式$y=ax^2$，得：
$4 = a · (-2)^2$，
解得$a=1$。
因此抛物线的解析式为$y=x^2$。
由题意知直线$AB$平行于$x$轴，故点$B$的纵坐标为$4$，
令$y=4$，代入$y=x^2$得$x^2=4$，
解得$x_1=-2$，$x_2=2$，
已知点$A$的横坐标为$-2$，因此点$B$的坐标为$(2,4)$。
(2) 设点$P$到直线$AB$的距离为$h$，
由$A(-2,4)$，$B(2,4)$，得$AB=2 - (-2)=4$，
根据三角形面积公式：
$S_{△ ABP}=\frac{1}{2} · AB · h = 2$，
代入$AB=4$得$\frac{1}{2} × 4 × h = 2$，解得$h=1$。
直线$AB$的解析式为$y=4$，设点$P$的纵坐标为$y_P$，则$|y_P - 4|=1$，
因此$y_P=5$或$y_P=3$。
① 当$y_P=3$时，代入$y=x^2$得$x^2=3$，解得$x=\pm\sqrt{3}$；
② 当$y_P=5$时，代入$y=x^2$得$x^2=5$，解得$x=\pm\sqrt{5}$。
综上，点$P$的坐标为$(\sqrt{3},3)$、$(-\sqrt{3},3)$、$(\sqrt{5},5)$、$(-\sqrt{5},5)$。
解析
【分析】
(1) 求a的值可利用点在函数图象上，点坐标满足函数解析式，将点A坐标代入抛物线表达式计算即可；AB平行于x轴，说明A、B两点纵坐标相同，将纵坐标代入已求出的抛物线表达式，排除点A的横坐标就能得到点B的坐标。
(2) 先计算AB的长度，结合已知的三角形面积，根据三角形面积公式可求出点P到直线AB的距离；直线AB的解析式为y=4，所以点P的纵坐标与4的差的绝对值等于所求距离，分两种情况求出点P的纵坐标，再代入抛物线表达式求出对应横坐标，即可得到所有符合条件的点P坐标，注意不要漏解。
【解析】
(1) 将点$A(-2,4)$代入抛物线解析式$y=ax^2$，得：
$4 = a · (-2)^2$，
解得$a=1$。
因此抛物线的解析式为$y=x^2$。
由题意知直线$AB$平行于$x$轴，故点$B$的纵坐标为$4$，
令$y=4$，代入$y=x^2$得$x^2=4$，
解得$x_1=-2$，$x_2=2$，
已知点$A$的横坐标为$-2$，因此点$B$的坐标为$(2,4)$。
(2) 设点$P$到直线$AB$的距离为$h$，
由$A(-2,4)$，$B(2,4)$，得$AB=2 - (-2)=4$，
根据三角形面积公式：
$S_{△ ABP}=\frac{1}{2} · AB · h = 2$，
代入$AB=4$得$\frac{1}{2} × 4 × h = 2$，解得$h=1$。
直线$AB$的解析式为$y=4$，设点$P$的纵坐标为$y_P$，则$|y_P - 4|=1$，
因此$y_P=5$或$y_P=3$。
① 当$y_P=3$时，代入$y=x^2$得$x^2=3$，解得$x=\pm\sqrt{3}$；
② 当$y_P=5$时，代入$y=x^2$得$x^2=5$，解得$x=\pm\sqrt{5}$。
综上，点$P$的坐标为$(\sqrt{3},3)$、$(-\sqrt{3},3)$、$(\sqrt{5},5)$、$(-\sqrt{5},5)$。
【答案】
(1) $a=1$，$B(2,4)$；
(2) $P$的坐标为$(\sqrt{3},3)$、$(-\sqrt{3},3)$、$(\sqrt{5},5)$、$(-\sqrt{5},5)$。
【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 二次函数的对称性
3. 三角形面积计算
【点评】
本题是二次函数基础综合题，第一问属于基础考点，难度较低；第二问结合三角形面积求点坐标，解题关键是理解点到直线的距离的绝对值关系，需要考虑多解情况，避免漏解，考查了分类讨论的数学思想。
【难度系数】
0.6
(1) 求a的值可利用点在函数图象上，点坐标满足函数解析式，将点A坐标代入抛物线表达式计算即可；AB平行于x轴，说明A、B两点纵坐标相同，将纵坐标代入已求出的抛物线表达式，排除点A的横坐标就能得到点B的坐标。
(2) 先计算AB的长度，结合已知的三角形面积，根据三角形面积公式可求出点P到直线AB的距离；直线AB的解析式为y=4，所以点P的纵坐标与4的差的绝对值等于所求距离，分两种情况求出点P的纵坐标，再代入抛物线表达式求出对应横坐标，即可得到所有符合条件的点P坐标，注意不要漏解。
【解析】
(1) 将点$A(-2,4)$代入抛物线解析式$y=ax^2$，得：
$4 = a · (-2)^2$，
解得$a=1$。
因此抛物线的解析式为$y=x^2$。
由题意知直线$AB$平行于$x$轴，故点$B$的纵坐标为$4$，
令$y=4$，代入$y=x^2$得$x^2=4$，
解得$x_1=-2$，$x_2=2$，
已知点$A$的横坐标为$-2$，因此点$B$的坐标为$(2,4)$。
(2) 设点$P$到直线$AB$的距离为$h$，
由$A(-2,4)$，$B(2,4)$，得$AB=2 - (-2)=4$，
根据三角形面积公式：
$S_{△ ABP}=\frac{1}{2} · AB · h = 2$，
代入$AB=4$得$\frac{1}{2} × 4 × h = 2$，解得$h=1$。
直线$AB$的解析式为$y=4$，设点$P$的纵坐标为$y_P$，则$|y_P - 4|=1$，
因此$y_P=5$或$y_P=3$。
① 当$y_P=3$时，代入$y=x^2$得$x^2=3$，解得$x=\pm\sqrt{3}$；
② 当$y_P=5$时，代入$y=x^2$得$x^2=5$，解得$x=\pm\sqrt{5}$。
综上，点$P$的坐标为$(\sqrt{3},3)$、$(-\sqrt{3},3)$、$(\sqrt{5},5)$、$(-\sqrt{5},5)$。
【答案】
(1) $a=1$，$B(2,4)$；
(2) $P$的坐标为$(\sqrt{3},3)$、$(-\sqrt{3},3)$、$(\sqrt{5},5)$、$(-\sqrt{5},5)$。
【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 二次函数的对称性
3. 三角形面积计算
【点评】
本题是二次函数基础综合题，第一问属于基础考点，难度较低；第二问结合三角形面积求点坐标，解题关键是理解点到直线的距离的绝对值关系，需要考虑多解情况，避免漏解，考查了分类讨论的数学思想。
【难度系数】
0.6
