登录
6. (★)对于抛物线$y=\frac{1}{2}x^2$与$y=2x^2$,下列说法不正确的是【 】
A.开口方向相同
B.都过原点
C.对称轴都是$y$轴
D.开口大小相同
A.开口方向相同
B.都过原点
C.对称轴都是$y$轴
D.开口大小相同
答案
D
解析
【分析】
本题考查二次函数$y=ax^2$的基本性质，解题时逐一结合性质判断每个选项即可：首先回忆二次函数$y=ax^2$中，$a$的符号决定开口方向，$|a|$决定开口大小，这类函数的对称轴为$y$轴，顶点为原点恒过$(0,0)$，再代入两个函数的$a$值对应验证即可。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2(a≠0)$，有以下基础性质：
1. 当$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下；$|a|$越大，开口越小；
2. 对称轴为$y$轴（直线$x=0$）；
3. 顶点坐标为$(0,0)$，因此函数图像恒过原点。
对两个抛物线逐一分析选项：
A选项：$y=\frac{1}{2}x^2$中$a=\frac{1}{2}＞0$，$y=2x^2$中$a=2＞0$，二者均开口向上，开口方向相同，说法正确；
B选项：代入$x=0$，两个函数的函数值均为$0$，都过原点$(0,0)$，说法正确；
C选项：两个函数均为$y=ax^2$的形式，对称轴都是$y$轴，说法正确；
D选项：$|\frac{1}{2}|≠|2|$，因此两个抛物线开口大小不同，说法错误。
本题要求选出说法不正确的选项，故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对最简二次函数基本性质的记忆和运用，只要掌握参数$a$对开口的影响、对称轴和过原点的特征，就能快速判断得出结果。
【难度系数】
0.9
本题考查二次函数$y=ax^2$的基本性质，解题时逐一结合性质判断每个选项即可：首先回忆二次函数$y=ax^2$中，$a$的符号决定开口方向，$|a|$决定开口大小，这类函数的对称轴为$y$轴，顶点为原点恒过$(0,0)$，再代入两个函数的$a$值对应验证即可。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2(a≠0)$，有以下基础性质：
1. 当$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下；$|a|$越大，开口越小；
2. 对称轴为$y$轴（直线$x=0$）；
3. 顶点坐标为$(0,0)$，因此函数图像恒过原点。
对两个抛物线逐一分析选项：
A选项：$y=\frac{1}{2}x^2$中$a=\frac{1}{2}＞0$，$y=2x^2$中$a=2＞0$，二者均开口向上，开口方向相同，说法正确；
B选项：代入$x=0$，两个函数的函数值均为$0$，都过原点$(0,0)$，说法正确；
C选项：两个函数均为$y=ax^2$的形式，对称轴都是$y$轴，说法正确；
D选项：$|\frac{1}{2}|≠|2|$，因此两个抛物线开口大小不同，说法错误。
本题要求选出说法不正确的选项，故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对最简二次函数基本性质的记忆和运用，只要掌握参数$a$对开口的影响、对称轴和过原点的特征，就能快速判断得出结果。
【难度系数】
0.9
7. (★)若二次函数$y=ax^2$的图象过点$P(-2,4)$，则该图象必经过点 【 】
A.$(2,4)$
B.$(-2,-4)$
C.$(-4,2)$
D.$(4,-2)$
A.$(2,4)$
B.$(-2,-4)$
C.$(-4,2)$
D.$(4,-2)$
答案
A
解析
【分析】
解题可从两个思路入手：思路1：先利用已知点求出二次函数的解析式，再将各选项的点代入解析式验证，坐标满足解析式的点就在函数图象上；思路2：二次函数$y=ax^2$的图象关于y轴对称，若点$(x,y)$在图象上，则其关于y轴的对称点$(-x,y)$也一定在图象上，直接找已知点$P(-2,4)$的对称点即可。
【解析】
方法一：先求解析式验证
将点$P(-2,4)$代入二次函数$y=ax^2$中，得：
$4=a× (-2)^2$
解得$a=1$，因此二次函数解析式为$y=x^2$。
逐一验证选项：
A. 当$x=2$时，$y=2^2=4$，所以点$(2,4)$在图象上，符合要求；
B. 当$x=-2$时，$y=(-2)^2=4≠ -4$，不符合；
C. 当$x=-4$时，$y=(-4)^2=16≠ 2$，不符合；
D. 当$x=4$时，$y=4^2=16≠ -2$，不符合。
方法二：利用对称性求解
二次函数$y=ax^2$的对称轴为y轴，因此图象上的点关于y轴对称，已知点$P(-2,4)$在图象上，则它关于y轴的对称点$(2,4)$也一定在图象上，直接选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的对称性
【点评】
本题属于二次函数基础题，两种解题方法中，利用对称性求解更快捷，核心考查对二次函数$y=ax^2$基本性质的掌握。
【难度系数】
0.9
解题可从两个思路入手：思路1：先利用已知点求出二次函数的解析式，再将各选项的点代入解析式验证，坐标满足解析式的点就在函数图象上；思路2：二次函数$y=ax^2$的图象关于y轴对称，若点$(x,y)$在图象上，则其关于y轴的对称点$(-x,y)$也一定在图象上，直接找已知点$P(-2,4)$的对称点即可。
【解析】
方法一：先求解析式验证
将点$P(-2,4)$代入二次函数$y=ax^2$中，得：
$4=a× (-2)^2$
解得$a=1$，因此二次函数解析式为$y=x^2$。
逐一验证选项：
A. 当$x=2$时，$y=2^2=4$，所以点$(2,4)$在图象上，符合要求；
B. 当$x=-2$时，$y=(-2)^2=4≠ -4$，不符合；
C. 当$x=-4$时，$y=(-4)^2=16≠ 2$，不符合；
D. 当$x=4$时，$y=4^2=16≠ -2$，不符合。
方法二：利用对称性求解
二次函数$y=ax^2$的对称轴为y轴，因此图象上的点关于y轴对称，已知点$P(-2,4)$在图象上，则它关于y轴的对称点$(2,4)$也一定在图象上，直接选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的对称性
【点评】
本题属于二次函数基础题，两种解题方法中，利用对称性求解更快捷，核心考查对二次函数$y=ax^2$基本性质的掌握。
【难度系数】
0.9
8. (★)若点$(0,y_1),(-1,y_2),(2,y_3)$都在二次函数$y=x^2$的图象上，则
【 】
A.$y_3＞y_2＞y_1$
B.$y_2＞y_1＞y_3$
C.$y_1＞y_3＞y_2$
D.$y_3＞y_1＞y_2$
【 】
A.$y_3＞y_2＞y_1$
B.$y_2＞y_1＞y_3$
C.$y_1＞y_3＞y_2$
D.$y_3＞y_1＞y_2$
答案
A
解析
【分析】
要比较三个点的函数值大小，有两种常用解题思路：①直接将各点的横坐标代入二次函数解析式，计算出对应的$y_1、y_2、y_3$的值，再比较大小；②利用二次函数$y=x^2$的性质：该函数开口向上，对称轴为y轴（$x=0$），图象上的点横坐标的绝对值越大，对应的函数值越大，通过比较三个点横坐标的绝对值即可判断函数值大小。
【解析】
方法一：代入求值法
将各点横坐标分别代入$y=x^2$计算：
当$x=0$时，$y_1=0^2=0$；
当$x=-1$时，$y_2=(-1)^2=1$；
当$x=2$时，$y_3=2^2=4$；
因为$4＞1＞0$，所以$y_3＞y_2＞y_1$。
方法二：利用二次函数性质判断
二次函数$y=x^2$开口向上，对称轴为直线$x=0$，因此抛物线上的点到对称轴$x=0$的距离越远，对应的函数值越大。
三个点的横坐标到$x=0$的距离分别为：$|0-0|=0$，$|-1-0|=1$，$|2-0|=2$，
因为$2＞1＞0$，所以对应的函数值$y_3＞y_2＞y_1$。
【答案】
A
【知识点】
1.二次函数图象上点的坐标特征 2.二次函数的性质
【点评】
本题属于基础题型，两种解题方法都较为常用，直接代入计算思路简单易理解，利用函数性质解题更快捷，熟练掌握二次函数的图象性质是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.9
要比较三个点的函数值大小，有两种常用解题思路：①直接将各点的横坐标代入二次函数解析式，计算出对应的$y_1、y_2、y_3$的值，再比较大小；②利用二次函数$y=x^2$的性质：该函数开口向上，对称轴为y轴（$x=0$），图象上的点横坐标的绝对值越大，对应的函数值越大，通过比较三个点横坐标的绝对值即可判断函数值大小。
【解析】
方法一：代入求值法
将各点横坐标分别代入$y=x^2$计算：
当$x=0$时，$y_1=0^2=0$；
当$x=-1$时，$y_2=(-1)^2=1$；
当$x=2$时，$y_3=2^2=4$；
因为$4＞1＞0$，所以$y_3＞y_2＞y_1$。
方法二：利用二次函数性质判断
二次函数$y=x^2$开口向上，对称轴为直线$x=0$，因此抛物线上的点到对称轴$x=0$的距离越远，对应的函数值越大。
三个点的横坐标到$x=0$的距离分别为：$|0-0|=0$，$|-1-0|=1$，$|2-0|=2$，
因为$2＞1＞0$，所以对应的函数值$y_3＞y_2＞y_1$。
【答案】
A
【知识点】
1.二次函数图象上点的坐标特征 2.二次函数的性质
【点评】
本题属于基础题型，两种解题方法都较为常用，直接代入计算思路简单易理解，利用函数性质解题更快捷，熟练掌握二次函数的图象性质是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.9
9. (★★)如图,在同一平面直角坐标系中,二次函数$y=kx^2$($k$为常数,$k≠0$)和一次函数$y=kx-2$的图象大致是 【 】
答案
解：分两种情况分析：
1. 当$k＞0$时，二次函数$y=kx^2$的图象开口向上，一次函数$y=kx-2$的图象斜率为正，且与$y$轴交于点$(0,-2)$，即交于$y$轴负半轴。选项B中一次函数斜率为负，选项D中一次函数与$y$轴交于正半轴，均不符合条件。
2. 当$k＜0$时，二次函数$y=kx^2$的图象开口向下，一次函数$y=kx-2$的图象斜率为负，且与$y$轴交于点$(0,-2)$，即交于$y$轴负半轴。选项A中一次函数斜率为正，不符合条件，选项C符合所有特征。
综上，答案选$\boldsymbol{C}$。
1. 当$k＞0$时，二次函数$y=kx^2$的图象开口向上，一次函数$y=kx-2$的图象斜率为正，且与$y$轴交于点$(0,-2)$，即交于$y$轴负半轴。选项B中一次函数斜率为负，选项D中一次函数与$y$轴交于正半轴，均不符合条件。
2. 当$k＜0$时，二次函数$y=kx^2$的图象开口向下，一次函数$y=kx-2$的图象斜率为负，且与$y$轴交于点$(0,-2)$，即交于$y$轴负半轴。选项A中一次函数斜率为正，不符合条件，选项C符合所有特征。
综上，答案选$\boldsymbol{C}$。
解析
【分析】
本题需要判断同含参数$k$的二次函数与一次函数的图象是否匹配，解题核心是抓住两个函数的公共参数$k$，分$k＞0$和$k＜0$两种情况展开讨论，分别验证二次函数的开口方向、一次函数的增减性（斜率）、与$y$轴的交点位置三个特征，逐一排除不符合要求的选项，最终得到正确答案。
【解析】
分两种情况分析：
1. 当$k＞0$时，二次函数$y=kx^2$的图象开口向上；一次函数$y=kx-2$中，$k＞0$则图象从左到右上升（斜率为正），且常数项为$-2$，因此与$y$轴交于点$(0,-2)$，即$y$轴负半轴。观察选项，B中一次函数图象从左到右下降（斜率为负），D中一次函数与$y$轴交于正半轴，均不符合，排除B、D。
2. 当$k＜0$时，二次函数$y=kx^2$的图象开口向下；一次函数$y=kx-2$中，$k＜0$则图象从左到右下降（斜率为负），仍与$y$轴交于$(0,-2)$即$y$轴负半轴。观察选项，A中一次函数图象从左到右上升（斜率为正），不符合，排除A；选项C的两个函数图象均符合该情况的所有特征。
综上，本题选C。
【答案】
$\boldsymbol{C}$
【知识点】
1.一次函数的图象与性质 2.二次函数的图象与性质 3.分类讨论思想
【点评】
本题是函数图象判断的典型基础题，解题关键是抓住两类函数共有的参数$k$进行分类讨论，结合函数的图象特征逐一排除错误选项，能有效考查学生对函数性质的掌握程度和逻辑分析能力。
【难度系数】
0.7
本题需要判断同含参数$k$的二次函数与一次函数的图象是否匹配，解题核心是抓住两个函数的公共参数$k$，分$k＞0$和$k＜0$两种情况展开讨论，分别验证二次函数的开口方向、一次函数的增减性（斜率）、与$y$轴的交点位置三个特征，逐一排除不符合要求的选项，最终得到正确答案。
【解析】
分两种情况分析：
1. 当$k＞0$时，二次函数$y=kx^2$的图象开口向上；一次函数$y=kx-2$中，$k＞0$则图象从左到右上升（斜率为正），且常数项为$-2$，因此与$y$轴交于点$(0,-2)$，即$y$轴负半轴。观察选项，B中一次函数图象从左到右下降（斜率为负），D中一次函数与$y$轴交于正半轴，均不符合，排除B、D。
2. 当$k＜0$时，二次函数$y=kx^2$的图象开口向下；一次函数$y=kx-2$中，$k＜0$则图象从左到右下降（斜率为负），仍与$y$轴交于$(0,-2)$即$y$轴负半轴。观察选项，A中一次函数图象从左到右上升（斜率为正），不符合，排除A；选项C的两个函数图象均符合该情况的所有特征。
综上，本题选C。
【答案】
$\boldsymbol{C}$
【知识点】
1.一次函数的图象与性质 2.二次函数的图象与性质 3.分类讨论思想
【点评】
本题是函数图象判断的典型基础题，解题关键是抓住两类函数共有的参数$k$进行分类讨论，结合函数的图象特征逐一排除错误选项，能有效考查学生对函数性质的掌握程度和逻辑分析能力。
【难度系数】
0.7
10. (★)二次函数$y=(k+1)x^2$的图象如
所示，则k的取值范围为。
所示，则k的取值范围为。答案
解：
由二次函数$y=(k+1)x^2$的图象开口向上，可得
$k+1＞0$
解得$k＞-1$
故$k$的取值范围为$\boldsymbol{k＞-1}$。
由二次函数$y=(k+1)x^2$的图象开口向上，可得
$k+1＞0$
解得$k＞-1$
故$k$的取值范围为$\boldsymbol{k＞-1}$。
解析
【分析】
解题时首先回忆二次函数$y=ax^2$的图象性质：二次项系数$a$的符号决定抛物线的开口方向，当$a＞0$时，抛物线开口向上；当$a＜0$时，抛物线开口向下。观察本题图象可知抛物线开口向上，因此对应二次项系数$k+1＞0$，解这个一元一次不等式即可得到$k$的取值范围。
【解析】
由二次函数$y=(k+1)x^2$的图象开口向上，可得二次项系数大于0，即：
$k+1＞0$
移项解得：$k＞-1$
【答案】
$k＞-1$
【知识点】
二次函数图象与系数的关系；解一元一次不等式
【点评】
本题是二次函数的基础考题，主要考查抛物线开口方向和二次项系数符号的对应关系，牢记相关性质即可快速解题，属于必须拿分的基础题。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆二次函数$y=ax^2$的图象性质：二次项系数$a$的符号决定抛物线的开口方向，当$a＞0$时，抛物线开口向上；当$a＜0$时，抛物线开口向下。观察本题图象可知抛物线开口向上，因此对应二次项系数$k+1＞0$，解这个一元一次不等式即可得到$k$的取值范围。
【解析】
由二次函数$y=(k+1)x^2$的图象开口向上，可得二次项系数大于0，即：
$k+1＞0$
移项解得：$k＞-1$
【答案】
$k＞-1$
【知识点】
二次函数图象与系数的关系；解一元一次不等式
【点评】
本题是二次函数的基础考题，主要考查抛物线开口方向和二次项系数符号的对应关系，牢记相关性质即可快速解题，属于必须拿分的基础题。
【难度系数】
0.9
11. (★)如图所示的四个二次函数的图象分别对应的是函数①$y=ax^2$, ②$y=bx^2$, ③$y=cx^2$, ④$y=dx^2$, 则$a,b,c,d$的大小关系为（用“＞”连接）。
答案
解：
对于二次函数$y=kx^2$：
开口向上时$k＞0$，且抛物线开口越窄，$k$的值越大，由图可知①②开口向上，且①比②更窄，因此$a＞b＞0$；
开口向下时$k＜0$，且抛物线开口越窄，$|k|$越大，$k$的值越小，由图可知③④开口向下，且③比④更窄，因此$c＜d＜0$。
综上可得$a＞b＞d＞c$。
对于二次函数$y=kx^2$：
开口向上时$k＞0$，且抛物线开口越窄，$k$的值越大，由图可知①②开口向上，且①比②更窄，因此$a＞b＞0$；
开口向下时$k＜0$，且抛物线开口越窄，$|k|$越大，$k$的值越小，由图可知③④开口向下，且③比④更窄，因此$c＜d＜0$。
综上可得$a＞b＞d＞c$。
解析
【分析】
解决本题首先回忆二次函数$y=kx^2$的图象性质：1. 开口方向由$k$的符号决定：开口向上时$k＞0$，开口向下时$k＜0$，正数一定大于负数，因此①②的系数大于③④的系数；2. 开口宽窄由$|k|$决定：$|k|$越大，抛物线开口越窄。接下来分别比较开口向上的两个函数的系数、开口向下的两个函数的系数，最后合并排序即可得到结果。
【解析】
对于二次函数$y=kx^2$：
1. 判断系数符号：抛物线开口向上时$k＞0$，开口向下时$k＜0$。由图可知①②开口向上，③④开口向下，因此$a＞0,b＞0,c＜0,d＜0$，即$a、b$均大于$d、c$。
2. 比较$a$和$b$的大小：当$k＞0$时，抛物线开口越窄，$k$的值越大。图中①比②开口更窄，因此$a＞b＞0$。
3. 比较$c$和$d$的大小：当$k＜0$时，抛物线开口越窄，$|k|$越大，对应的$k$值越小。图中③比④开口更窄，因此$|c|＞|d|$，可得$c＜d＜0$。
综上排序可得$a＞b＞d＞c$。
【答案】
$a＞b＞d＞c$
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质、二次函数开口与系数的关系
【点评】
本题考查二次项系数对二次函数$y=ax^2$图象的影响，解题关键是牢记“开口方向定系数正负，开口宽窄定系数绝对值大小”的规律，属于基础性质考查题。
【难度系数】
0.8
解决本题首先回忆二次函数$y=kx^2$的图象性质：1. 开口方向由$k$的符号决定：开口向上时$k＞0$，开口向下时$k＜0$，正数一定大于负数，因此①②的系数大于③④的系数；2. 开口宽窄由$|k|$决定：$|k|$越大，抛物线开口越窄。接下来分别比较开口向上的两个函数的系数、开口向下的两个函数的系数，最后合并排序即可得到结果。
【解析】
对于二次函数$y=kx^2$：
1. 判断系数符号：抛物线开口向上时$k＞0$，开口向下时$k＜0$。由图可知①②开口向上，③④开口向下，因此$a＞0,b＞0,c＜0,d＜0$，即$a、b$均大于$d、c$。
2. 比较$a$和$b$的大小：当$k＞0$时，抛物线开口越窄，$k$的值越大。图中①比②开口更窄，因此$a＞b＞0$。
3. 比较$c$和$d$的大小：当$k＜0$时，抛物线开口越窄，$|k|$越大，对应的$k$值越小。图中③比④开口更窄，因此$|c|＞|d|$，可得$c＜d＜0$。
综上排序可得$a＞b＞d＞c$。
【答案】
$a＞b＞d＞c$
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质、二次函数开口与系数的关系
【点评】
本题考查二次项系数对二次函数$y=ax^2$图象的影响，解题关键是牢记“开口方向定系数正负，开口宽窄定系数绝对值大小”的规律，属于基础性质考查题。
【难度系数】
0.8
12. (★)已知抛物线$y=ax^2$与$y=2x^2$的形状相同，则a的值为.
答案
$\boldsymbol{\pm2}$
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确抛物线形状的决定因素：二次函数$y=ax^2$的图象形状仅由二次项系数$a$的绝对值决定，与$a$的符号无关。两个抛物线形状相同时，它们的二次项系数的绝对值相等。已知其中一个抛物线的二次项系数是2，因此可列出关于$a$的绝对值方程求解，注意不要遗漏负数的情况。
【解析】
∵ 抛物线的形状由二次项系数的绝对值决定，且抛物线$y=ax^2$与$y=2x^2$的形状相同
∴ $|a|=|2|$
即$|a|=2$
解得 $a=2$或$a=-2$，即$a=\pm2$
【答案】
$\boldsymbol{\pm2}$
【知识点】
1. 二次函数图象与系数的关系
2. 绝对值的运算
【点评】
本题是二次函数的基础题型，核心考查抛物线形状与二次项系数的对应关系，解题时容易忽略开口方向相反的情况，从而漏写$a=-2$的结果，做题时要注意考虑全面。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需要明确抛物线形状的决定因素：二次函数$y=ax^2$的图象形状仅由二次项系数$a$的绝对值决定，与$a$的符号无关。两个抛物线形状相同时，它们的二次项系数的绝对值相等。已知其中一个抛物线的二次项系数是2，因此可列出关于$a$的绝对值方程求解，注意不要遗漏负数的情况。
【解析】
∵ 抛物线的形状由二次项系数的绝对值决定，且抛物线$y=ax^2$与$y=2x^2$的形状相同
∴ $|a|=|2|$
即$|a|=2$
解得 $a=2$或$a=-2$，即$a=\pm2$
【答案】
$\boldsymbol{\pm2}$
【知识点】
1. 二次函数图象与系数的关系
2. 绝对值的运算
【点评】
本题是二次函数的基础题型，核心考查抛物线形状与二次项系数的对应关系，解题时容易忽略开口方向相反的情况，从而漏写$a=-2$的结果，做题时要注意考虑全面。
【难度系数】
0.7
13. (★★)已知二次函数$y=2026x^2$的图象上有两个不同点$P(t_{1},\dfrac{1}{4}),Q(t_{2},\dfrac{1}{4})$，则$t_{1}+t_{2}$的值为.
答案
$\boldsymbol{0}$
解析
【分析】
解题可从两种思路入手：①利用二次函数对称性求解：首先回忆二次函数$y=ax^2$的图象性质，其对称轴为y轴（直线$x=0$）；已知P、Q两点纵坐标相同，说明两点关于抛物线对称轴对称，关于y轴对称的点横坐标互为相反数，因此二者的和为0。②代入求值法：将点的纵坐标代入函数解析式，得到关于t的一元二次方程，求出两个根后相加即可，其中利用对称性求解更简便。
【解析】
方法一（对称性法）：
二次函数$y=2026x^2$的图象对称轴为直线$x=0$（y轴），
∵点$P(t_{1},\dfrac{1}{4})$和$Q(t_{2},\dfrac{1}{4})$纵坐标相等，
∴P、Q两点关于抛物线的对称轴对称，
∴$t_1$与$t_2$互为相反数，
因此$t_1 + t_2 = 0$。
方法二（代入解方程法）：
将$y=\dfrac{1}{4}$代入$y=2026x^2$，可得：
$2026t^2 = \dfrac{1}{4}$，
解得$t_1 = \sqrt{\dfrac{1}{8104}}$，$t_2 = -\sqrt{\dfrac{1}{8104}}$，
因此$t_1 + t_2 = \sqrt{\dfrac{1}{8104}} + (-\sqrt{\dfrac{1}{8104}}) = 0$。
【答案】
$\boldsymbol{0}$
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数基础题型，既可以代入解析式解方程求解，也可以利用二次函数对称性快速得到答案，熟练掌握二次函数的图象性质能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.8
解题可从两种思路入手：①利用二次函数对称性求解：首先回忆二次函数$y=ax^2$的图象性质，其对称轴为y轴（直线$x=0$）；已知P、Q两点纵坐标相同，说明两点关于抛物线对称轴对称，关于y轴对称的点横坐标互为相反数，因此二者的和为0。②代入求值法：将点的纵坐标代入函数解析式，得到关于t的一元二次方程，求出两个根后相加即可，其中利用对称性求解更简便。
【解析】
方法一（对称性法）：
二次函数$y=2026x^2$的图象对称轴为直线$x=0$（y轴），
∵点$P(t_{1},\dfrac{1}{4})$和$Q(t_{2},\dfrac{1}{4})$纵坐标相等，
∴P、Q两点关于抛物线的对称轴对称，
∴$t_1$与$t_2$互为相反数，
因此$t_1 + t_2 = 0$。
方法二（代入解方程法）：
将$y=\dfrac{1}{4}$代入$y=2026x^2$，可得：
$2026t^2 = \dfrac{1}{4}$，
解得$t_1 = \sqrt{\dfrac{1}{8104}}$，$t_2 = -\sqrt{\dfrac{1}{8104}}$，
因此$t_1 + t_2 = \sqrt{\dfrac{1}{8104}} + (-\sqrt{\dfrac{1}{8104}}) = 0$。
【答案】
$\boldsymbol{0}$
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数基础题型，既可以代入解析式解方程求解，也可以利用二次函数对称性快速得到答案，熟练掌握二次函数的图象性质能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.8
14. (★★)已知二次函数$y=ax^2$，当$x=3$时，$y=3$.
(1)当$x=-2$时，求$y$的值；
(2)写出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点，以及随着$x$的增大，$y$的变化情况.
(1)当$x=-2$时，求$y$的值；
(2)写出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点，以及随着$x$的增大，$y$的变化情况.
答案
解：
(1) 把$x=3$，$y=3$代入$y=ax^2$，得
$3 = a· 3^2$
即$9a=3$，解得$a=\frac{1}{3}$
因此二次函数解析式为$y=\frac{1}{3}x^2$
当$x=-2$时，$y=\frac{1}{3}×(-2)^2=\frac{4}{3}$
(2) $\because a=\frac{1}{3}＞0$，
$\therefore$ 该函数图象开口向上；
对称轴是$y$轴（直线$x=0$）；
顶点坐标为$(0,0)$；
当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大。
(1) 把$x=3$，$y=3$代入$y=ax^2$，得
$3 = a· 3^2$
即$9a=3$，解得$a=\frac{1}{3}$
因此二次函数解析式为$y=\frac{1}{3}x^2$
当$x=-2$时，$y=\frac{1}{3}×(-2)^2=\frac{4}{3}$
(2) $\because a=\frac{1}{3}＞0$，
$\therefore$ 该函数图象开口向上；
对称轴是$y$轴（直线$x=0$）；
顶点坐标为$(0,0)$；
当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大。
解析
【分析】
这道题分为两小问，解题思路清晰：①求解第(1)问时，已知二次函数形式为$y=ax^2$，仅含1个未知参数a，先将已知的$x=3、y=3$代入表达式求出a的值，确定完整的函数解析式，再将$x=-2$代入解析式即可算出对应的y值。②求解第(2)问时，对于$y=ax^2$型的二次函数，根据a的正负可直接判断开口方向，再结合该类函数的固有性质，就能写出对称轴、顶点坐标，最后根据开口方向分析函数的增减性即可。
【解析】
(1) 把$x=3$，$y=3$代入$y=ax^2$，得
$3 = a· 3^2$
即$9a=3$，解得$a=\frac{1}{3}$
因此二次函数解析式为$y=\frac{1}{3}x^2$
当$x=-2$时，$y=\frac{1}{3}×(-2)^2=\frac{4}{3}$
(2) $\because a=\frac{1}{3}＞0$，
$\therefore$ 该函数图象开口向上；
对称轴是$y$轴（即直线$x=0$）；
顶点坐标为$(0,0)$；
当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大。
【答案】
(1) $\boldsymbol{\frac{4}{3}}$；
(2) 开口向上；对称轴为直线$x=0$（$y$轴）；顶点坐标为$(0,0)$；$x＜0$时$y$随$x$增大而减小，$x＞0$时$y$随$x$增大而增大。
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 二次函数$y=ax^2$的图象与性质
【点评】
本题是二次函数的基础题型，重点考查$y=ax^2$类二次函数的解析式求解方法和图象性质的掌握，计算量小，只要熟练掌握相关基础知识点，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
这道题分为两小问，解题思路清晰：①求解第(1)问时，已知二次函数形式为$y=ax^2$，仅含1个未知参数a，先将已知的$x=3、y=3$代入表达式求出a的值，确定完整的函数解析式，再将$x=-2$代入解析式即可算出对应的y值。②求解第(2)问时，对于$y=ax^2$型的二次函数，根据a的正负可直接判断开口方向，再结合该类函数的固有性质，就能写出对称轴、顶点坐标，最后根据开口方向分析函数的增减性即可。
【解析】
(1) 把$x=3$，$y=3$代入$y=ax^2$，得
$3 = a· 3^2$
即$9a=3$，解得$a=\frac{1}{3}$
因此二次函数解析式为$y=\frac{1}{3}x^2$
当$x=-2$时，$y=\frac{1}{3}×(-2)^2=\frac{4}{3}$
(2) $\because a=\frac{1}{3}＞0$，
$\therefore$ 该函数图象开口向上；
对称轴是$y$轴（即直线$x=0$）；
顶点坐标为$(0,0)$；
当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大。
【答案】
(1) $\boldsymbol{\frac{4}{3}}$；
(2) 开口向上；对称轴为直线$x=0$（$y$轴）；顶点坐标为$(0,0)$；$x＜0$时$y$随$x$增大而减小，$x＞0$时$y$随$x$增大而增大。
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 二次函数$y=ax^2$的图象与性质
【点评】
本题是二次函数的基础题型，重点考查$y=ax^2$类二次函数的解析式求解方法和图象性质的掌握，计算量小，只要熟练掌握相关基础知识点，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
