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4. (★)抛物线 $ y = 3x^2 - 2 $ 的开口方向 ，对称轴是 ，顶点是 。
答案
解：
对于抛物线$y=3x^2-2$，二次项系数$a=3＞0$，因此开口方向向上；
对称轴是直线$x=0$（即y轴）；
顶点坐标是$(0,-2)$。
对于抛物线$y=3x^2-2$，二次项系数$a=3＞0$，因此开口方向向上；
对称轴是直线$x=0$（即y轴）；
顶点坐标是$(0,-2)$。
解析
【分析】
首先观察抛物线解析式$y=3x^2-2$，属于无一次项的$y=ax^2+c$型二次函数，解题思路如下：① 判断开口方向：只需看二次项系数$a$的符号，$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下；② 求对称轴：对于无一次项的二次函数，对称轴为y轴，即直线$x=0$；③ 求顶点坐标：顶点在对称轴上，将$x=0$代入解析式即可得到顶点纵坐标，进而得到顶点坐标。
【解析】
对于抛物线$y=3x^2-2$，二次项系数$a=3＞0$，因此开口方向向上；
该函数无一次项，对称轴是直线$x=0$（即y轴）；
将$x=0$代入解析式得$y=-2$，因此顶点坐标是$(0,-2)$。
【答案】
向上；直线$x=0$（或y轴）；$(0,-2)$
【知识点】
二次函数基本性质；开口方向判断；对称轴与顶点求解
【点评】
本题是二次函数的基础考查题，重点考察$y=ax^2+c$型二次函数的图像性质，牢记相关基础结论即可快速解答，是学习二次函数必须掌握的入门知识点。
【难度系数】
0.9
首先观察抛物线解析式$y=3x^2-2$，属于无一次项的$y=ax^2+c$型二次函数，解题思路如下：① 判断开口方向：只需看二次项系数$a$的符号，$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下；② 求对称轴：对于无一次项的二次函数，对称轴为y轴，即直线$x=0$；③ 求顶点坐标：顶点在对称轴上，将$x=0$代入解析式即可得到顶点纵坐标，进而得到顶点坐标。
【解析】
对于抛物线$y=3x^2-2$，二次项系数$a=3＞0$，因此开口方向向上；
该函数无一次项，对称轴是直线$x=0$（即y轴）；
将$x=0$代入解析式得$y=-2$，因此顶点坐标是$(0,-2)$。
【答案】
向上；直线$x=0$（或y轴）；$(0,-2)$
【知识点】
二次函数基本性质；开口方向判断；对称轴与顶点求解
【点评】
本题是二次函数的基础考查题，重点考察$y=ax^2+c$型二次函数的图像性质，牢记相关基础结论即可快速解答，是学习二次函数必须掌握的入门知识点。
【难度系数】
0.9
5. (★)将抛物线$y=2x^2$向上平移2个单位长度，所得新抛物线对应的函数解析式为
【 】
A.$y=2x^2 -2$
B.$y=2x^2 +2$
C.$y=2(x-2)^2$
D.$y=2(x+2)^2$
【 】
A.$y=2x^2 -2$
B.$y=2x^2 +2$
C.$y=2(x-2)^2$
D.$y=2(x+2)^2$
答案
B
解析
【分析】
解决本题首先要回忆二次函数图像上下平移的变化规律：上下平移时仅改变函数解析式的常数项，遵循“上加下减”的原则，即向上平移几个单位就在原解析式末尾加几，向下平移则减几。本题明确是向上平移2个单位，只需在原解析式基础上加上2即可得到新抛物线的解析式。
【解析】
二次函数图象上下平移的规律为：若向上平移$m$（$m＞0$）个单位，新函数解析式为原解析式加$m$；若向下平移$m$个单位，新函数解析式为原解析式减$m$。
已知原抛物线解析式为$y=2x^2$，向上平移2个单位长度，因此新抛物线的解析式为$y=2x^2+2$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数图象平移 2. 函数平移“上加下减”法则
【点评】
本题是二次函数平移类的基础题型，重点考察上下平移时解析式的变换规则，熟练掌握平移口诀就能快速解题，是二次函数图像性质的基础考点。
【难度系数】
0.9
解决本题首先要回忆二次函数图像上下平移的变化规律：上下平移时仅改变函数解析式的常数项，遵循“上加下减”的原则，即向上平移几个单位就在原解析式末尾加几，向下平移则减几。本题明确是向上平移2个单位，只需在原解析式基础上加上2即可得到新抛物线的解析式。
【解析】
二次函数图象上下平移的规律为：若向上平移$m$（$m＞0$）个单位，新函数解析式为原解析式加$m$；若向下平移$m$个单位，新函数解析式为原解析式减$m$。
已知原抛物线解析式为$y=2x^2$，向上平移2个单位长度，因此新抛物线的解析式为$y=2x^2+2$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数图象平移 2. 函数平移“上加下减”法则
【点评】
本题是二次函数平移类的基础题型，重点考察上下平移时解析式的变换规则，熟练掌握平移口诀就能快速解题，是二次函数图像性质的基础考点。
【难度系数】
0.9
6. (★)二次函数$y=x^2+1$的图象大致是【 】
答案
解：在二次函数$y=x^2+1$中，
∵ 二次项系数$a=1＞0$，
∴ 抛物线开口向上，可排除开口向下的选项C、D；
∵ 该二次函数的顶点坐标为$(0,1)$，即图象的最低点在y轴正半轴，
∴ 可排除顶点为$(0,-1)$的选项A。
综上，答案选B。
∵ 二次项系数$a=1＞0$，
∴ 抛物线开口向上，可排除开口向下的选项C、D；
∵ 该二次函数的顶点坐标为$(0,1)$，即图象的最低点在y轴正半轴，
∴ 可排除顶点为$(0,-1)$的选项A。
综上，答案选B。
解析
【分析】
遇到二次函数图象判断类题目，可按两步思路推导：第一步先根据二次项系数的正负判断抛物线开口方向，初步排除错误选项；第二步再结合顶点坐标、与坐标轴交点等图象特征进一步筛选。本题中函数为$y=ax^2+k$的形式，顶点在y轴上，确定顶点位置即可完成最终判断。
【解析】
在二次函数$y=x^2+1$中：
1. 二次项系数$a=1＞0$，因此抛物线开口向上，可直接排除开口向下的选项C、D；
2. 该函数属于$y=ax^2+k$的形式，顶点坐标为$(0,k)$，即顶点为$(0,1)$，位于y轴正半轴，因此可排除顶点在$(0,-1)$的选项A。
综上，只有选项B符合函数图象特征。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象性质；开口方向判断；顶点坐标确定
【点评】
本题是二次函数图象的基础考查题，解题核心是掌握$y=ax^2+k$型二次函数的性质，通过两步排除法即可快速得到答案，是二次函数章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.9
遇到二次函数图象判断类题目，可按两步思路推导：第一步先根据二次项系数的正负判断抛物线开口方向，初步排除错误选项；第二步再结合顶点坐标、与坐标轴交点等图象特征进一步筛选。本题中函数为$y=ax^2+k$的形式，顶点在y轴上，确定顶点位置即可完成最终判断。
【解析】
在二次函数$y=x^2+1$中：
1. 二次项系数$a=1＞0$，因此抛物线开口向上，可直接排除开口向下的选项C、D；
2. 该函数属于$y=ax^2+k$的形式，顶点坐标为$(0,k)$，即顶点为$(0,1)$，位于y轴正半轴，因此可排除顶点在$(0,-1)$的选项A。
综上，只有选项B符合函数图象特征。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象性质；开口方向判断；顶点坐标确定
【点评】
本题是二次函数图象的基础考查题，解题核心是掌握$y=ax^2+k$型二次函数的性质，通过两步排除法即可快速得到答案，是二次函数章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.9
7. (★)函数$y=-x^2+3$与$y=-x^2-2$的图象的不同之处是
【 】
A.顶点
B.对称轴
C.开口方向
D.形状
【 】
A.顶点
B.对称轴
C.开口方向
D.形状
答案
A
解析
【分析】
解题思路：先回忆二次函数$y=ax^2+k(a≠0)$的图象性质：$a$的符号决定开口方向，$|a|$决定图象的形状，对称轴固定为$x=0$（y轴），顶点坐标为$(0,k)$。再对比两个函数的$a$、$k$取值，逐一判断各选项是否相同即可。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2+k(a≠0)$，逐项分析如下：
1. 开口方向：两个函数的$a=-1＜0$，开口都向下，C选项特征相同，排除；
2. 图象形状：两个函数的$|a|=1$，图象形状完全相同，D选项特征相同，排除；
3. 对称轴：$y=ax^2+k$的对称轴都是$x=0$（y轴），B选项特征相同，排除；
4. 顶点坐标：顶点为$(0,k)$，函数$y=-x^2+3$的顶点是$(0,3)$，函数$y=-x^2-2$的顶点是$(0,-2)$，二者顶点不同，A符合题意。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象性质、二次函数顶点坐标
【点评】
本题是二次函数基础性质的考查，只要明确$y=ax^2+k$中参数$a$、$k$分别对应的图象特征，就能快速判断得出结果。
【难度系数】
0.9
解题思路：先回忆二次函数$y=ax^2+k(a≠0)$的图象性质：$a$的符号决定开口方向，$|a|$决定图象的形状，对称轴固定为$x=0$（y轴），顶点坐标为$(0,k)$。再对比两个函数的$a$、$k$取值，逐一判断各选项是否相同即可。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2+k(a≠0)$，逐项分析如下：
1. 开口方向：两个函数的$a=-1＜0$，开口都向下，C选项特征相同，排除；
2. 图象形状：两个函数的$|a|=1$，图象形状完全相同，D选项特征相同，排除；
3. 对称轴：$y=ax^2+k$的对称轴都是$x=0$（y轴），B选项特征相同，排除；
4. 顶点坐标：顶点为$(0,k)$，函数$y=-x^2+3$的顶点是$(0,3)$，函数$y=-x^2-2$的顶点是$(0,-2)$，二者顶点不同，A符合题意。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象性质、二次函数顶点坐标
【点评】
本题是二次函数基础性质的考查，只要明确$y=ax^2+k$中参数$a$、$k$分别对应的图象特征，就能快速判断得出结果。
【难度系数】
0.9
8. (★★)已知$A(-2,y_1),B(-1,y_2),C(3,y_3)$三点都在抛物线$y=2x^2 - 3$上，则$y_1,y_2,y_3$的大小关系是
【 】
A.$y_3 ＜ y_2 ＜ y_1$
B.$y_1 ＜ y_2 ＜ y_3$
C.$y_2 ＜ y_1 ＜ y_3$
D.$y_3 ＜ y_1 ＜ y_2$
【 】
A.$y_3 ＜ y_2 ＜ y_1$
B.$y_1 ＜ y_2 ＜ y_3$
C.$y_2 ＜ y_1 ＜ y_3$
D.$y_3 ＜ y_1 ＜ y_2$
答案
C
解析
【分析】
本题可通过两种思路求解：思路一，直接将三个点的横坐标代入抛物线解析式，分别计算出$y_1、y_2、y_3$的数值，再比较大小；思路二，利用二次函数的性质判断：该抛物线开口向上，对称轴为y轴，在抛物线上的点，横坐标距离对称轴越远，对应的函数值越大，只需计算三个点横坐标到对称轴的距离即可比较y值大小。
【解析】
方法一：代入计算法
将$A(-2,y_1)$代入$y=2x^2 - 3$得：$y_1=2×(-2)^2 - 3=8-3=5$
将$B(-1,y_2)$代入$y=2x^2 - 3$得：$y_2=2×(-1)^2 - 3=2-3=-1$
将$C(3,y_3)$代入$y=2x^2 - 3$得：$y_3=2×3^2 - 3=18-3=15$
$\because -1＜5＜15$
$\therefore y_2＜y_1＜y_3$
方法二：性质判断法
抛物线$y=2x^2 - 3$中，$a=2＞0$，因此抛物线开口向上，对称轴为直线$x=0$（y轴）
开口向上的抛物线上的点，横坐标到对称轴的距离越远，对应的函数值越大
三点横坐标到对称轴的距离分别为：$|-2-0|=2$，$|-1-0|=1$，$|3-0|=3$
$\because 1＜2＜3$
$\therefore y_2＜y_1＜y_3$
【答案】
C
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数的基础常考题，两种解题方法都需要熟练掌握，代入法思路直接不易出错，性质法解题速度更快，可根据自身情况灵活选择。
【难度系数】
0.8
本题可通过两种思路求解：思路一，直接将三个点的横坐标代入抛物线解析式，分别计算出$y_1、y_2、y_3$的数值，再比较大小；思路二，利用二次函数的性质判断：该抛物线开口向上，对称轴为y轴，在抛物线上的点，横坐标距离对称轴越远，对应的函数值越大，只需计算三个点横坐标到对称轴的距离即可比较y值大小。
【解析】
方法一：代入计算法
将$A(-2,y_1)$代入$y=2x^2 - 3$得：$y_1=2×(-2)^2 - 3=8-3=5$
将$B(-1,y_2)$代入$y=2x^2 - 3$得：$y_2=2×(-1)^2 - 3=2-3=-1$
将$C(3,y_3)$代入$y=2x^2 - 3$得：$y_3=2×3^2 - 3=18-3=15$
$\because -1＜5＜15$
$\therefore y_2＜y_1＜y_3$
方法二：性质判断法
抛物线$y=2x^2 - 3$中，$a=2＞0$，因此抛物线开口向上，对称轴为直线$x=0$（y轴）
开口向上的抛物线上的点，横坐标到对称轴的距离越远，对应的函数值越大
三点横坐标到对称轴的距离分别为：$|-2-0|=2$，$|-1-0|=1$，$|3-0|=3$
$\because 1＜2＜3$
$\therefore y_2＜y_1＜y_3$
【答案】
C
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数的基础常考题，两种解题方法都需要熟练掌握，代入法思路直接不易出错，性质法解题速度更快，可根据自身情况灵活选择。
【难度系数】
0.8
9. (★★)已知二次函数$y=x^2+1$，当自变量$x$的取值范围是$-1＜x＜3$时，函数值$y$的取值范围为。
答案
解：
对于二次函数$y=x^2+1$，
二次项系数$a=1＞0$，抛物线开口向上，对称轴为直线$x=0$，顶点坐标为$(0,1)$。
∴当$x=0$时，$y$取得最小值，为$1$。
当$x=-1$时，$y=(-1)^2+1=2$；
当$x=3$时，$y=3^2+1=10$。
∵$-1＜x＜3$，
∴函数值$y$的取值范围是$1≤ y＜10$。
对于二次函数$y=x^2+1$，
二次项系数$a=1＞0$，抛物线开口向上，对称轴为直线$x=0$，顶点坐标为$(0,1)$。
∴当$x=0$时，$y$取得最小值，为$1$。
当$x=-1$时，$y=(-1)^2+1=2$；
当$x=3$时，$y=3^2+1=10$。
∵$-1＜x＜3$，
∴函数值$y$的取值范围是$1≤ y＜10$。
解析
【分析】
遇到求二次函数在指定区间内函数值范围的问题时，首先要明确二次函数的开口方向、对称轴位置，以此判断函数的增减性和最值位置。本题中二次函数$y=x^2+1$的二次项系数为正，开口向上，对称轴为$x=0$，顶点是最低点，对应最小函数值。接下来判断给定的$x$范围$-1＜x＜3$包含对称轴$x=0$，因此最小值可取到顶点的$y$值$1$；再分别计算区间两个端点对应的函数值，结合开口向上时离对称轴越远函数值越大的规律确定最大值，同时注意$x$的区间是开区间，对应判断端点函数值是否可取，最终就能得到$y$的取值范围。
【解析】
对于二次函数$y=x^2+1$，二次项系数$a=1＞0$，抛物线开口向上，对称轴为直线$x=0$，顶点坐标为$(0,1)$。
∴当$x=0$时，$y$取得最小值，为$1$。
分别计算区间端点处的函数值：
当$x=-1$时，$y=(-1)^2+1=2$；
当$x=3$时，$y=3^2+1=10$。
∵自变量$x$的取值范围是$-1＜x＜3$（开区间，端点值取不到），且开口向上时离对称轴越远函数值越大，
∴函数值$y$的取值范围是$1≤ y＜10$。
【答案】
$1≤ y＜10$
【知识点】
二次函数的图象与性质；区间内函数取值范围求解
【点评】
本题属于二次函数基础应用题型，重点考查对二次函数开口方向、对称轴、增减性的理解与运用，解题时需特别注意自变量的区间开闭类型，准确判断对应函数值的可取值情况，避免因忽略区间属性导致错误。
【难度系数】
0.7
遇到求二次函数在指定区间内函数值范围的问题时，首先要明确二次函数的开口方向、对称轴位置，以此判断函数的增减性和最值位置。本题中二次函数$y=x^2+1$的二次项系数为正，开口向上，对称轴为$x=0$，顶点是最低点，对应最小函数值。接下来判断给定的$x$范围$-1＜x＜3$包含对称轴$x=0$，因此最小值可取到顶点的$y$值$1$；再分别计算区间两个端点对应的函数值，结合开口向上时离对称轴越远函数值越大的规律确定最大值，同时注意$x$的区间是开区间，对应判断端点函数值是否可取，最终就能得到$y$的取值范围。
【解析】
对于二次函数$y=x^2+1$，二次项系数$a=1＞0$，抛物线开口向上，对称轴为直线$x=0$，顶点坐标为$(0,1)$。
∴当$x=0$时，$y$取得最小值，为$1$。
分别计算区间端点处的函数值：
当$x=-1$时，$y=(-1)^2+1=2$；
当$x=3$时，$y=3^2+1=10$。
∵自变量$x$的取值范围是$-1＜x＜3$（开区间，端点值取不到），且开口向上时离对称轴越远函数值越大，
∴函数值$y$的取值范围是$1≤ y＜10$。
【答案】
$1≤ y＜10$
【知识点】
二次函数的图象与性质；区间内函数取值范围求解
【点评】
本题属于二次函数基础应用题型，重点考查对二次函数开口方向、对称轴、增减性的理解与运用，解题时需特别注意自变量的区间开闭类型，准确判断对应函数值的可取值情况，避免因忽略区间属性导致错误。
【难度系数】
0.7
10. (★) 将抛物线 $y=x^{2}+1$ 向下平移 2 个单位长度,所得抛物线对应的函数解析式是.
答案
解：根据抛物线平移“上加下减”的规律，将抛物线$y=x^2+1$向下平移2个单位长度，在原函数解析式的整体右侧减去2，可得：
$y = x^2 + 1 - 2$
化简得所得抛物线对应的函数解析式为$\boldsymbol{y=x^2 -1}$。
$y = x^2 + 1 - 2$
化简得所得抛物线对应的函数解析式为$\boldsymbol{y=x^2 -1}$。
解析
【分析】
解决这道题首先要回忆二次函数图象上下平移的变化规律：上下平移是对函数的整体函数值进行调整，遵循“上加下减”的原则，即向上平移n个单位就在原解析式整体后加n，向下平移n个单位就在原解析式整体后减n。本题要求向下平移2个单位，只需在原函数解析式的基础上整体减去2，再化简即可得到结果。
【解析】
根据二次函数图象平移“上加下减”的规律，将抛物线$y=x^2+1$向下平移2个单位长度，需在原函数解析式的右侧整体减去2，可得：
$y = x^2 + 1 - 2$
化简后得所得抛物线对应的函数解析式为$y=x^2 -1$。
【答案】
$y=x^2 -1$
【知识点】
二次函数图象平移；函数平移规律
【点评】
本题属于基础题，主要考查二次函数的平移变换，熟练掌握“上加下减、左加右减”的平移口诀即可快速求解，是对基础知识点的直接应用。
【难度系数】
0.9
解决这道题首先要回忆二次函数图象上下平移的变化规律：上下平移是对函数的整体函数值进行调整，遵循“上加下减”的原则，即向上平移n个单位就在原解析式整体后加n，向下平移n个单位就在原解析式整体后减n。本题要求向下平移2个单位，只需在原函数解析式的基础上整体减去2，再化简即可得到结果。
【解析】
根据二次函数图象平移“上加下减”的规律，将抛物线$y=x^2+1$向下平移2个单位长度，需在原函数解析式的右侧整体减去2，可得：
$y = x^2 + 1 - 2$
化简后得所得抛物线对应的函数解析式为$y=x^2 -1$。
【答案】
$y=x^2 -1$
【知识点】
二次函数图象平移；函数平移规律
【点评】
本题属于基础题，主要考查二次函数的平移变换，熟练掌握“上加下减、左加右减”的平移口诀即可快速求解，是对基础知识点的直接应用。
【难度系数】
0.9
11. (★)下列关于抛物线$y=-x^2+2$的说法正确的是 【 】
A.抛物线开口向上
B.在对称轴的右侧，$y$随$x$的增大而增大
C.顶点为$(-1,2)$
D.当$x=0$时，$y$有最大值，是2
A.抛物线开口向上
B.在对称轴的右侧，$y$随$x$的增大而增大
C.顶点为$(-1,2)$
D.当$x=0$时，$y$有最大值，是2
答案
D
解析
【分析】
要判断关于抛物线的说法是否正确，需先明确二次函数$y=ax^2+k$的基本性质：根据$a$的正负判断开口方向，再结合对称轴分析增减性、顶点坐标、最值，逐一验证每个选项即可。
【解析】
对于抛物线$y=-x^2+2$，其中$a=-1$，$b=0$，$c=2$：
1. 分析选项A：$\because a=-1＜0$，$\therefore$抛物线开口向下，A错误；
2. 分析选项B：抛物线对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=0$（即$y$轴），开口向下的抛物线，在对称轴右侧（$x＞0$时），$y$随$x$的增大而减小，B错误；
3. 分析选项C：将$x=0$代入解析式得$y=2$，$\therefore$顶点坐标为$(0,2)$，C错误；
4. 分析选项D：$\because$抛物线开口向下，顶点为最高点，$\therefore$当$x=0$时，$y$有最大值为2，D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的开口方向；二次函数的增减性；二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，熟练掌握形如$y=ax^2+k$的二次函数的各项基本性质即可快速判断对错，解题时结合图像辅助分析会更直观。
【难度系数】
0.8
要判断关于抛物线的说法是否正确，需先明确二次函数$y=ax^2+k$的基本性质：根据$a$的正负判断开口方向，再结合对称轴分析增减性、顶点坐标、最值，逐一验证每个选项即可。
【解析】
对于抛物线$y=-x^2+2$，其中$a=-1$，$b=0$，$c=2$：
1. 分析选项A：$\because a=-1＜0$，$\therefore$抛物线开口向下，A错误；
2. 分析选项B：抛物线对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=0$（即$y$轴），开口向下的抛物线，在对称轴右侧（$x＞0$时），$y$随$x$的增大而减小，B错误；
3. 分析选项C：将$x=0$代入解析式得$y=2$，$\therefore$顶点坐标为$(0,2)$，C错误；
4. 分析选项D：$\because$抛物线开口向下，顶点为最高点，$\therefore$当$x=0$时，$y$有最大值为2，D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的开口方向；二次函数的增减性；二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，熟练掌握形如$y=ax^2+k$的二次函数的各项基本性质即可快速判断对错，解题时结合图像辅助分析会更直观。
【难度系数】
0.8
