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3. (★)若$|k|=-k(k≠0)$，则反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象在【】
A.第一、第二象限
B.第一、第三象限
C.第二、第四象限
D.第三、第四象限
A.第一、第二象限
B.第一、第三象限
C.第二、第四象限
D.第三、第四象限
答案
C
解析
【分析】
解题时按照两步思路推导：第一步先根据已知的绝对值等式判断k的正负性，这是解题的突破口，回忆绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，结合题中k≠0的条件，可确定k的符号；第二步再结合反比例函数图象的分布规律，由k的符号判断图象所在象限，即可得到答案。
【解析】
1. 确定k的符号：
已知$\vert k\vert=-k$且$k≠0$，根据绝对值的性质，只有负数的绝对值是它的相反数，因此可得$k＜0$。
2. 判断反比例函数图象的位置：
对于反比例函数$y=\frac{k}{x}$，当比例系数$k＜0$时，函数图象的两个分支分别位于第二、第四象限。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
绝对值的性质；反比例函数的图象与系数的关系
【点评】
本题是基础题型，综合考查绝对值性质和反比例函数的基础性质，只要熟练掌握相关概念就能快速解答。
【难度系数】
0.8
解题时按照两步思路推导：第一步先根据已知的绝对值等式判断k的正负性，这是解题的突破口，回忆绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，结合题中k≠0的条件，可确定k的符号；第二步再结合反比例函数图象的分布规律，由k的符号判断图象所在象限，即可得到答案。
【解析】
1. 确定k的符号：
已知$\vert k\vert=-k$且$k≠0$，根据绝对值的性质，只有负数的绝对值是它的相反数，因此可得$k＜0$。
2. 判断反比例函数图象的位置：
对于反比例函数$y=\frac{k}{x}$，当比例系数$k＜0$时，函数图象的两个分支分别位于第二、第四象限。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
绝对值的性质；反比例函数的图象与系数的关系
【点评】
本题是基础题型，综合考查绝对值性质和反比例函数的基础性质，只要熟练掌握相关概念就能快速解答。
【难度系数】
0.8
4. (★★)已知点$A(-1,y_1)$，$B(a,y_2)$在反比例函数$y=\dfrac{1}{x}$的图象上.如果$y_2＞y_1$，那么$a$的取值范围是
【 】
A.$a＜-1$或$a＞0$
B.$-1＜a＜0$
C.$a＞0$
D.$a＜-1$
【 】
A.$a＜-1$或$a＞0$
B.$-1＜a＜0$
C.$a＞0$
D.$a＜-1$
答案
A
解析
【分析】
解题时首先回忆反比例函数的基本性质，先求出点A对应的函数值$y_1$，再结合反比例函数的图象分布和增减性，分点B在第一象限、第三象限两种情况讨论，根据$y_2＞y_1$的条件分别推导$a$的取值范围，最后综合两类情况得到最终结果，注意反比例函数的增减性仅在每个象限内成立，不可跨象限直接用。
【解析】
1. 先计算$y_1$的值：
将点$A(-1,y_1)$代入$y=\dfrac{1}{x}$，得$y_1=\dfrac{1}{-1}=-1$。
2. 分析反比例函数性质：
反比例函数$y=\dfrac{1}{x}$中$k=1＞0$，因此图象分布在第一、三象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。
3. 分情况讨论点$B$的位置：
① 当点$B$在第一象限时，横坐标$a＞0$，此时对应的函数值$y_2＞0$，显然$0＞-1$，即$y_2＞y_1$，符合题意，故$a＞0$满足要求；
② 当点$B$在第三象限时，横坐标$a＜0$，该象限内$y$随$x$的增大而减小，若$y_2＞y_1$，则对应横坐标$a＜-1$（$y$值越大，对应的$x$值越小），故$a＜-1$满足要求。
综上，$a$的取值范围是$a＜-1$或$a＞0$。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的图象与性质；反比例函数上点的坐标特征
【点评】
本题重点考查反比例函数性质的应用，解题的易错点是忽略反比例函数增减性的适用范围，直接跨象限比较大小导致漏解，分象限讨论是解决这类问题的常用方法。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆反比例函数的基本性质，先求出点A对应的函数值$y_1$，再结合反比例函数的图象分布和增减性，分点B在第一象限、第三象限两种情况讨论，根据$y_2＞y_1$的条件分别推导$a$的取值范围，最后综合两类情况得到最终结果，注意反比例函数的增减性仅在每个象限内成立，不可跨象限直接用。
【解析】
1. 先计算$y_1$的值：
将点$A(-1,y_1)$代入$y=\dfrac{1}{x}$，得$y_1=\dfrac{1}{-1}=-1$。
2. 分析反比例函数性质：
反比例函数$y=\dfrac{1}{x}$中$k=1＞0$，因此图象分布在第一、三象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。
3. 分情况讨论点$B$的位置：
① 当点$B$在第一象限时，横坐标$a＞0$，此时对应的函数值$y_2＞0$，显然$0＞-1$，即$y_2＞y_1$，符合题意，故$a＞0$满足要求；
② 当点$B$在第三象限时，横坐标$a＜0$，该象限内$y$随$x$的增大而减小，若$y_2＞y_1$，则对应横坐标$a＜-1$（$y$值越大，对应的$x$值越小），故$a＜-1$满足要求。
综上，$a$的取值范围是$a＜-1$或$a＞0$。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的图象与性质；反比例函数上点的坐标特征
【点评】
本题重点考查反比例函数性质的应用，解题的易错点是忽略反比例函数增减性的适用范围，直接跨象限比较大小导致漏解，分象限讨论是解决这类问题的常用方法。
【难度系数】
0.7
5. (★★)若点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3)$都在反比例函数$y=-\dfrac{10}{x}$的图象上，且$x_1＜x_2＜0＜x_3$，则$y_1,y_2,y_3$的大小关系是________（用“＜”连接）。
答案
解：
对于反比例函数$y=-\dfrac{10}{x}$，其中$k=-10＜0$，
∴该反比例函数的图象位于第二、四象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。
∵$x_1＜x_2＜0$，
∴点A、B都在第二象限，可得$0＜y_1＜y_2$。
∵$x_3＞0$，
∴点C在第四象限，可得$y_3＜0$。
∴$y_3＜y_1＜y_2$。
对于反比例函数$y=-\dfrac{10}{x}$，其中$k=-10＜0$，
∴该反比例函数的图象位于第二、四象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。
∵$x_1＜x_2＜0$，
∴点A、B都在第二象限，可得$0＜y_1＜y_2$。
∵$x_3＞0$，
∴点C在第四象限，可得$y_3＜0$。
∴$y_3＜y_1＜y_2$。
解析
【分析】
要比较三个点的纵坐标大小，解题思路分为三步：第一步先根据反比例函数的比例系数k的正负，判断函数图象所在象限以及增减性；第二步根据三个点横坐标的正负，确定点所在的象限，第二象限内点的纵坐标为正，第四象限内点的纵坐标为负，由此可先判断出最小的y值；第三步再利用同一象限内函数的增减性，比较第二象限内两个点的纵坐标大小，最终整合得到三者的大小关系。
【解析】
对于反比例函数$y=-\dfrac{10}{x}$，其中$k=-10＜0$，
∴该反比例函数的图象位于第二、四象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。
∵$x_1＜x_2＜0$，
∴点A、B都在第二象限，可得$0＜y_1＜y_2$。
∵$x_3＞0$，
∴点C在第四象限，可得$y_3＜0$。
∴$y_3＜y_1＜y_2$。
【答案】
$y_3＜y_1＜y_2$
【知识点】
反比例函数的性质、反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数性质的基础应用题，解题时要注意反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，需先分象限判断函数值的正负，再比较同象限内函数值的大小，避免直接套用增减性跨象限比较出错。
【难度系数】
0.75
要比较三个点的纵坐标大小，解题思路分为三步：第一步先根据反比例函数的比例系数k的正负，判断函数图象所在象限以及增减性；第二步根据三个点横坐标的正负，确定点所在的象限，第二象限内点的纵坐标为正，第四象限内点的纵坐标为负，由此可先判断出最小的y值；第三步再利用同一象限内函数的增减性，比较第二象限内两个点的纵坐标大小，最终整合得到三者的大小关系。
【解析】
对于反比例函数$y=-\dfrac{10}{x}$，其中$k=-10＜0$，
∴该反比例函数的图象位于第二、四象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。
∵$x_1＜x_2＜0$，
∴点A、B都在第二象限，可得$0＜y_1＜y_2$。
∵$x_3＞0$，
∴点C在第四象限，可得$y_3＜0$。
∴$y_3＜y_1＜y_2$。
【答案】
$y_3＜y_1＜y_2$
【知识点】
反比例函数的性质、反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数性质的基础应用题，解题时要注意反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，需先分象限判断函数值的正负，再比较同象限内函数值的大小，避免直接套用增减性跨象限比较出错。
【难度系数】
0.75
6. (★)视野角度是指汽车在道路上行驶时,驾驶人员目视前方左右两侧视线所构成的夹角,其值与车速有关.随着车速的增加,驾驶人员的视野会逐渐变窄,导致两侧的视野范围逐渐缩小,视野角度f(单位:度)与车速v(单位:km/h)成反比例函数关系,它的函数图象如图所示.当车速为100 km/h时,视野角度f为度.
答案
$\boldsymbol{40}$
解析
【分析】
已知视野角度f与车速v成反比例函数关系，解题思路为：首先设出反比例函数的一般形式，再利用图象给出的v=50、f=80这组对应值，用待定系数法求出反比例函数的常数k，得到完整的函数解析式，最后将v=100代入解析式即可求出对应的f值。
【解析】
∵ 视野角度f与车速v成反比例函数关系，
∴ 设反比例函数的解析式为$ f=\frac{k}{v} $（$ k≠0 $，k为常数）。
将$ v=50 $，$ f=80 $代入解析式得：
$ 80=\frac{k}{50} $，
解得$ k=80×50=4000 $，
∴ 函数解析式为$ f=\frac{4000}{v} $。
当$ v=100\ \mathrm{km/h} $时，代入解析式得：
$ f=\frac{4000}{100}=40 $（度）。
【答案】
$\boldsymbol{40}$
【知识点】
反比例函数定义；待定系数法；反比例函数应用
【点评】
本题是反比例函数在实际生活中的应用问题，解题核心是熟练运用待定系数法求出反比例函数解析式，再代入对应自变量求解函数值，注重对基础知识点的考查。
【难度系数】
0.8
已知视野角度f与车速v成反比例函数关系，解题思路为：首先设出反比例函数的一般形式，再利用图象给出的v=50、f=80这组对应值，用待定系数法求出反比例函数的常数k，得到完整的函数解析式，最后将v=100代入解析式即可求出对应的f值。
【解析】
∵ 视野角度f与车速v成反比例函数关系，
∴ 设反比例函数的解析式为$ f=\frac{k}{v} $（$ k≠0 $，k为常数）。
将$ v=50 $，$ f=80 $代入解析式得：
$ 80=\frac{k}{50} $，
解得$ k=80×50=4000 $，
∴ 函数解析式为$ f=\frac{4000}{v} $。
当$ v=100\ \mathrm{km/h} $时，代入解析式得：
$ f=\frac{4000}{100}=40 $（度）。
【答案】
$\boldsymbol{40}$
【知识点】
反比例函数定义；待定系数法；反比例函数应用
【点评】
本题是反比例函数在实际生活中的应用问题，解题核心是熟练运用待定系数法求出反比例函数解析式，再代入对应自变量求解函数值，注重对基础知识点的考查。
【难度系数】
0.8
7. (★★)某城市新能源汽车销售商推出分期付款购车促销活动，交付首付款后，若余款在60个月内结清，则不计算利息.张先生在该销售商手上购买了一辆价值为20万元的新能源汽车，交了首付款后余款由平均每月付款$y$万元，$x$个月结清.$y$与$x$满足反比例函数关系，其部分对应值如下表，请回答下列问题.
(1)确定$y$关于$x$的函数解析式，并求出首付款.
(2)若张先生用40个月结清，则他平均每月应付多少万元?
(3)如果张先生希望不被加利息，那么他每个月至少要还多少钱?(保留两位小数)
(1)确定$y$关于$x$的函数解析式，并求出首付款.
(2)若张先生用40个月结清，则他平均每月应付多少万元?
(3)如果张先生希望不被加利息，那么他每个月至少要还多少钱?(保留两位小数)
答案
解：
(1) 设$y$关于$x$的反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，
将$x=2$，$y=7$代入解析式，得$7=\frac{k}{2}$，解得$k=14$。
验证：将$x=4,7,10$分别代入$y=\frac{14}{x}$，对应$y$值分别为$3.5,2,1.4$，均与表格数据吻合。
因此$y$关于$x$的函数解析式为$\boldsymbol{y=\frac{14}{x}(x＞0)}$。
余款总额为14万元，首付款为$20-14=6$（万元）。
(2) 将$x=40$代入$y=\frac{14}{x}$，得$y=\frac{14}{40}=0.35$。
答：他平均每月应付0.35万元。
(3) 由题意，不计算利息要求$x≤60$，
在$y=\frac{14}{x}$中，$k=14＞0$，当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小，
因此当$x=60$时，$y$取得最小值，$y=\frac{14}{60}\approx0.23$。
答：他每个月至少要还约0.23万元。
(1) 设$y$关于$x$的反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，
将$x=2$，$y=7$代入解析式，得$7=\frac{k}{2}$，解得$k=14$。
验证：将$x=4,7,10$分别代入$y=\frac{14}{x}$，对应$y$值分别为$3.5,2,1.4$，均与表格数据吻合。
因此$y$关于$x$的函数解析式为$\boldsymbol{y=\frac{14}{x}(x＞0)}$。
余款总额为14万元，首付款为$20-14=6$（万元）。
(2) 将$x=40$代入$y=\frac{14}{x}$，得$y=\frac{14}{40}=0.35$。
答：他平均每月应付0.35万元。
(3) 由题意，不计算利息要求$x≤60$，
在$y=\frac{14}{x}$中，$k=14＞0$，当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小，
因此当$x=60$时，$y$取得最小值，$y=\frac{14}{60}\approx0.23$。
答：他每个月至少要还约0.23万元。
解析
【分析】
本题考查反比例函数的实际应用，解题思路如下：
(1) 已知y与x是反比例函数关系，先设出反比例函数的一般形式$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，选取表格中一组x、y的对应值代入求出k值，再用其余数据验证解析式的正确性；解析式中的k值就是余款总额，用总车价减去余款即可得到首付款。
(2) 第二问已知结清时间x=40，直接将x代入已求出的反比例函数解析式，计算得到对应的y值即可。
(3) 第三问不被加息的条件是结清时间$x≤60$，结合反比例函数的增减性：当$k＞0$时，$x＞0$范围内y随x的增大而减小，因此x取最大值60时y取得最小值，该值就是每月至少要还的金额。
【解析】
(1) 设$y$关于$x$的反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，
将$x=2$，$y=7$代入解析式，得$7=\frac{k}{2}$，解得$k=14$。
验证：将$x=4、7、10$分别代入$y=\frac{14}{x}$，对应$y$值分别为$3.5、2、1.4$，均与表格数据吻合。
因此$y$关于$x$的函数解析式为$\boldsymbol{y=\frac{14}{x}(x＞0)}$。
余款总额为14万元，首付款为$20-14=6$（万元）。
(2) 将$x=40$代入$y=\frac{14}{x}$，得$y=\frac{14}{40}=0.35$。
答：他平均每月应付0.35万元。
(3) 由题意，不计算利息要求$x≤60$，
在$y=\frac{14}{x}$中，$k=14＞0$，当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小，
因此当$x=60$时，$y$取得最小值，$y=\frac{14}{60}\approx0.23$。
答：他每个月至少要还约0.23万元。
【答案】
(1) 函数解析式为$y=\frac{14}{x}(x＞0)$，首付款为6万元；
(2) 平均每月应付0.35万元；
(3) 每个月至少要还约0.23万元。
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的性质；反比例函数的实际应用
【点评】
本题结合生活中购车分期付款的场景考查反比例函数的应用，解题核心是先利用待定系数法确定函数解析式，再结合函数增减性求解最值问题，贴近生活实际，能有效锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
本题考查反比例函数的实际应用，解题思路如下：
(1) 已知y与x是反比例函数关系，先设出反比例函数的一般形式$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，选取表格中一组x、y的对应值代入求出k值，再用其余数据验证解析式的正确性；解析式中的k值就是余款总额，用总车价减去余款即可得到首付款。
(2) 第二问已知结清时间x=40，直接将x代入已求出的反比例函数解析式，计算得到对应的y值即可。
(3) 第三问不被加息的条件是结清时间$x≤60$，结合反比例函数的增减性：当$k＞0$时，$x＞0$范围内y随x的增大而减小，因此x取最大值60时y取得最小值，该值就是每月至少要还的金额。
【解析】
(1) 设$y$关于$x$的反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，
将$x=2$，$y=7$代入解析式，得$7=\frac{k}{2}$，解得$k=14$。
验证：将$x=4、7、10$分别代入$y=\frac{14}{x}$，对应$y$值分别为$3.5、2、1.4$，均与表格数据吻合。
因此$y$关于$x$的函数解析式为$\boldsymbol{y=\frac{14}{x}(x＞0)}$。
余款总额为14万元，首付款为$20-14=6$（万元）。
(2) 将$x=40$代入$y=\frac{14}{x}$，得$y=\frac{14}{40}=0.35$。
答：他平均每月应付0.35万元。
(3) 由题意，不计算利息要求$x≤60$，
在$y=\frac{14}{x}$中，$k=14＞0$，当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小，
因此当$x=60$时，$y$取得最小值，$y=\frac{14}{60}\approx0.23$。
答：他每个月至少要还约0.23万元。
【答案】
(1) 函数解析式为$y=\frac{14}{x}(x＞0)$，首付款为6万元；
(2) 平均每月应付0.35万元；
(3) 每个月至少要还约0.23万元。
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的性质；反比例函数的实际应用
【点评】
本题结合生活中购车分期付款的场景考查反比例函数的应用，解题核心是先利用待定系数法确定函数解析式，再结合函数增减性求解最值问题，贴近生活实际，能有效锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
