登录
8. (★★)如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,△ABO为等腰直角三角形.直角顶点A的坐标为(-1,3),点B在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＜0)$的图象上,则k的值为.
答案
$\boldsymbol{-8}$
解析
【分析】
要求反比例函数中k的值，需先求出点B的坐标。已知△ABO是等腰直角三角形，直角顶点为A，因此可通过作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的性质结合点A的坐标推导出点B的坐标，再代入反比例函数解析式即可求出k。
【解析】
过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥AC，交AC的延长线于点D。
∵△ABO为等腰直角三角形，直角顶点为A，
∴∠OAB=90°，OA=AB，
∴∠OAC + ∠BAD = 90°。
又
∵∠OAC + ∠AOC = 90°，
∴∠BAD=∠AOC。
在△ABD和△OAC中：
$\{\begin{array}{l}∠ADB=∠OCA=90° \\∠BAD=∠AOC \\AB=OA\end{array} $
∴△ABD≌△OAC（AAS）。
∵点A的坐标为(-1,3)，
∴OC=1，AC=3。
由全等三角形性质得：AD=OC=1，BD=AC=3。
∴点B的横坐标为$-1 - 3 = -4$，纵坐标为$3 - 1 = 2$，即B(-4,2)。
将B(-4,2)代入$y=\frac{k}{x}$得：$k=xy=(-4)×2=-8$。
【答案】
$\boldsymbol{-8}$
【知识点】
等腰直角三角形的性质；全等三角形的判定与性质；反比例函数系数k的求法
【点评】
本题是几何与反比例函数的综合基础题，解题的关键是合理构造全等三角形，将已知点的坐标转化为未知点的坐标，考查了学生数形结合的应用能力。
【难度系数】
0.6
要求反比例函数中k的值，需先求出点B的坐标。已知△ABO是等腰直角三角形，直角顶点为A，因此可通过作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的性质结合点A的坐标推导出点B的坐标，再代入反比例函数解析式即可求出k。
【解析】
过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥AC，交AC的延长线于点D。
∵△ABO为等腰直角三角形，直角顶点为A，
∴∠OAB=90°，OA=AB，
∴∠OAC + ∠BAD = 90°。
又
∵∠OAC + ∠AOC = 90°，
∴∠BAD=∠AOC。
在△ABD和△OAC中：
$\{\begin{array}{l}∠ADB=∠OCA=90° \\∠BAD=∠AOC \\AB=OA\end{array} $
∴△ABD≌△OAC（AAS）。
∵点A的坐标为(-1,3)，
∴OC=1，AC=3。
由全等三角形性质得：AD=OC=1，BD=AC=3。
∴点B的横坐标为$-1 - 3 = -4$，纵坐标为$3 - 1 = 2$，即B(-4,2)。
将B(-4,2)代入$y=\frac{k}{x}$得：$k=xy=(-4)×2=-8$。
【答案】
$\boldsymbol{-8}$
【知识点】
等腰直角三角形的性质；全等三角形的判定与性质；反比例函数系数k的求法
【点评】
本题是几何与反比例函数的综合基础题，解题的关键是合理构造全等三角形，将已知点的坐标转化为未知点的坐标，考查了学生数形结合的应用能力。
【难度系数】
0.6
9. (★★)某校开放周筹备期间,小杨接到一项任务:将一批纪念徽章分发给志愿者.他们发现,每天分发的数量与分发天数成反比例关系.已知若每天分发50枚,则恰好按计划天数完成;若每天分发75枚,则可以提前2天完成.请写出每天分发数量y(单位:枚)与分发时间x(单位:天)之间的函数解析式:.
答案
解：
∵ 每天分发数量$ y $与分发时间$ x $成反比例关系，
∴ 设函数解析式为 $ y = \frac{k}{x} $（$ k ≠ 0 $，$ x ＞ 0 $）。
纪念徽章总数量为定值$ k $，根据题意列方程：
$\frac{k}{50} - \frac{k}{75} = 2$
通分计算：
$\frac{3k - 2k}{150} = 2$
解得 $ k = 300 $。
∴ 所求函数解析式为 $ \boldsymbol{y = \frac{300}{x} \ (x＞0)} $。
∵ 每天分发数量$ y $与分发时间$ x $成反比例关系，
∴ 设函数解析式为 $ y = \frac{k}{x} $（$ k ≠ 0 $，$ x ＞ 0 $）。
纪念徽章总数量为定值$ k $，根据题意列方程：
$\frac{k}{50} - \frac{k}{75} = 2$
通分计算：
$\frac{3k - 2k}{150} = 2$
解得 $ k = 300 $。
∴ 所求函数解析式为 $ \boldsymbol{y = \frac{300}{x} \ (x＞0)} $。
解析
【分析】
首先根据题目给出的“每天分发的数量与分发天数成反比例关系”，可确定函数类型为反比例函数，先设出反比例函数的一般形式$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，其中k为纪念徽章的总数量，是固定值。接下来结合两种分发方案的天数差为2天建立等量关系：每天分发50枚所需的总天数减去每天分发75枚所需的总天数等于2，将用k表示的天数代入等量关系列方程，求解得到k的值后，代入所设解析式即可得到最终函数关系式，注意要结合实际意义标注自变量x的取值范围。
【解析】
∵ 每天分发数量$ y $与分发时间$ x $成反比例关系，
∴ 设函数解析式为 $ y = \frac{k}{x} $（$ k ≠ 0 $，$ x ＞ 0 $），其中k为纪念徽章的总数量，为定值。
根据两种分发方案的天数差为2天，列方程：
$\frac{k}{50} - \frac{k}{75} = 2$
通分计算得：
$\frac{3k - 2k}{150} = 2$
解得 $ k = 300 $。
将$k=300$代入所设解析式，可得所求函数解析式为 $ y = \frac{300}{x} \ (x＞0) $。
【答案】
$\boldsymbol{y = \frac{300}{x} \ (x＞0)}$
【知识点】
反比例函数的概念；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【点评】
本题结合生活场景考查反比例函数的应用，解题核心是抓住徽章总数量不变这一隐含定值，通过题目给出的天数差建立方程求解反比例系数，解题时要注意自变量的取值范围需符合实际意义，整体解题逻辑清晰，难度适中。
【难度系数】
0.7
首先根据题目给出的“每天分发的数量与分发天数成反比例关系”，可确定函数类型为反比例函数，先设出反比例函数的一般形式$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，其中k为纪念徽章的总数量，是固定值。接下来结合两种分发方案的天数差为2天建立等量关系：每天分发50枚所需的总天数减去每天分发75枚所需的总天数等于2，将用k表示的天数代入等量关系列方程，求解得到k的值后，代入所设解析式即可得到最终函数关系式，注意要结合实际意义标注自变量x的取值范围。
【解析】
∵ 每天分发数量$ y $与分发时间$ x $成反比例关系，
∴ 设函数解析式为 $ y = \frac{k}{x} $（$ k ≠ 0 $，$ x ＞ 0 $），其中k为纪念徽章的总数量，为定值。
根据两种分发方案的天数差为2天，列方程：
$\frac{k}{50} - \frac{k}{75} = 2$
通分计算得：
$\frac{3k - 2k}{150} = 2$
解得 $ k = 300 $。
将$k=300$代入所设解析式，可得所求函数解析式为 $ y = \frac{300}{x} \ (x＞0) $。
【答案】
$\boldsymbol{y = \frac{300}{x} \ (x＞0)}$
【知识点】
反比例函数的概念；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【点评】
本题结合生活场景考查反比例函数的应用，解题核心是抓住徽章总数量不变这一隐含定值，通过题目给出的天数差建立方程求解反比例系数，解题时要注意自变量的取值范围需符合实际意义，整体解题逻辑清晰，难度适中。
【难度系数】
0.7
10. (★★)已知反比例函数$y=-\frac{1}{x}$的图象上有两点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，且$x_1＜x_2$，那么下列结论正确的是
【】
A.$y_1＜y_2$
B.$y_1＞y_2$
C.$y_1=y_2$
D.$y_1$与$y_2$之间的大小关系不能确定
【】
A.$y_1＜y_2$
B.$y_1＞y_2$
C.$y_1=y_2$
D.$y_1$与$y_2$之间的大小关系不能确定
答案
D
解析
【分析】
要判断反比例函数上两点的函数值大小，首先需明确反比例函数的性质：对于反比例函数$y=\frac{k}{x}$，$k＜0$时图象在第二、四象限，且在每个象限内$y$随$x$的增大而增大，注意增减性的前提是在同一象限内。本题仅给出$x_1＜x_2$，未说明两点是否在同一象限，因此需要分情况讨论两点的位置，再比较$y_1$和$y_2$的大小。
【解析】
已知反比例函数$y=-\frac{1}{x}$中$k=-1＜0$，因此该函数图象位于第二、四象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大，分三种情况讨论：
1. 当$x_1＜x_2＜0$时，点$A$、$B$均在第二象限，根据增减性可得$y_1＜y_2$；
2. 当$0＜x_1＜x_2$时，点$A$、$B$均在第四象限，根据增减性可得$y_1＜y_2$；
3. 当$x_1＜0＜x_2$时，点$A$在第二象限，$y_1＞0$，点$B$在第四象限，$y_2＜0$，此时$y_1＞y_2$。
由于题目仅给出$x_1＜x_2$，无法确定$x_1$、$x_2$是否同号，即无法判断两点是否在同一象限，因此$y_1$与$y_2$的大小关系不能确定。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的图象与性质；反比例函数的增减性
【点评】
本题的易错点是忽略反比例函数的增减性成立的前提是“在同一象限内”，直接根据$x$的大小关系判断$y$的大小。解题时需先明确两点是否在同一象限，分情况讨论后再判断函数值的大小关系。
【难度系数】
0.6
要判断反比例函数上两点的函数值大小，首先需明确反比例函数的性质：对于反比例函数$y=\frac{k}{x}$，$k＜0$时图象在第二、四象限，且在每个象限内$y$随$x$的增大而增大，注意增减性的前提是在同一象限内。本题仅给出$x_1＜x_2$，未说明两点是否在同一象限，因此需要分情况讨论两点的位置，再比较$y_1$和$y_2$的大小。
【解析】
已知反比例函数$y=-\frac{1}{x}$中$k=-1＜0$，因此该函数图象位于第二、四象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大，分三种情况讨论：
1. 当$x_1＜x_2＜0$时，点$A$、$B$均在第二象限，根据增减性可得$y_1＜y_2$；
2. 当$0＜x_1＜x_2$时，点$A$、$B$均在第四象限，根据增减性可得$y_1＜y_2$；
3. 当$x_1＜0＜x_2$时，点$A$在第二象限，$y_1＞0$，点$B$在第四象限，$y_2＜0$，此时$y_1＞y_2$。
由于题目仅给出$x_1＜x_2$，无法确定$x_1$、$x_2$是否同号，即无法判断两点是否在同一象限，因此$y_1$与$y_2$的大小关系不能确定。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的图象与性质；反比例函数的增减性
【点评】
本题的易错点是忽略反比例函数的增减性成立的前提是“在同一象限内”，直接根据$x$的大小关系判断$y$的大小。解题时需先明确两点是否在同一象限，分情况讨论后再判断函数值的大小关系。
【难度系数】
0.6
11. (★★)函数$y=(m-2)x^{m^2 -5}$，其中y是x的反比例函数，则m的值是。
答案
$\boldsymbol{-2}$
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要回忆反比例函数的定义：形如$y=kx^{-1}$（$k$为常数，且$k≠0$）的函数叫做反比例函数。根据定义我们可以得到两个限制条件：一是自变量$x$的指数为$-1$，二是$x$的系数不能为$0$。我们分别根据这两个条件列方程和不等式，求解后排除不符合要求的取值，就能得到$m$的正确值。
【解析】
解：$\because$ 函数$y=(m-2)x^{m^2 -5}$是$x$的反比例函数
$\therefore$ 根据反比例函数的定义，可得：
$\begin{cases}m^2 -5 = -1 \quad \mathrm{①} \\m - 2 ≠ 0 \quad \quad \mathrm{②}\end{cases}$
解①式：移项得$m^2=4$，解得$m=2$或$m=-2$
解②式：得$m≠2$
综上，排除$m=2$，可得$m=-2$。
【答案】
$\boldsymbol{-2}$
【知识点】
反比例函数的定义，一元二次方程的求解
【点评】
本题是基础易错题，核心考查对反比例函数定义的掌握，解题时很容易忽略比例系数不为0的限制条件，误把$m=2$当作正确答案，做题时要注意函数定义中隐含的限制条件，全面分析避免错解。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需要回忆反比例函数的定义：形如$y=kx^{-1}$（$k$为常数，且$k≠0$）的函数叫做反比例函数。根据定义我们可以得到两个限制条件：一是自变量$x$的指数为$-1$，二是$x$的系数不能为$0$。我们分别根据这两个条件列方程和不等式，求解后排除不符合要求的取值，就能得到$m$的正确值。
【解析】
解：$\because$ 函数$y=(m-2)x^{m^2 -5}$是$x$的反比例函数
$\therefore$ 根据反比例函数的定义，可得：
$\begin{cases}m^2 -5 = -1 \quad \mathrm{①} \\m - 2 ≠ 0 \quad \quad \mathrm{②}\end{cases}$
解①式：移项得$m^2=4$，解得$m=2$或$m=-2$
解②式：得$m≠2$
综上，排除$m=2$，可得$m=-2$。
【答案】
$\boldsymbol{-2}$
【知识点】
反比例函数的定义，一元二次方程的求解
【点评】
本题是基础易错题，核心考查对反比例函数定义的掌握，解题时很容易忽略比例系数不为0的限制条件，误把$m=2$当作正确答案，做题时要注意函数定义中隐含的限制条件，全面分析避免错解。
【难度系数】
0.7
12. (★)已知y与x成反比例关系，且其函数图象经过点(-6,-3).
(1)求y关于x的函数解析式；
(2)当y=9时，求x的值.
(1)求y关于x的函数解析式；
(2)当y=9时，求x的值.
答案
解：
(1) ∵ y与x成反比例关系，
∴ 设y关于x的函数解析式为$y=\frac{k}{x}$（$k≠0$）。
将点$(-6,-3)$代入解析式，得：
$-3=\frac{k}{-6}$
解得$k=18$。
∴ y关于x的函数解析式为$y=\frac{18}{x}$。
(2) 把$y=9$代入$y=\frac{18}{x}$，得：
$9=\frac{18}{x}$
解得$x=2$。
(1) ∵ y与x成反比例关系，
∴ 设y关于x的函数解析式为$y=\frac{k}{x}$（$k≠0$）。
将点$(-6,-3)$代入解析式，得：
$-3=\frac{k}{-6}$
解得$k=18$。
∴ y关于x的函数解析式为$y=\frac{18}{x}$。
(2) 把$y=9$代入$y=\frac{18}{x}$，得：
$9=\frac{18}{x}$
解得$x=2$。
解析
【分析】
(1) 题目明确y与x成反比例关系，首先根据反比例函数的定义，先设出反比例函数的通用形式$y=\frac{k}{x}(k≠0)$；已知函数图象经过点$(-6,-3)$，说明该点的横、纵坐标满足函数解析式，将点的坐标代入所设解析式，就能求出未知常数k的值，进而得到对应的函数解析式。
(2) 第一问已经求出确定的函数解析式，求y=9时x的值，只需把y=9代入已求出的解析式，解关于x的方程即可得到结果。
【解析】
(1)
∵ y与x成反比例关系，
∴ 设y关于x的函数解析式为$y=\frac{k}{x}$（$k≠0$）。
将点$(-6,-3)$代入解析式，得：
$-3=\frac{k}{-6}$
解得$k=18$。
∴ y关于x的函数解析式为$y=\frac{18}{x}$。
(2) 把$y=9$代入$y=\frac{18}{x}$，得：
$9=\frac{18}{x}$
解得$x=2$。
【答案】
(1) $y=\frac{18}{x}$
(2) $x=2$
【知识点】
反比例函数的概念，待定系数法，函数值计算
【点评】
本题是反比例函数的基础题型，主要考查反比例函数的基本形式以及待定系数法的应用，计算量小，解题逻辑清晰，是学习反比例函数相关内容必须熟练掌握的基础题型。
【难度系数】
0.9
(1) 题目明确y与x成反比例关系，首先根据反比例函数的定义，先设出反比例函数的通用形式$y=\frac{k}{x}(k≠0)$；已知函数图象经过点$(-6,-3)$，说明该点的横、纵坐标满足函数解析式，将点的坐标代入所设解析式，就能求出未知常数k的值，进而得到对应的函数解析式。
(2) 第一问已经求出确定的函数解析式，求y=9时x的值，只需把y=9代入已求出的解析式，解关于x的方程即可得到结果。
【解析】
(1)
∵ y与x成反比例关系，
∴ 设y关于x的函数解析式为$y=\frac{k}{x}$（$k≠0$）。
将点$(-6,-3)$代入解析式，得：
$-3=\frac{k}{-6}$
解得$k=18$。
∴ y关于x的函数解析式为$y=\frac{18}{x}$。
(2) 把$y=9$代入$y=\frac{18}{x}$，得：
$9=\frac{18}{x}$
解得$x=2$。
【答案】
(1) $y=\frac{18}{x}$
(2) $x=2$
【知识点】
反比例函数的概念，待定系数法，函数值计算
【点评】
本题是反比例函数的基础题型，主要考查反比例函数的基本形式以及待定系数法的应用，计算量小，解题逻辑清晰，是学习反比例函数相关内容必须熟练掌握的基础题型。
【难度系数】
0.9
13. (★★) 点$(a,b)$在函数$y=-\dfrac{6}{x}$的图象上，下列说法正确的是 【 】
A.$y$随$x$的增大而增大
B.图象关于$y$轴对称
C.点$(b,a)$和点$(-b,-a)$都在图象上
D.当$x＜1$时，$y＜-6$
A.$y$随$x$的增大而增大
B.图象关于$y$轴对称
C.点$(b,a)$和点$(-b,-a)$都在图象上
D.当$x＜1$时，$y＜-6$
答案
C
解析
【分析】
首先由点$(a,b)$在函数$y=-\dfrac{6}{x}$的图象上，可推出核心关系$ab=-6$。接下来结合反比例函数的基本性质，逐个验证选项：①判断增减性时需注意反比例函数增减性的适用前提是“在每个象限内”，据此分析A；②根据反比例函数的对称性判断B；③验证点的横纵坐标乘积是否等于比例系数$-6$，即可判断点是否在函数图象上，据此分析C；④举$x$为负数的反例验证D的正确性。
【解析】
$\because$点$(a,b)$在$y=-\dfrac{6}{x}$的图象上，
$\therefore b=-\dfrac{6}{a}$，即$ab=-6$。
逐一分析选项：
选项A：$y=-\dfrac{6}{x}$中$k=-6＜0$，仅在每个象限内$y$随$x$的增大而增大，缺少前提条件，例如$x=-1$时$y=6$，$x=1$时$y=-6$，$x$增大但$y$减小，故A错误；
选项B：反比例函数图象是双曲线，关于原点中心对称，不关于$y$轴对称，故B错误；
选项C：点$(b,a)$的横纵坐标乘积为$b· a=ab=-6$，满足$xy=-6$，故在图象上；点$(-b,-a)$的横纵坐标乘积为$(-b)·(-a)=ab=-6$，也满足$xy=-6$，故也在图象上，故C正确；
选项D：当$x＜1$时，若$x$为负数，例如$x=-1$，此时$y=\dfrac{-6}{-1}=6＞-6$，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题考查反比例函数的基础知识点，易错点是容易忽略反比例函数增减性的适用前提，判断点是否在反比例函数图象上时，直接验证横纵坐标的乘积是否等于比例系数$k$即可快速得出结论。
【难度系数】
0.7
首先由点$(a,b)$在函数$y=-\dfrac{6}{x}$的图象上，可推出核心关系$ab=-6$。接下来结合反比例函数的基本性质，逐个验证选项：①判断增减性时需注意反比例函数增减性的适用前提是“在每个象限内”，据此分析A；②根据反比例函数的对称性判断B；③验证点的横纵坐标乘积是否等于比例系数$-6$，即可判断点是否在函数图象上，据此分析C；④举$x$为负数的反例验证D的正确性。
【解析】
$\because$点$(a,b)$在$y=-\dfrac{6}{x}$的图象上，
$\therefore b=-\dfrac{6}{a}$，即$ab=-6$。
逐一分析选项：
选项A：$y=-\dfrac{6}{x}$中$k=-6＜0$，仅在每个象限内$y$随$x$的增大而增大，缺少前提条件，例如$x=-1$时$y=6$，$x=1$时$y=-6$，$x$增大但$y$减小，故A错误；
选项B：反比例函数图象是双曲线，关于原点中心对称，不关于$y$轴对称，故B错误；
选项C：点$(b,a)$的横纵坐标乘积为$b· a=ab=-6$，满足$xy=-6$，故在图象上；点$(-b,-a)$的横纵坐标乘积为$(-b)·(-a)=ab=-6$，也满足$xy=-6$，故也在图象上，故C正确；
选项D：当$x＜1$时，若$x$为负数，例如$x=-1$，此时$y=\dfrac{-6}{-1}=6＞-6$，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题考查反比例函数的基础知识点，易错点是容易忽略反比例函数增减性的适用前提，判断点是否在反比例函数图象上时，直接验证横纵坐标的乘积是否等于比例系数$k$即可快速得出结论。
【难度系数】
0.7
14. (★★) 反比例函数 $y=\dfrac{3m-4}{x}$ 的图象上有两点 $P(3,y_1),Q(2,y_2)$. 如果 $y_1＞y_2$，那么 $m$ 的取值范围是.
答案
$\boldsymbol{m ＜ \dfrac{4}{3}}$
解析
【分析】
首先观察两点的横坐标，3和2均为正数，说明两点在反比例函数图象的同一分支上。已知3＞2且y₁＞y₂，说明在x＞0的分支内，y随x的增大而增大，根据反比例函数的增减性规律，可推出比例系数k＜0，再代入k=3m-4列不等式求解即可得到m的取值范围。
【解析】
解：
∵点P(3,y₁)、Q(2,y₂)的横坐标均为正，
∴两点位于反比例函数图象的同一分支（x＞0的分支）。
∵3＞2，且y₁＞y₂，
∴在该分支上，y随x的增大而增大，
对于反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k≠0$），当$k＜0$时，每个象限内y随x的增大而增大，
∴此处$k=3m-4＜0$，
解不等式$3m-4＜0$，得$3m＜4$，即$m＜\frac{4}{3}$。
【答案】
$\boldsymbol{m ＜ \dfrac{4}{3}}$
【知识点】
反比例函数的图象与性质；解一元一次不等式
【点评】
本题考查反比例函数增减性的应用，解题的关键是先判断两点是否在同一象限，再结合函数的增减性判断比例系数的符号，避免因忽略象限范围导致增减性应用错误。
【难度系数】
0.7
首先观察两点的横坐标，3和2均为正数，说明两点在反比例函数图象的同一分支上。已知3＞2且y₁＞y₂，说明在x＞0的分支内，y随x的增大而增大，根据反比例函数的增减性规律，可推出比例系数k＜0，再代入k=3m-4列不等式求解即可得到m的取值范围。
【解析】
解：
∵点P(3,y₁)、Q(2,y₂)的横坐标均为正，
∴两点位于反比例函数图象的同一分支（x＞0的分支）。
∵3＞2，且y₁＞y₂，
∴在该分支上，y随x的增大而增大，
对于反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k≠0$），当$k＜0$时，每个象限内y随x的增大而增大，
∴此处$k=3m-4＜0$，
解不等式$3m-4＜0$，得$3m＜4$，即$m＜\frac{4}{3}$。
【答案】
$\boldsymbol{m ＜ \dfrac{4}{3}}$
【知识点】
反比例函数的图象与性质；解一元一次不等式
【点评】
本题考查反比例函数增减性的应用，解题的关键是先判断两点是否在同一象限，再结合函数的增减性判断比例系数的符号，避免因忽略象限范围导致增减性应用错误。
【难度系数】
0.7
15. (★★) 如图,在平面直角坐标系中,已知正比例函数 $y=\frac{1}{3}x$ 的图象与反比例函数的图象交于$A(a,-2)$,$B$两点.
(1)当$x=-4$时,求反比例函数$y$的值;
(2)若点$P(m,n)$在该反比例函数的图象上,且它到$y$轴的距离小于6,请根据图象直接写出$n$的取值范围.
(1)当$x=-4$时,求反比例函数$y$的值;
(2)若点$P(m,n)$在该反比例函数的图象上,且它到$y$轴的距离小于6,请根据图象直接写出$n$的取值范围.
答案
解：
(1) ∵点$A(a,-2)$在正比例函数$y=\frac{1}{3}x$的图象上，
∴将$y=-2$代入$y=\frac{1}{3}x$，得$-2=\frac{1}{3}a$，
解得$a=-6$，
∴点$A$的坐标为$(-6,-2)$。
设反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，将$A(-6,-2)$代入得：
$-2=\frac{k}{-6}$，解得$k=12$，
∴反比例函数解析式为$y=\frac{12}{x}$。
当$x=-4$时，$y=\frac{12}{-4}=-3$。
(2) $n$的取值范围是$n＞2$或$n＜-2$。
(1) ∵点$A(a,-2)$在正比例函数$y=\frac{1}{3}x$的图象上，
∴将$y=-2$代入$y=\frac{1}{3}x$，得$-2=\frac{1}{3}a$，
解得$a=-6$，
∴点$A$的坐标为$(-6,-2)$。
设反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，将$A(-6,-2)$代入得：
$-2=\frac{k}{-6}$，解得$k=12$，
∴反比例函数解析式为$y=\frac{12}{x}$。
当$x=-4$时，$y=\frac{12}{-4}=-3$。
(2) $n$的取值范围是$n＞2$或$n＜-2$。
解析
【分析】
(1) 解题思路：首先已知点A在正比例函数图象上，且已知点A的纵坐标，将其代入正比例函数解析式可求出a的值，得到点A的完整坐标；再利用点A在反比例函数图象上，用待定系数法代入A点坐标求出反比例函数的比例系数k，得到反比例函数的解析式，最后将x=-4代入解析式即可求出对应的y值。
(2) 解题思路：点P到y轴的距离小于6，即横坐标的绝对值|m|＜6，也就是-6＜m＜6且m≠0（反比例函数自变量不为0）；由正比例函数与反比例函数交点关于原点对称，可得B点坐标为(6,2)，再结合反比例函数的增减性，分0＜m＜6和-6＜m＜0两种情况分析对应的函数值n的范围，最终合并得到n的取值范围。
【解析】
(1)
∵点$A(a,-2)$在正比例函数$y=\frac{1}{3}x$的图象上，
∴将$y=-2$代入$y=\frac{1}{3}x$，得$-2=\frac{1}{3}a$，
解得$a=-6$，
∴点$A$的坐标为$(-6,-2)$。
设反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，将$A(-6,-2)$代入得：
$-2=\frac{k}{-6}$，解得$k=12$，
∴反比例函数解析式为$y=\frac{12}{x}$。
当$x=-4$时，$y=\frac{12}{-4}=-3$。
(2) 点P到y轴的距离小于6，即$|m|＜6$，即$-6＜m＜6$且$m≠0$。
由正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称，可得B点坐标为$(6,2)$。
结合反比例函数$y=\frac{12}{x}$的图像性质：当$0＜m＜6$时，y随x的增大而减小，此时$n＞2$；当$-6＜m＜0$时，y随x的增大而减小，此时$n＜-2$。
综上，$n$的取值范围是$n＞2$或$n＜-2$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-3}$
(2) $\boldsymbol{n＞2}$或$\boldsymbol{n＜-2}$
【知识点】
待定系数法求解析式，反比例函数性质，数形结合求范围
【点评】
本题是正比例函数与反比例函数的综合常考题，核心是先利用交点坐标求出反比例函数解析式，再结合函数图像的增减性分析取值范围，解题过程中要注意反比例函数自变量不为0的隐含条件，体现了数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.7
(1) 解题思路：首先已知点A在正比例函数图象上，且已知点A的纵坐标，将其代入正比例函数解析式可求出a的值，得到点A的完整坐标；再利用点A在反比例函数图象上，用待定系数法代入A点坐标求出反比例函数的比例系数k，得到反比例函数的解析式，最后将x=-4代入解析式即可求出对应的y值。
(2) 解题思路：点P到y轴的距离小于6，即横坐标的绝对值|m|＜6，也就是-6＜m＜6且m≠0（反比例函数自变量不为0）；由正比例函数与反比例函数交点关于原点对称，可得B点坐标为(6,2)，再结合反比例函数的增减性，分0＜m＜6和-6＜m＜0两种情况分析对应的函数值n的范围，最终合并得到n的取值范围。
【解析】
(1)
∵点$A(a,-2)$在正比例函数$y=\frac{1}{3}x$的图象上，
∴将$y=-2$代入$y=\frac{1}{3}x$，得$-2=\frac{1}{3}a$，
解得$a=-6$，
∴点$A$的坐标为$(-6,-2)$。
设反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，将$A(-6,-2)$代入得：
$-2=\frac{k}{-6}$，解得$k=12$，
∴反比例函数解析式为$y=\frac{12}{x}$。
当$x=-4$时，$y=\frac{12}{-4}=-3$。
(2) 点P到y轴的距离小于6，即$|m|＜6$，即$-6＜m＜6$且$m≠0$。
由正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称，可得B点坐标为$(6,2)$。
结合反比例函数$y=\frac{12}{x}$的图像性质：当$0＜m＜6$时，y随x的增大而减小，此时$n＞2$；当$-6＜m＜0$时，y随x的增大而减小，此时$n＜-2$。
综上，$n$的取值范围是$n＞2$或$n＜-2$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-3}$
(2) $\boldsymbol{n＞2}$或$\boldsymbol{n＜-2}$
【知识点】
待定系数法求解析式，反比例函数性质，数形结合求范围
【点评】
本题是正比例函数与反比例函数的综合常考题，核心是先利用交点坐标求出反比例函数解析式，再结合函数图像的增减性分析取值范围，解题过程中要注意反比例函数自变量不为0的隐含条件，体现了数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.7
