8. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C = 90°$，$AC=6$，$BC=8$，$\odot O$为$△ ABC$的内切圆，$D$是斜边$AB$的中点，求$∠ ODA$的正切值。

8. 如图,设⊙O与AB相切于点E,连结OE,则OE⊥AB,因为∠C=90°,AC=6,BC=8,所以AB=10,所以$AE=\frac{10+6-8}{2}=4$。因为⊙O为△ABC的内切圆，D是斜边AB的中点，所以AD=5,则DE=1,所以$r=\frac{6+8-10}{2}=2$,所以$\tan∠ODA=2$。

9. 如图，AB是$\odot O$的直径，C在$\odot O$上，I为$△ ABC$的内心，若$∠ BIO=2∠ AIO$，则$\tan∠ OBI$的值是（）


A.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{\sqrt{3}}{3}$

9. B

10.如图，AB为半圆O的直径，C为半圆上一点，连结AC，BC。点I为△ABC的内心，且∠BOI=45°，OI=$\sqrt{2}$，则半圆O的半径为。

10. $1+\sqrt{3}$ 【解析】过点I作IH⊥AB于点H,IE⊥BC于点E,IF⊥AC于点F,因为∠C=90°,所以四边形IECF是矩形,因为I是△ABC的内心,所以IE=IF=IH,所以四边形IECF是正方形。因为∠IOB=45°,所以△IOH是等腰直角三角形,所以$IH=OH=\frac{\sqrt{2}}{2} OI=\frac{\sqrt{2}}{2}×\sqrt{2}=1$,所以CE=IE=IH=1,因为IE=IH,BI=BI,所以Rt△BHI≌Rt△BEI(HL),所以BE=BH,所以BC=OB,所以$BC=\frac{1}{2} AB$,所以∠A=30°,所以$∠IBE=\frac{1}{2}∠ABC=\frac{1}{2}×60°=30°$,所以$BE=\sqrt{3} IE=\sqrt{3}$,所以$BC=1+\sqrt{3}$,所以$OB=1+\sqrt{3}$。

11. 如图，I是△ABC的内心，AI的延长线交边BC于点D，交△ABC的外接圆于点E。
(1)求证：IE=BE。
(2)若IE=4，AE=8，求DE的长。

11.(1)如图,连结IB。因为I是△ABC的内心,所以∠BAD=∠CAD,∠ABI=∠IBD。又因为∠BIE=∠BAD+∠ABI,所以∠BIE = ∠CAD + ∠IBD = ∠DBE + ∠IBD = ∠IBE,所以BE=IE。
(2)在△BED 和 △AEB 中,因为∠EBD = ∠CAD = ∠EAB,∠BED = ∠AEB,所以△BED ∽ △AEB,所以$\frac{BE}{AE}=\frac{DE}{BE}$。因为IE=4,所以BE=4。因为AE=8,所以$DE=\frac{BE^2}{AE}=2$。

12. 如图，$△ ABC$的内切圆$\odot O$与$BC$，$CA$，$AB$分别相切于点$D$，$E$，$F$。
(1)点$O$是$△ ABC$的心。
(2)如图1，若$AB=9$，$BC=14$，$CA=13$。设$AF=x$，求$BF$的值。
(3)如图2，若$∠ B=90°$，$AB$，$BC$，$CA$的长分别是$a$，$b$，$c$，则$\odot O$半径是(用含$a$，$b$，$c$的式子表示)。

12.(1)因为⊙O是△ABC的内切圆,所以点O是△ABC的内心。故答案为内。
(2)因为△ABC的内切圆⊙O与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F,所以AE=AF,BF=BD,CE=CD,因为AB=9,BC=14,CA=13,设AF=x,所以AE=AF=x,所以BD=BF=AB-AF=9-x,CD=CE=AC-AE=13-x,所以BC=BD+CD=9-x+13-x=14,解得x=4,所以BF=9-x=5。
(3)如图,连结OD,OE,OF,因为△ABC的内切圆⊙O与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F,所以AE=AF,BF=BD,CE=CD,∠OFB=∠ODB=90°,设⊙O半径为r,所以OD=OF=r,因为∠B=∠OFB=∠ODB=90°,所以四边形ODBF为矩形,又因为OD=OF,所以四边形ODBF为正方形,所以BD=BF=r,所以AE=AF=a-r,CE=CD=b-r,所以AC=AE+CE=a-r+b-r=c,所以a+b-2r=c,所以$r=\frac{a+b-c}{2}$。故答案为$\frac{a+b-c}{2}$。