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|变式训练2| 如图，在$△ ABC$中，$∠ B=30°$，$∠ ACB=110°$，AD是BC边上的高，AE平分$∠ BAC$，求$∠ DAE$的度数。
答案
解:因为$∠B=30°,∠ACB=110°$,
所以$∠BAC=180°-∠B-∠ACB=180°-30°-110°=40°$。
因为 $AE$ 平分$∠BAC$,
所以$∠BAE=\frac{1}{2}∠BAC=\frac{1}{2}×40°=20°$。
因为$∠B=30°$,AD 是 BC 边上的高,
所以$∠BAD=90°-∠B=90°-30°=60°$,
所以$∠DAE=∠BAD-∠BAE=60°-20°=40°$。
所以$∠BAC=180°-∠B-∠ACB=180°-30°-110°=40°$。
因为 $AE$ 平分$∠BAC$,
所以$∠BAE=\frac{1}{2}∠BAC=\frac{1}{2}×40°=20°$。
因为$∠B=30°$,AD 是 BC 边上的高,
所以$∠BAD=90°-∠B=90°-30°=60°$,
所以$∠DAE=∠BAD-∠BAE=60°-20°=40°$。
解析
【分析】
要求∠DAE的度数，我们可以先分析角的数量关系：∠DAE=∠BAD-∠BAE，因此只需要分别求出∠BAD和∠BAE的度数即可。首先利用三角形内角和为180°，结合已知的∠B、∠ACB的度数算出∠BAC的度数；再根据角平分线的定义，求出∠BAE的度数；然后根据AD是BC边上的高，可得△ABD是直角三角形，利用直角三角形两锐角互余的性质求出∠BAD的度数；最后用∠BAD减去∠BAE就能得到∠DAE的度数。
【解析】
解：在△ABC中，根据三角形内角和为180°可得：
$∠ BAC=180°-∠ B-∠ ACB=180°-30°-110°=40°$
因为AE平分$∠ BAC$，根据角平分线的定义：
$∠ BAE=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×40°=20°$
因为AD是BC边上的高，所以$∠ ADB=90°$，在Rt△ABD中，两锐角互余：
$∠ BAD=90°-∠ B=90°-30°=60°$
因此$∠ DAE=∠ BAD-∠ BAE=60°-20°=40°$
【答案】
$40°$
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于三角形角度计算的基础题型，核心是结合三角形的高、角平分线的性质以及内角和定理求解，解题的关键是理清各个角之间的和差关系，找准中间量逐步推导即可。
【难度系数】
0.8
要求∠DAE的度数，我们可以先分析角的数量关系：∠DAE=∠BAD-∠BAE，因此只需要分别求出∠BAD和∠BAE的度数即可。首先利用三角形内角和为180°，结合已知的∠B、∠ACB的度数算出∠BAC的度数；再根据角平分线的定义，求出∠BAE的度数；然后根据AD是BC边上的高，可得△ABD是直角三角形，利用直角三角形两锐角互余的性质求出∠BAD的度数；最后用∠BAD减去∠BAE就能得到∠DAE的度数。
【解析】
解：在△ABC中，根据三角形内角和为180°可得：
$∠ BAC=180°-∠ B-∠ ACB=180°-30°-110°=40°$
因为AE平分$∠ BAC$，根据角平分线的定义：
$∠ BAE=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×40°=20°$
因为AD是BC边上的高，所以$∠ ADB=90°$，在Rt△ABD中，两锐角互余：
$∠ BAD=90°-∠ B=90°-30°=60°$
因此$∠ DAE=∠ BAD-∠ BAE=60°-20°=40°$
【答案】
$40°$
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于三角形角度计算的基础题型，核心是结合三角形的高、角平分线的性质以及内角和定理求解，解题的关键是理清各个角之间的和差关系，找准中间量逐步推导即可。
【难度系数】
0.8
1. 下列说法错误的是(
A.三角形的三条高交于三角形内一点
B.三角形的三条中线交于三角形内一点
C.三角形的三条角平分线交于三角形内一点
D.三角形的中线、角平分线、高都是线段
A
)A.三角形的三条高交于三角形内一点
B.三角形的三条中线交于三角形内一点
C.三角形的三条角平分线交于三角形内一点
D.三角形的中线、角平分线、高都是线段
答案
A
解析
【分析】
解题时需逐一回忆三角形的高、中线、角平分线的定义、性质以及交点位置特征，逐个判断选项正误：首先明确三类线段的基本属性，再区分不同类型（锐角、直角、钝角）三角形的高的交点位置差异，即可快速找出错误选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：三角形三条高的交点位置随三角形类型变化：锐角三角形的三条高交于三角形内部，直角三角形的三条高交于直角顶点（三角形边上），钝角三角形的三条高交于三角形外部，并非所有三角形的三条高都交于三角形内一点，该说法错误。
B选项：三角形的三条中线是连接顶点与对边中点的线段，无论哪种类型的三角形，三条中线的交点都在三角形内部，说法正确。
C选项：三角形的三条角平分线是平分内角且交对边于一点的线段，交点始终在三角形内部，说法正确。
D选项：三角形的中线、角平分线、高都是顶点到对边（或对边所在直线）上某一点的线段，三者都属于线段，说法正确。
本题要求选择错误的说法，故选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形的高；三角形的中线；三角形的角平分线
【点评】
本题考查三角形三类重要线段的基础性质，易错点是忽略不同三角形的高的交点位置差异，混淆三类线段的交点特征，属于基础概念考查题，牢记相关性质即可准确作答。
【难度系数】
0.8
解题时需逐一回忆三角形的高、中线、角平分线的定义、性质以及交点位置特征，逐个判断选项正误：首先明确三类线段的基本属性，再区分不同类型（锐角、直角、钝角）三角形的高的交点位置差异，即可快速找出错误选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：三角形三条高的交点位置随三角形类型变化：锐角三角形的三条高交于三角形内部，直角三角形的三条高交于直角顶点（三角形边上），钝角三角形的三条高交于三角形外部，并非所有三角形的三条高都交于三角形内一点，该说法错误。
B选项：三角形的三条中线是连接顶点与对边中点的线段，无论哪种类型的三角形，三条中线的交点都在三角形内部，说法正确。
C选项：三角形的三条角平分线是平分内角且交对边于一点的线段，交点始终在三角形内部，说法正确。
D选项：三角形的中线、角平分线、高都是顶点到对边（或对边所在直线）上某一点的线段，三者都属于线段，说法正确。
本题要求选择错误的说法，故选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形的高；三角形的中线；三角形的角平分线
【点评】
本题考查三角形三类重要线段的基础性质，易错点是忽略不同三角形的高的交点位置差异，混淆三类线段的交点特征，属于基础概念考查题，牢记相关性质即可准确作答。
【难度系数】
0.8
2.若一个三角形的三条高的交点恰是这个三角形的顶点，则这个三角形是(
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等边三角形
B
)A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等边三角形
答案
B
解析
【分析】
解题时先回忆不同类型三角形三条高的交点（垂心）的位置特征，再结合题目“交点恰为三角形顶点”的条件逐一排查选项即可。首先明确：锐角三角形的高均在内部，交点也在内部；钝角三角形的高所在直线的交点在外部；直角三角形的两条直角边本身就是高，二者交点就是直角顶点，斜边上的高也过该顶点，符合题目要求。
【解析】
我们对各选项逐一分析：
A. 锐角三角形的三条高都在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部，不符合题意；
B. 直角三角形的两条直角边互为对方的高，这两条高的交点就是直角顶点，斜边上的高同样经过该直角顶点，因此三条高的交点就是三角形的直角顶点，符合题意；
C. 钝角三角形的三条高所在直线的交点在三角形外部，不符合题意；
D. 等边三角形属于锐角三角形，三条高的交点在三角形内部，不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形的高；三角形的分类
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是考察不同类型三角形高的位置及交点特点，熟记相关概念即可快速解答。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆不同类型三角形三条高的交点（垂心）的位置特征，再结合题目“交点恰为三角形顶点”的条件逐一排查选项即可。首先明确：锐角三角形的高均在内部，交点也在内部；钝角三角形的高所在直线的交点在外部；直角三角形的两条直角边本身就是高，二者交点就是直角顶点，斜边上的高也过该顶点，符合题目要求。
【解析】
我们对各选项逐一分析：
A. 锐角三角形的三条高都在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部，不符合题意；
B. 直角三角形的两条直角边互为对方的高，这两条高的交点就是直角顶点，斜边上的高同样经过该直角顶点，因此三条高的交点就是三角形的直角顶点，符合题意；
C. 钝角三角形的三条高所在直线的交点在三角形外部，不符合题意；
D. 等边三角形属于锐角三角形，三条高的交点在三角形内部，不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形的高；三角形的分类
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是考察不同类型三角形高的位置及交点特点，熟记相关概念即可快速解答。
【难度系数】
0.9
3.如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线交于点E,过点E作MN//BC交AB于点M,交AC于点N。若BM+CN=8,则线段MN的长为(
A.5
B.6
C.7
D.8
D
)A.5
B.6
C.7
D.8
答案
D
解析
【分析】
解题时首先观察图形特征，已知角平分线和平行线的组合条件，可尝试推导等腰三角形实现线段等量代换：第一步，利用角平分线定义得到两组相等的角；第二步，结合平行线“内错角相等”的性质，等量代换得到两个等腰三角形；第三步，将MN拆分为ME+EN，对应替换为BM+CN，即可求出MN的长度。
【解析】
解：
∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠MBE=∠CBE，∠NCE=∠BCE，
∵MN//BC，
∴∠MEB=∠CBE，∠NEC=∠BCE（两直线平行，内错角相等），
∴∠MBE=∠MEB，∠NCE=∠NEC，
∴MB=ME，NC=NE（等角对等边），
∴MN=ME+NE=MB+NC，
∵BM+CN=8，
∴MN=8。
【答案】
D
【知识点】
角平分线定义，平行线的性质，等腰三角形的判定
【点评】
本题是几何基础常考题，核心是掌握“角平分线+平行线”的典型模型，该模型通常可以推出等腰三角形，通过线段的等量代换即可快速求解，难度较低。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察图形特征，已知角平分线和平行线的组合条件，可尝试推导等腰三角形实现线段等量代换：第一步，利用角平分线定义得到两组相等的角；第二步，结合平行线“内错角相等”的性质，等量代换得到两个等腰三角形；第三步，将MN拆分为ME+EN，对应替换为BM+CN，即可求出MN的长度。
【解析】
解：
∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠MBE=∠CBE，∠NCE=∠BCE，
∵MN//BC，
∴∠MEB=∠CBE，∠NEC=∠BCE（两直线平行，内错角相等），
∴∠MBE=∠MEB，∠NCE=∠NEC，
∴MB=ME，NC=NE（等角对等边），
∴MN=ME+NE=MB+NC，
∵BM+CN=8，
∴MN=8。
【答案】
D
【知识点】
角平分线定义，平行线的性质，等腰三角形的判定
【点评】
本题是几何基础常考题，核心是掌握“角平分线+平行线”的典型模型，该模型通常可以推出等腰三角形，通过线段的等量代换即可快速求解，难度较低。
【难度系数】
0.8
4.如图，点D是BC的中点，点E是AC的中点，若$S_{△ ADE}=1$，则$S_{△ ABC}=$
4
。答案
4
解析
【分析】
解题时可利用三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分成两个等底同高、面积相等的小三角形。首先根据E是AC中点，先求出△ADC的面积，再根据D是BC中点，最终求出△ABC的面积。
【解析】
1. 因为点E是AC的中点，所以AE=EC，△ADE和△CDE等底同高，因此面积相等：
$S_{△ CDE}=S_{△ ADE}=1$
则$S_{△ ADC}=S_{△ ADE}+S_{△ CDE}=1+1=2$
2. 因为点D是BC的中点，所以BD=DC，△ABD和△ADC等底同高，因此面积相等：
$S_{△ ABD}=S_{△ ADC}=2$
则$S_{△ ABC}=S_{△ ABD}+S_{△ ADC}=2+2=4$
【答案】
4
【知识点】
三角形中线的性质、等底同高三角形面积相等
【点评】
本题是基础的三角形面积计算题，核心考查三角形中线平分三角形面积的性质，熟练掌握该性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时可利用三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分成两个等底同高、面积相等的小三角形。首先根据E是AC中点，先求出△ADC的面积，再根据D是BC中点，最终求出△ABC的面积。
【解析】
1. 因为点E是AC的中点，所以AE=EC，△ADE和△CDE等底同高，因此面积相等：
$S_{△ CDE}=S_{△ ADE}=1$
则$S_{△ ADC}=S_{△ ADE}+S_{△ CDE}=1+1=2$
2. 因为点D是BC的中点，所以BD=DC，△ABD和△ADC等底同高，因此面积相等：
$S_{△ ABD}=S_{△ ADC}=2$
则$S_{△ ABC}=S_{△ ABD}+S_{△ ADC}=2+2=4$
【答案】
4
【知识点】
三角形中线的性质、等底同高三角形面积相等
【点评】
本题是基础的三角形面积计算题，核心考查三角形中线平分三角形面积的性质，熟练掌握该性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
5.如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC$,$∠ ACB$的平分线$BE$,$CD$相交于点$F$,$∠ ABC=42°$,$∠ A=60°$,则$∠ BFC=$
120°
。答案
120°
解析
【分析】
要求∠BFC的度数，观察发现∠BFC是△BFC的内角，可先求出△BFC另外两个内角∠FBC、∠FCB的度数和，再结合三角形内角和定理计算。首先在△ABC中，利用三角形内角和180°，结合已知的∠A和∠ABC的度数，求出∠ACB的度数；再根据角平分线的定义，可得∠FBC是∠ABC的一半，∠FCB是∠ACB的一半，进而求出∠FBC与∠FCB的和；最后在△BFC中再次利用三角形内角和定理即可求出∠BFC的度数。
【解析】
解：在△ABC中，根据三角形内角和为180°，得：
$∠ ACB = 180° - ∠ A - ∠ ABC = 180° - 60° - 42° = 78°$
∵ BE平分$∠ ABC$，CD平分$∠ ACB$
∴ $∠ FBC = \frac{1}{2}∠ ABC = \frac{1}{2}×42° = 21°$
$∠ FCB = \frac{1}{2}∠ ACB = \frac{1}{2}×78° = 39°$
在△BFC中，根据三角形内角和为180°，得：
$∠ BFC = 180° - ∠ FBC - ∠ FCB = 180° - 21° - 39° = 120°$
【答案】
$120°$
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义
【点评】
本题属于三角形与角平分线结合的基础题型，解题的核心是两次运用三角形内角和定理，结合角平分线的性质逐步推导所求角的度数，是三角形章节的常考类型题。
【难度系数】
0.8
要求∠BFC的度数，观察发现∠BFC是△BFC的内角，可先求出△BFC另外两个内角∠FBC、∠FCB的度数和，再结合三角形内角和定理计算。首先在△ABC中，利用三角形内角和180°，结合已知的∠A和∠ABC的度数，求出∠ACB的度数；再根据角平分线的定义，可得∠FBC是∠ABC的一半，∠FCB是∠ACB的一半，进而求出∠FBC与∠FCB的和；最后在△BFC中再次利用三角形内角和定理即可求出∠BFC的度数。
【解析】
解：在△ABC中，根据三角形内角和为180°，得：
$∠ ACB = 180° - ∠ A - ∠ ABC = 180° - 60° - 42° = 78°$
∵ BE平分$∠ ABC$，CD平分$∠ ACB$
∴ $∠ FBC = \frac{1}{2}∠ ABC = \frac{1}{2}×42° = 21°$
$∠ FCB = \frac{1}{2}∠ ACB = \frac{1}{2}×78° = 39°$
在△BFC中，根据三角形内角和为180°，得：
$∠ BFC = 180° - ∠ FBC - ∠ FCB = 180° - 21° - 39° = 120°$
【答案】
$120°$
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义
【点评】
本题属于三角形与角平分线结合的基础题型，解题的核心是两次运用三角形内角和定理，结合角平分线的性质逐步推导所求角的度数，是三角形章节的常考类型题。
【难度系数】
0.8
6.如图,在$△ ABC$中,AD为BC边上的中线,DE和DF分别为$△ ADB$和$△ ADC$的高。若$AB=3$,$AC=4$,$DF=1.5$,则$DE=$
2
。答案
2
解析
【分析】
解题时首先利用三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分成两个等底同高、面积相等的小三角形，可知△ADB和△ADC面积相等。再分别用两组底和高表示两个小三角形的面积，根据面积相等建立等式，代入已知数值即可求出DE的长度。
【解析】
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，△ADB和△ADC等底同高，即$S_{△ ADB}=S_{△ ADC}$。
∵DE是△ADB的高，DF是△ADC的高，
∴$S_{△ ADB}=\frac{1}{2} × AB × DE$，$S_{△ ADC}=\frac{1}{2} × AC × DF$。
联立可得：$\frac{1}{2} × AB × DE = \frac{1}{2} × AC × DF$，
约去$\frac{1}{2}$得：$AB × DE = AC × DF$，
将$AB=3$，$AC=4$，$DF=1.5$代入得：
$3 × DE = 4 × 1.5$，
计算得$3DE=6$，解得$DE=2$。
【答案】
2
【知识点】
三角形中线的性质；三角形面积计算；等积变换
【点评】
本题是基础几何计算题，核心是利用中线分三角形为两个面积相等的部分这一性质，通过等面积法建立未知线段和已知条件的关联，解题时要熟练掌握三角形面积公式和中线的性质。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分成两个等底同高、面积相等的小三角形，可知△ADB和△ADC面积相等。再分别用两组底和高表示两个小三角形的面积，根据面积相等建立等式，代入已知数值即可求出DE的长度。
【解析】
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，△ADB和△ADC等底同高，即$S_{△ ADB}=S_{△ ADC}$。
∵DE是△ADB的高，DF是△ADC的高，
∴$S_{△ ADB}=\frac{1}{2} × AB × DE$，$S_{△ ADC}=\frac{1}{2} × AC × DF$。
联立可得：$\frac{1}{2} × AB × DE = \frac{1}{2} × AC × DF$，
约去$\frac{1}{2}$得：$AB × DE = AC × DF$，
将$AB=3$，$AC=4$，$DF=1.5$代入得：
$3 × DE = 4 × 1.5$，
计算得$3DE=6$，解得$DE=2$。
【答案】
2
【知识点】
三角形中线的性质；三角形面积计算；等积变换
【点评】
本题是基础几何计算题，核心是利用中线分三角形为两个面积相等的部分这一性质，通过等面积法建立未知线段和已知条件的关联，解题时要熟练掌握三角形面积公式和中线的性质。
【难度系数】
0.7
7. 如图，在$△ ABC$中，$∠ A = 20°$，$CD$是$∠ BCA$的平分线。在$△ ACD$中，$DE$是$CA$边上的高，且$∠ EDA = ∠ CDB$，求$∠ B$的度数。
答案
解:因为 $DE$ 是 $CA$ 边上的高，
所以$∠DEA=∠DEC=90°$。
又因为$∠A=20°$,
所以$∠EDA=90°-∠A=90°-20°=70°$。
因为$∠EDA=∠CDB$,
所以$∠CDE=180°-70°×2=40°$。
在$\mathrm{Rt}△CDE$中,
$∠DCE=90°-∠CDE=90°-40°=50°$。
因为 $CD$ 是$∠BCA$的平分线,
所以$∠BCA=2∠DCE=2×50°=100°$。
在$△ABC$中,$∠B=180°-∠BCA-∠A$
$=180°-100°-20°=60°$。
所以$∠DEA=∠DEC=90°$。
又因为$∠A=20°$,
所以$∠EDA=90°-∠A=90°-20°=70°$。
因为$∠EDA=∠CDB$,
所以$∠CDE=180°-70°×2=40°$。
在$\mathrm{Rt}△CDE$中,
$∠DCE=90°-∠CDE=90°-40°=50°$。
因为 $CD$ 是$∠BCA$的平分线,
所以$∠BCA=2∠DCE=2×50°=100°$。
在$△ABC$中,$∠B=180°-∠BCA-∠A$
$=180°-100°-20°=60°$。
解析
【分析】
要计算∠B的度数，已知△ABC中∠A=20°，只需要先求出∠BCA的度数，再利用三角形内角和为180°即可求解。解题可按以下思路推导：首先根据DE是CA边上的高，结合∠A的度数，利用直角三角形两锐角互余求出∠EDA；再根据∠EDA=∠CDB，利用平角为180°算出∠CDE的度数；接着在Rt△CDE中再次用直角三角形两锐角互余求出∠DCE；之后利用CD是∠BCA的平分线，得到∠BCA=2∠DCE；最后用三角形内角和公式算出∠B即可。
【解析】
解：因为 $DE$ 是 $CA$ 边上的高，
所以$∠DEA=∠DEC=90°$。
又因为$∠A=20°$,
所以$∠EDA=90°-∠A=90°-20°=70°$。
因为$∠EDA=∠CDB$,
所以$∠CDE=180°-70°×2=40°$。
在$\mathrm{Rt}△CDE$中,
$∠DCE=90°-∠CDE=90°-40°=50°$。
因为 $CD$ 是$∠BCA$的平分线,
所以$∠BCA=2∠DCE=2×50°=100°$。
在$△ABC$中,$∠B=180°-∠BCA-∠A$
$=180°-100°-20°=60°$。
【答案】
$60°$
【知识点】
直角三角形两锐角互余；角平分线的定义；三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形角度计算的基础题，解题关键是理清各角之间的数量关系，结合相关性质逐步推导未知角的度数，计算过程中要注意平角、直角等隐含条件的运用。
【难度系数】
0.7
要计算∠B的度数，已知△ABC中∠A=20°，只需要先求出∠BCA的度数，再利用三角形内角和为180°即可求解。解题可按以下思路推导：首先根据DE是CA边上的高，结合∠A的度数，利用直角三角形两锐角互余求出∠EDA；再根据∠EDA=∠CDB，利用平角为180°算出∠CDE的度数；接着在Rt△CDE中再次用直角三角形两锐角互余求出∠DCE；之后利用CD是∠BCA的平分线，得到∠BCA=2∠DCE；最后用三角形内角和公式算出∠B即可。
【解析】
解：因为 $DE$ 是 $CA$ 边上的高，
所以$∠DEA=∠DEC=90°$。
又因为$∠A=20°$,
所以$∠EDA=90°-∠A=90°-20°=70°$。
因为$∠EDA=∠CDB$,
所以$∠CDE=180°-70°×2=40°$。
在$\mathrm{Rt}△CDE$中,
$∠DCE=90°-∠CDE=90°-40°=50°$。
因为 $CD$ 是$∠BCA$的平分线,
所以$∠BCA=2∠DCE=2×50°=100°$。
在$△ABC$中,$∠B=180°-∠BCA-∠A$
$=180°-100°-20°=60°$。
【答案】
$60°$
【知识点】
直角三角形两锐角互余；角平分线的定义；三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形角度计算的基础题，解题关键是理清各角之间的数量关系，结合相关性质逐步推导未知角的度数，计算过程中要注意平角、直角等隐含条件的运用。
【难度系数】
0.7
