知识点三 三角形的角平分线
在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个与交点之间的线段叫作三角形的角平分线。如图，线段是△ABC的一条角平分线。

角的顶点 AD

【分析】
这道题考查三角形角平分线的定义相关知识，解题时首先回忆三角形角平分线的概念：三角形的一个内角的角平分线与对边相交后，构成角平分线的两个端点分别是这个内角的顶点、角平分线与对边的交点；再结合图形特征，已知∠1=∠2，说明AD将∠BAC分成了两个相等的角，且AD连接顶点A和对边BC上的交点D，符合三角形角平分线的特征。
【解析】
根据三角形角平分线的定义：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线。
观察图形，∠1=∠2，说明AD平分∠BAC，且AD是连接顶点A与对边BC上交点D的线段，因此线段AD是△ABC的一条角平分线。
【答案】
角的顶点；AD
【知识点】
三角形角平分线定义
【点评】
本题是基础概念题，主要考查对三角形角平分线定义的记忆和图形识别能力，熟练掌握相关定义即可快速解答。
【难度系数】
0.9

例1 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多5 cm，AB与AC的长度之和为13 cm，求AC的长。

[点拨] 本题考查三角形的中线，根据周长的差表示出$AC - AB = 5\ \mathrm{cm}$是解题的关键。根据中线的定义知$CD = BD$，结合三角形周长公式知$AC - AB = 5\ \mathrm{cm}$。又$AC + AB = 13\ \mathrm{cm}$，易求AC的长度。
[解] 因为AD是BC边上的中线，所以点D为BC的中点，所以$CD = BD$。因为△ADC的周长比△ABD的周长多5 cm，所以$AC - AB = 5\ \mathrm{cm}$，所以$AB = AC - 5\ \mathrm{cm}$。又因为$AB + AC = 13\ \mathrm{cm}$，所以$AC = 9\ \mathrm{cm}$，即AC的长度是9 cm。

解：
∵ AD是BC边上的中线，
∴ 点D为BC的中点，
∴ CD = BD。
∵ △ADC的周长为$AC+CD+AD$，△ABD的周长为$AB+BD+AD$，且△ADC的周长比△ABD的周长多5 cm，
∴ $(AC+CD+AD)-(AB+BD+AD)=5\ \mathrm{cm}$，
化简得 $AC - AB = 5\ \mathrm{cm}$。
又∵ $AC + AB = 13\ \mathrm{cm}$，
将两个等式左右两边分别相加，得$2AC=18\ \mathrm{cm}$，
∴ $AC=9\ \mathrm{cm}$。
答：AC的长为9 cm。

【分析】
解题时首先从已知条件“AD是BC边上的中线”入手，根据三角形中线的定义可得CD=BD；接下来分别写出△ADC和△ABD的周长表达式，两者作差时，公共边AD、等长的CD和BD都会抵消，即可得到AC与AB的差为5cm；最后结合已知的AB+AC=13cm，通过和差关系就能求出AC的长度。
【解析】
∵ AD是BC边上的中线，
∴ 点D为BC的中点，
∴ CD = BD。
∵ △ADC的周长为$AC+CD+AD$，△ABD的周长为$AB+BD+AD$，且△ADC的周长比△ABD的周长多5 cm，
∴ $(AC+CD+AD)-(AB+BD+AD)=5\ \mathrm{cm}$，
化简得 $AC - AB = 5\ \mathrm{cm}$。
又
∵ $AC + AB = 13\ \mathrm{cm}$，
将两个等式左右两边分别相加，得$2AC=18\ \mathrm{cm}$，
∴ $AC=9\ \mathrm{cm}$。
【答案】
9 cm
【知识点】
三角形中线的性质、三角形周长计算、和差问题求解
【点评】
本题是三角形中线相关的基础应用题，解题核心是利用中线得到等长线段，通过周长作差消去相同部分，得到两条边的数量关系后结合已知条件求解，能够很好地考察对基础概念的理解和简单代数运算能力。
【难度系数】
0.8

| 变式训练1 | 如图，在$△ ABC$中，$AC＞AB$，$AC=2BC$，$BC$边上的中线$AD$把$△ ABC$的周长分成55和45两部分，求$AC$和$AB$的长。

解:设 $BC=2x$,则 $AC=4x$。
因为 $AD$ 是 $BC$ 边上的中线，
所以 $CD=BD=x$。
由题意得 $x+4x=55,AB+x=45$,
解得 $x=11,AB=34$,
所以 $AC=4x=44$。

【分析】
首先梳理题目已知条件：有AC与BC的倍数关系，AD是BC边上的中线，且AD将三角形周长分为55和45两部分。为了避免计算出现分数，我们可以根据AC=2BC设BC=2x，那么AC=4x，结合中线性质可得BD=CD=x；再根据AC＞AB，可判断出较大的周长部分55对应AC+CD的和，较小的部分45对应AB+BD的和，据此列方程求解即可得到各边长。
【解析】
解：设 $BC=2x$，则 $AC=2×2x=4x$。
因为 $AD$ 是 $BC$ 边上的中线，所以 $CD=BD=\frac{1}{2}BC=x$。
由$AC＞AB$可知，周长为55的部分是$AC+CD$，周长为45的部分是$AB+BD$，因此列方程：
$x+4x=55$，$AB+x=45$
解第一个方程得$5x=55$，$x=11$。
将$x=11$代入第二个方程，得$AB+11=45$，解得$AB=34$。
因此$AC=4x=4×11=44$。
【答案】
$AC$的长为44，$AB$的长为34。
【知识点】
三角形中线的定义；一元一次方程的应用；三角形周长计算
【点评】
本题解题核心是合理设未知数，结合中线性质得到等长线段，再根据线段大小关系准确匹配两部分周长对应的线段和，设BC为2x的技巧可简化运算，避免出现分数。
【难度系数】
0.7

例2 如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B＝40°，∠C＝60°，求∠DAE的度数。
[点拨] 本题主要考查三角形的内角和定理、三角形的角平分线、垂直的定义、直角三角形两个锐角互余的性质定理等相关知识。根据三角形的内角和定理，可以求出∠BAC的度数，根据角平分线的定义，可以求出∠EAC的度数，再根据直角三角形两个锐角互余的性质定理，可以得出∠DAC的度数，从而由∠DAE＝∠EAC－∠DAC得出答案。
[解] 因为∠B＝40°，∠C＝60°，
所以∠BAC＝180°－∠B－∠C＝80°。
因为AE平分∠BAC，
所以∠BAE＝∠EAC＝$\frac{1}{2}$∠BAC＝40°。
因为AD⊥BC，

所以∠ADC＝90°，
所以∠DAC＝90°－∠C＝90°－60°＝30°，
所以∠DAE＝∠EAC－∠DAC＝40°－30°＝10°。

解：
因为∠B＝40°，∠C＝60°，
所以∠BAC＝180°－∠B－∠C＝80°。
因为AE平分∠BAC，
所以∠BAE＝∠EAC＝$\frac{1}{2}$∠BAC＝40°。
因为AD⊥BC，
所以∠ADC＝90°，
所以∠DAC＝90°－∠C＝90°－60°＝30°，
所以∠DAE＝∠EAC－∠DAC＝40°－30°＝10°。

【分析】
解题时首先结合已知的∠B和∠C的度数，利用三角形内角和为180°先求出∠BAC的度数；再根据AE是∠BAC的角平分线，由角平分线的定义求出∠EAC的度数；接着由AD⊥BC可知△ADC是直角三角形，利用直角三角形两锐角互余的性质求出∠DAC的度数；最后观察图形中角的和差关系，用∠EAC减去∠DAC即可得到∠DAE的度数。
【解析】
因为∠B＝40°，∠C＝60°，
所以∠BAC＝180°－∠B－∠C＝80°。
因为AE平分∠BAC，
所以∠BAE＝∠EAC＝$\frac{1}{2}$∠BAC＝40°。
因为AD⊥BC，
所以∠ADC＝90°，
所以∠DAC＝90°－∠C＝90°－60°＝30°，
所以∠DAE＝∠EAC－∠DAC＝40°－30°＝10°。
【答案】
10°
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是三角形角度计算的常规基础题，综合考查了三角形中角平分线、高的相关性质，解题的核心是理清各个角之间的数量关系，熟练掌握基础性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8