登录
8. 如图,已知 CD,CE 分别是△ABC 的高和中线,AC=3,AB=5,BC=4,∠ACB=90°。
(1)求 CD 的长；
(2)求△EBC 与△ACE 的周长之差。
(1)求 CD 的长；
(2)求△EBC 与△ACE 的周长之差。
答案
解:(1)$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· CD=\frac{1}{2}AC· BC$,
所以 $CD=\frac{AC· BC}{AB}=\frac{3×4}{5}=\frac{12}{5}$。
(2)因为 $CE$ 是$△ABC$的中线,
所以 $AE=BE$,
所以$△EBC$与$△ACE$的周长之差为
$BE+CE+BC-(AC+CE+AE)=BC-AC=4-3=1$。
所以 $CD=\frac{AC· BC}{AB}=\frac{3×4}{5}=\frac{12}{5}$。
(2)因为 $CE$ 是$△ABC$的中线,
所以 $AE=BE$,
所以$△EBC$与$△ACE$的周长之差为
$BE+CE+BC-(AC+CE+AE)=BC-AC=4-3=1$。
解析
【分析】
（1）已知△ABC是直角三角形且给出三边长，要求斜边上的高CD，可利用等积法求解：先通过两条直角边算出△ABC的面积，再结合面积也可以用斜边AB和斜边上的高CD表示，两种方式计算的面积相等，列等式即可求出CD的长度。
（2）求两个三角形的周长差时，先分别写出两个三角形的周长表达式，观察发现CE是两个三角形的公共边，再结合CE是AB边上的中线可得AE=BE，两个周长相减时相等的边会互相抵消，仅需要计算BC与AC的差即可得到结果。
【解析】
(1) 因为∠ACB=90°，所以△ABC的面积可表示为：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC$
又因为CD是AB边上的高，所以△ABC的面积也可表示为：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· CD$
因此$\frac{1}{2}AB· CD=\frac{1}{2}AC· BC$，代入AC=3，BC=4，AB=5，化简得：
$CD=\frac{AC· BC}{AB}=\frac{3×4}{5}=\frac{12}{5}$
(2) 因为CE是△ABC的中线，所以$AE=BE$。
△EBC的周长为$BE+CE+BC$，△ACE的周长为$AE+CE+AC$，二者的周长差为：
$\begin{split}&\;\;\;\;\;BE+CE+BC-(AC+CE+AE)\\&=BC-AC\\&=4-3\\&=1\end{split}$
【答案】
(1) $\frac{12}{5}$；(2) $1$
【知识点】
等积法求线段长、三角形中线的性质、周长计算
【点评】
本题属于基础几何计算题，第一问用到的等积法是求三角形高线的常用方法，第二问计算周长差时通过抵消公共边和相等线段可大幅简化计算，解题时要注意挖掘图形中的隐含相等关系。
【难度系数】
0.8
（1）已知△ABC是直角三角形且给出三边长，要求斜边上的高CD，可利用等积法求解：先通过两条直角边算出△ABC的面积，再结合面积也可以用斜边AB和斜边上的高CD表示，两种方式计算的面积相等，列等式即可求出CD的长度。
（2）求两个三角形的周长差时，先分别写出两个三角形的周长表达式，观察发现CE是两个三角形的公共边，再结合CE是AB边上的中线可得AE=BE，两个周长相减时相等的边会互相抵消，仅需要计算BC与AC的差即可得到结果。
【解析】
(1) 因为∠ACB=90°，所以△ABC的面积可表示为：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC$
又因为CD是AB边上的高，所以△ABC的面积也可表示为：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· CD$
因此$\frac{1}{2}AB· CD=\frac{1}{2}AC· BC$，代入AC=3，BC=4，AB=5，化简得：
$CD=\frac{AC· BC}{AB}=\frac{3×4}{5}=\frac{12}{5}$
(2) 因为CE是△ABC的中线，所以$AE=BE$。
△EBC的周长为$BE+CE+BC$，△ACE的周长为$AE+CE+AC$，二者的周长差为：
$\begin{split}&\;\;\;\;\;BE+CE+BC-(AC+CE+AE)\\&=BC-AC\\&=4-3\\&=1\end{split}$
【答案】
(1) $\frac{12}{5}$；(2) $1$
【知识点】
等积法求线段长、三角形中线的性质、周长计算
【点评】
本题属于基础几何计算题，第一问用到的等积法是求三角形高线的常用方法，第二问计算周长差时通过抵消公共边和相等线段可大幅简化计算，解题时要注意挖掘图形中的隐含相等关系。
【难度系数】
0.8
9.如图,在△ABC中,AD为边上BC的高,点E为BC边的中点,连接AE。若AD=4,△ABC的面积为20,求BE的长。
答案
解:因为 $AD$ 为 $BC$ 边上的高,$△ABC$ 的面积为 20,
所以$\frac{1}{2}BC· AD=20$。
又因为 $AD=4$,
所以 $BC=10$。
因为点 $E$ 为 $BC$ 边的中点,
所以 $BE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×10=5$。
所以$\frac{1}{2}BC· AD=20$。
又因为 $AD=4$,
所以 $BC=10$。
因为点 $E$ 为 $BC$ 边的中点,
所以 $BE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×10=5$。
解析
【分析】
解题时可分两步思考：第一步，已知三角形的高和面积，回忆三角形面积公式“三角形面积=1/2×底×高”，将已知的面积、高代入公式，即可求出底边BC的长度；第二步，已知E是BC的中点，根据线段中点的性质，中点将线段分为长度相等的两段，因此BE的长度是BC的一半，代入BC的长度即可求出BE。
【解析】
因为AD为BC边上的高，△ABC的面积为20，根据三角形面积公式可得：
$\frac{1}{2}BC· AD=20$
又因为AD=4，代入上式得：
$\frac{1}{2}×BC×4=20$，解得$BC=10$
因为点E为BC边的中点，所以BE是BC的一半：
$BE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×10=5$
【答案】
5
【知识点】
三角形面积公式；线段中点的定义
【点评】
本题属于几何基础应用题，解题核心是灵活运用三角形面积公式求出底边长，再结合线段中点的性质求解目标线段长度，思路清晰直接，需要熟练掌握基础几何公式和性质。
【难度系数】
0.9
解题时可分两步思考：第一步，已知三角形的高和面积，回忆三角形面积公式“三角形面积=1/2×底×高”，将已知的面积、高代入公式，即可求出底边BC的长度；第二步，已知E是BC的中点，根据线段中点的性质，中点将线段分为长度相等的两段，因此BE的长度是BC的一半，代入BC的长度即可求出BE。
【解析】
因为AD为BC边上的高，△ABC的面积为20，根据三角形面积公式可得：
$\frac{1}{2}BC· AD=20$
又因为AD=4，代入上式得：
$\frac{1}{2}×BC×4=20$，解得$BC=10$
因为点E为BC边的中点，所以BE是BC的一半：
$BE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×10=5$
【答案】
5
【知识点】
三角形面积公式；线段中点的定义
【点评】
本题属于几何基础应用题，解题核心是灵活运用三角形面积公式求出底边长，再结合线段中点的性质求解目标线段长度，思路清晰直接，需要熟练掌握基础几何公式和性质。
【难度系数】
0.9
10.在$△ ABC$中,已知$AB=AC$,$AC$边上的中线$BD$把$△ ABC$的周长分为$12\ \mathrm{cm}$和$15\ \mathrm{cm}$两部分,求$△ ABC$的各边长。
答案
解:设 $AB=AC=x\ \mathrm{cm}$,则 $AD=DC=\frac{1}{2}x\ \mathrm{cm}$。
(1)若 $AB+AD=12\ \mathrm{cm}$,
则 $x+\frac{1}{2}x=12$,解得 $x=8$。
所以 $AB=AC=8\ \mathrm{cm},DC=4\ \mathrm{cm}$,
故 $BC=15-4=11(\mathrm{cm})$。
此时,$AB+AC＞BC$,三角形存在。
所以$△ABC$的三边长分别为 8 cm,8 cm,11 cm。
(2)若 $AB+AD=15\ \mathrm{cm}$,则 $x+\frac{1}{2}x=15$,
解得 $x=10$,所以 $AB=AC=10\ \mathrm{cm},DC=5\ \mathrm{cm}$,
故 $BC=12-5=7(\mathrm{cm})$。
此时,$AB+AC＞BC$,三角形存在。
所以$△ABC$的三边长分别为 10 cm,10 cm,7 cm。
综上所述,$△ABC$的三边长分别为 8 cm,8 cm,11 cm 或 10 cm,10 cm,7 cm。
(1)若 $AB+AD=12\ \mathrm{cm}$,
则 $x+\frac{1}{2}x=12$,解得 $x=8$。
所以 $AB=AC=8\ \mathrm{cm},DC=4\ \mathrm{cm}$,
故 $BC=15-4=11(\mathrm{cm})$。
此时,$AB+AC＞BC$,三角形存在。
所以$△ABC$的三边长分别为 8 cm,8 cm,11 cm。
(2)若 $AB+AD=15\ \mathrm{cm}$,则 $x+\frac{1}{2}x=15$,
解得 $x=10$,所以 $AB=AC=10\ \mathrm{cm},DC=5\ \mathrm{cm}$,
故 $BC=12-5=7(\mathrm{cm})$。
此时,$AB+AC＞BC$,三角形存在。
所以$△ABC$的三边长分别为 10 cm,10 cm,7 cm。
综上所述,$△ABC$的三边长分别为 8 cm,8 cm,11 cm 或 10 cm,10 cm,7 cm。
解析
【分析】
本题是等腰三角形周长相关的计算问题，解题时首先明确BD是AC边上的中线，因此AD=DC=$\frac{1}{2}$AC。题目仅说明BD把周长分为12cm和15cm两部分，未明确哪部分是AB+AD的和，哪部分是BC+CD的和，因此需要分两种情况分类讨论。计算出各边长度后，还需要根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）验证所得的三边长能否构成三角形，排除不符合条件的解。
【解析】
设 $AB=AC=x\ \mathrm{cm}$，因为BD是AC边上的中线，所以 $AD=DC=\frac{1}{2}x\ \mathrm{cm}$。
(1)若 $AB+AD=12\ \mathrm{cm}$，
则 $x+\frac{1}{2}x=12$，解得 $x=8$。
所以 $AB=AC=8\ \mathrm{cm},DC=4\ \mathrm{cm}$，
故 $BC=15-4=11(\mathrm{cm})$。
此时验证三边关系：$AB+AC=8+8=16＞11=BC$，满足三角形三边关系，三角形存在。
所以$△ ABC$的三边长分别为 8 cm,8 cm,11 cm。
(2)若 $AB+AD=15\ \mathrm{cm}$，则 $x+\frac{1}{2}x=15$，
解得 $x=10$，所以 $AB=AC=10\ \mathrm{cm},DC=5\ \mathrm{cm}$，
故 $BC=12-5=7(\mathrm{cm})$。
此时验证三边关系：$AB+AC=10+10=20＞7=BC$，满足三角形三边关系，三角形存在。
所以$△ ABC$的三边长分别为 10 cm,10 cm,7 cm。
综上所述，$△ ABC$的三边长分别为 8 cm,8 cm,11 cm 或 10 cm,10 cm,7 cm。
【答案】
$△ ABC$的三边长为8 cm，8 cm，11 cm或10 cm，10 cm，7 cm
【知识点】
等腰三角形的性质；分类讨论思想；三角形三边关系
【点评】
本题的易错点是忽略两种情况的分类讨论，或者计算后忘记验证三角形三边关系导致出现错误解，解题时要注意逻辑的严谨性，考虑所有可能的情况。
【难度系数】
0.6
本题是等腰三角形周长相关的计算问题，解题时首先明确BD是AC边上的中线，因此AD=DC=$\frac{1}{2}$AC。题目仅说明BD把周长分为12cm和15cm两部分，未明确哪部分是AB+AD的和，哪部分是BC+CD的和，因此需要分两种情况分类讨论。计算出各边长度后，还需要根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）验证所得的三边长能否构成三角形，排除不符合条件的解。
【解析】
设 $AB=AC=x\ \mathrm{cm}$，因为BD是AC边上的中线，所以 $AD=DC=\frac{1}{2}x\ \mathrm{cm}$。
(1)若 $AB+AD=12\ \mathrm{cm}$，
则 $x+\frac{1}{2}x=12$，解得 $x=8$。
所以 $AB=AC=8\ \mathrm{cm},DC=4\ \mathrm{cm}$，
故 $BC=15-4=11(\mathrm{cm})$。
此时验证三边关系：$AB+AC=8+8=16＞11=BC$，满足三角形三边关系，三角形存在。
所以$△ ABC$的三边长分别为 8 cm,8 cm,11 cm。
(2)若 $AB+AD=15\ \mathrm{cm}$，则 $x+\frac{1}{2}x=15$，
解得 $x=10$，所以 $AB=AC=10\ \mathrm{cm},DC=5\ \mathrm{cm}$，
故 $BC=12-5=7(\mathrm{cm})$。
此时验证三边关系：$AB+AC=10+10=20＞7=BC$，满足三角形三边关系，三角形存在。
所以$△ ABC$的三边长分别为 10 cm,10 cm,7 cm。
综上所述，$△ ABC$的三边长分别为 8 cm,8 cm,11 cm 或 10 cm,10 cm,7 cm。
【答案】
$△ ABC$的三边长为8 cm，8 cm，11 cm或10 cm，10 cm，7 cm
【知识点】
等腰三角形的性质；分类讨论思想；三角形三边关系
【点评】
本题的易错点是忽略两种情况的分类讨论，或者计算后忘记验证三角形三边关系导致出现错误解，解题时要注意逻辑的严谨性，考虑所有可能的情况。
【难度系数】
0.6
