1. 若$x_1$，$x_2$是方程$x^2 -4=0$的两根，则$x_1 + x_2$的值是()。


B.4
C.2
D.0

1. D

【分析】
要计算一元二次方程两根之和，有两种常用解题思路：思路一：利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解，无需算出具体的根，只需确定方程的二次项系数$a$、一次项系数$b$，代入公式$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$即可快速计算；思路二：先解出方程的两个根，再直接相加求和，适合用来验证结果。本题方程无一次项，一次项系数为0，用韦达定理计算十分简便。
【解析】
方法1（韦达定理法）：
一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），对比方程$x^2-4=0$，可得$a=1$，$b=0$，$c=-4$。
根据根与系数的关系，两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，代入数值得：$x_1+x_2=-\frac{0}{1}=0$。
方法2（直接求根法）：
解方程$x^2-4=0$，移项得$x^2=4$，开方得$x_1=2$，$x_2=-2$，
因此$x_1+x_2=2+(-2)=0$。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题，两种方法都能快速得到答案，重点考查韦达定理的应用，熟练掌握韦达定理公式可以大幅提升这类题的解题效率。
【难度系数】
0.9

2. 已知$x_1$，$x_2$是关于$x$的方程$x^2+ax-2b=0$的两个实数根，且$x_1+x_2=-2$，$x_1x_2=1$，则$b^a$的值是().

A.$\frac{1}{4}$
B.$-\frac{1}{4}$
C.$4$
D.$-1$

解：根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：
对于方程 $x^2 + ax - 2b = 0$，有
$x_1 + x_2 = -a, \quad x_1x_2 = -2b$
结合已知条件 $x_1+x_2=-2$，$x_1x_2=1$，可得：
$-a = -2 \implies a=2$
$-2b = 1 \implies b=-\frac{1}{2}$
因此计算 $b^a$：
$b^a = (-\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$
答案：$\frac{1}{4}$，对应选项A。

【分析】
解题时先观察题干特征：已知一元二次方程的两个实数根的和与积，优先考虑用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解。第一步：先根据给定方程的形式，对应写出两根之和、两根之积与方程系数的关系式；第二步：将已知的两根和、两根积的数值代入关系式，分别求出参数a、b的值；第三步：把a、b的值代入$b^a$计算，即可得到最终结果。
【解析】
根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），对于方程$x^2 + ax - 2b = 0$，若$x_1$、$x_2$是它的两个实数根，则：
$x_1 + x_2 = -a$，$x_1x_2 = -2b$
结合已知条件$x_1+x_2=-2$，$x_1x_2=1$，列等式求解：
由$-a = -2$，解得$a=2$；
由$-2b = 1$，解得$b=-\frac{1}{2}$。
将$a=2$、$b=-\frac{1}{2}$代入$b^a$计算：
$b^a = (-\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 代数式求值
【点评】
本题是基础题型，主要考查韦达定理的直接应用，解题时只要准确掌握根与系数的对应关系，注意计算过程中的符号问题，就能轻松求出结果。
【难度系数】
0.8

3. 已知一元二次方程$x^2 - 3x + 2 = 0$的两根分别为$x_1$，$x_2$，则下列结论错误的是().

A.$x_1 + x_2 = 3$
B.$x_1 x_2 = 2$
C.$(x_1 - x_2)^2 = 1$
D.$x_1^2 + x_2^2 = 6$

3. D

【分析】
这是一道考查一元二次方程根与系数关系（韦达定理）的基础题，解题思路如下：首先回忆一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两根$x_1$、$x_2$满足$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$，可先直接判断A、B选项的正误；对于涉及两根平方相关的C、D选项，利用完全平方公式将代数式变形为用$x_1+x_2$和$x_1x_2$表示的形式，代入数值计算后判断正误，最终选出错误结论即可，也可直接求解方程得到两根后代入选项验证。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 - 3x + 2 = 0$，其中$a=1$，$b=-3$，$c=2$。
根据根与系数的关系，两根$x_1$、$x_2$满足：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}=3$，$x_1x_2=\frac{c}{a}=2$，因此A、B选项结论正确，不符合题意。
验证剩余选项：
C选项：根据完全平方公式变形可得$(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2$，代入数值得$3^2 - 4×2=9-8=1$，结论正确，不符合题意。
D选项：根据完全平方公式变形可得$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$，代入数值得$3^2 - 2×2=9-4=5≠6$，结论错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 完全平方公式变形应用
【点评】
本题属于基础题，重点考查韦达定理的应用以及代数式的恒等变形，熟练掌握根与系数的关系和完全平方公式的变形规则即可快速解题。
【难度系数】
0.8

4. 若a，b是方程$x^2 + 2026x - 2027 = 0$的两个实数根，则$a^2 + 2027a + b - ab$的值为。

4. 2 028

【分析】
本题可通过两步思路求解：① 利用一元二次方程根的定义，将x=a代入原方程得到a²的表达式，替换所求代数式中的二次项a²实现降次，化简代数式；② 结合一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），求出两根之和a+b与两根之积ab的值，整体代入化简后的代数式计算即可，无需单独求解a、b的具体值，简化计算过程。
【解析】
解：
∵ a是方程$x^2 + 2026x - 2027 = 0$的实数根
∴ 将x=a代入方程得：$a^2 + 2026a - 2027 = 0$，整理得$a^2 = -2026a + 2027$
将$a^2 = -2026a + 2027$代入$a^2 + 2027a + b - ab$得：
$\begin{aligned}原式 &= (-2026a + 2027) + 2027a + b - ab \\&= a + b + 2027 - ab\end{aligned}$
∵ a、b是方程$x^2 + 2026x - 2027 = 0$的两个实数根，根据根与系数的关系可得：
$a + b = -2026$，$ab = -2027$
将$a + b = -2026$，$ab = -2027$代入上式：
$\begin{aligned}原式 &= -2026 + 2027 - (-2027) \\&= 1 + 2027 \\&= 2028\end{aligned}$
【答案】
2028
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系；代数式化简求值
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的典型应用题型，核心考查整体代入的数学思想，解题的关键是灵活运用方程根的定义对高次项降次，再结合韦达定理整体代入计算，避开了直接求解方程根的繁琐运算。
【难度系数】
0.7

5. 已知关于$x$的方程$3x^2 +kx -2=0$的一个根为2，求它的另一个根及$k$的值.

设该方程的另一个根为$m$，根据根与系数的关系得$2m=-\frac{2}{3}$，$2+m=-\frac{k}{3}$，解得$m=-\frac{1}{3}$，$k=-5$。故方程的另一个根为$-\frac{1}{3}$，$k$的值为$-5$。

【分析】
已知一元二次方程的一个根，求另一根及参数的值有两种常见思路：思路一：利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），设另一根为m，先通过两根之积的关系直接求出m，再通过两根之和的关系求出k的值，计算更简便；思路二：先将已知根x=2代入原方程求出k的值，再将k代入方程求解得到另一根，本题推荐使用思路一解题。
【解析】
解：设该方程的另一个根为$m$，
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1,x_2$，则有$x_1x_2=\frac{c}{a}$，$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。
本题中方程为$3x^2 +kx -2=0$，其中$a=3$，$b=k$，$c=-2$，已知一个根为2，另一个根为m，根据根与系数的关系得：
$2m=\frac{-2}{3}$，
解得$m=-\frac{1}{3}$；
再根据两根之和的关系：$2+m=-\frac{k}{3}$，
将$m=-\frac{1}{3}$代入上式：$2-\frac{1}{3}=-\frac{k}{3}$，
计算得$\frac{5}{3}=-\frac{k}{3}$，解得$k=-5$。
【答案】
方程的另一个根为$-\frac{1}{3}$，$k$的值为$-5$。
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系；2. 一元一次方程的解法
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的基础应用题型，熟练掌握韦达定理可大幅提升解题效率，已知一元二次方程一根求参数及另一根是常考基础考点，解题时需注意公式中各项的符号，避免代入出错。
【难度系数】
0.8

6. 设$x_1$，$x_2$是方程$2x^2 +4x -3=0$的两个根，求下列各式的值.
(1)$(x_1+1)(x_2+1)$；
(2)$\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}$；
(3)$|x_1 -x_2|$.

(1)由根与系数的关系得$x_1+x_2=-2$，$x_1x_2=-\frac{3}{2}$。原式$=x_1x_2+(x_1+x_2)+1=-\frac{5}{2}$。
(2)原式$=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}=\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}=-\frac{14}{3}$。
(3)原式$=\sqrt{(x_1-x_2)^2}=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=\sqrt{10}$。

【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系的应用，解题时无需直接求解方程的两根，按以下思路推导即可：①先根据一元二次方程的一般式求出两根之和$x_1+x_2$与两根之积$x_1x_2$；②将每个待求代数式通过恒等变形，转化为仅含有$x_1+x_2$和$x_1x_2$的形式：(1)利用多项式乘法展开即可出现两根和与两根积；(2)先通分，再将分子利用完全平方公式变形为$(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$；(3)利用绝对值性质，将$|x_1-x_2|$转化为$\sqrt{(x_1-x_2)^2}$，再用完全平方公式变形为$\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}$；③最后代入两根和与两根积的数值计算即可。
【解析】
对于一元二次方程$2x^2+4x-3=0$，其中$a=2$，$b=4$，$c=-3$，根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{4}{2}=-2$，$x_1x_2=\frac{c}{a}=-\frac{3}{2}$。
(1) 展开原式：
$(x_1+1)(x_2+1)=x_1x_2+x_1+x_2+1=x_1x_2+(x_1+x_2)+1$
代入数值计算：
原式$=-\frac{3}{2}+(-2)+1=-\frac{5}{2}$
(2) 对原式通分变形：
$\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}=\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}$
代入数值计算：
分子$=(-2)^2-2×(-\frac{3}{2})=4+3=7$
原式$=\frac{7}{-\frac{3}{2}}=-\frac{14}{3}$
(3) 结合绝对值和平方的性质变形：
$|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1-x_2)^2}=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}$
代入数值计算：
根号内部分$=(-2)^2-4×(-\frac{3}{2})=4+6=10$
原式$=\sqrt{10}$
【答案】
(1)$-\frac{5}{2}$；(2)$-\frac{14}{3}$；(3)$\sqrt{10}$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系；2. 代数式恒等变形；3. 完全平方公式应用
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题型，通过将目标代数式转化为含两根之和、两根之积的形式代入计算，避免了直接求解方程根的复杂运算，核心是掌握常见代数式的变形技巧。
【难度系数】
0.75