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1. 设$x_1$，$x_2$是一元二次方程$3x^2 + 2x - 1 = 0$的两个根，则$x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2 =$
$\frac{2}{9}$
。答案
1. $\frac{2}{9}$
解析
【分析】
所求代数式是关于一元二次方程两根的对称式，无需直接求解方程的根，可利用根与系数的关系简化计算。解题思路为：第一步先对所求代数式因式分解，转化为含$x_1+x_2$和$x_1x_2$的形式；第二步根据方程系数求出两根之和与两根之积；第三步代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：已知一元二次方程$3x^2 + 2x - 1 = 0$中，二次项系数$a=3$，一次项系数$b=2$，常数项$c=-1$。
根据一元二次方程根与系数的关系，两根$x_1$、$x_2$满足：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{2}{3}$，
$x_1 x_2 = \frac{c}{a} = -\frac{1}{3}$。
对所求代数式提取公因式因式分解可得：
$x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2 = x_1 x_2 (x_1 + x_2)$
将$x_1 + x_2$和$x_1 x_2$的数值代入得：
原式$=(-\frac{1}{3}) × (-\frac{2}{3}) = \frac{2}{9}$
【答案】
$\frac{2}{9}$
【知识点】
1.一元二次方程根与系数的关系 2.因式分解 3.代数式求值
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题型，解题核心是将目标代数式转化为两根之和与两根之积的组合形式，可避免解方程的繁琐计算，属于该考点的常考基础题。
【难度系数】
0.85
所求代数式是关于一元二次方程两根的对称式，无需直接求解方程的根，可利用根与系数的关系简化计算。解题思路为：第一步先对所求代数式因式分解，转化为含$x_1+x_2$和$x_1x_2$的形式；第二步根据方程系数求出两根之和与两根之积；第三步代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：已知一元二次方程$3x^2 + 2x - 1 = 0$中，二次项系数$a=3$，一次项系数$b=2$，常数项$c=-1$。
根据一元二次方程根与系数的关系，两根$x_1$、$x_2$满足：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{2}{3}$，
$x_1 x_2 = \frac{c}{a} = -\frac{1}{3}$。
对所求代数式提取公因式因式分解可得：
$x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2 = x_1 x_2 (x_1 + x_2)$
将$x_1 + x_2$和$x_1 x_2$的数值代入得：
原式$=(-\frac{1}{3}) × (-\frac{2}{3}) = \frac{2}{9}$
【答案】
$\frac{2}{9}$
【知识点】
1.一元二次方程根与系数的关系 2.因式分解 3.代数式求值
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题型，解题核心是将目标代数式转化为两根之和与两根之积的组合形式，可避免解方程的繁琐计算，属于该考点的常考基础题。
【难度系数】
0.85
2. 已知$x_1$，$x_2$是一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两个根。
求证$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$。
求证$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$。
答案
由根与系数关系得$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$，$\therefore a(x-x_1)(x-x_2)=a[x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2]=a(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a})=ax^2+bx+c$，故$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$。
解析
【分析】
要证明等式左右两边的代数式相等，可从结构更复杂的右侧入手推导：首先利用多项式乘法法则将$(x-x_1)(x-x_2)$展开，再结合一元二次方程根与系数的关系，把两根之和、两根之积用含a、b、c的式子替换，最后化简后和左侧的$ax^2+bx+c$对比，若二者完全一致即可完成证明。
【解析】
证明：
∵$x_1$，$x_2$是一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两个根，
根据根与系数的关系可得：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
对右侧代数式展开化简：
$\begin{aligned}a(x-x_1)(x-x_2)&=a[x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2]\\&=a(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a})\\&=ax^2+bx+c\end{aligned}$
右侧化简结果与左侧代数式完全相同，因此等式成立。
【答案】
$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$得证
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 多项式乘法运算
【点评】
本题是韦达定理的基础应用题型，通过推导二次三项式的因式分解形式，明确了一元二次方程的根与二次三项式因式分解的内在联系，解题核心是熟练掌握韦达定理的内容和整式运算规则。
【难度系数】
0.8
要证明等式左右两边的代数式相等，可从结构更复杂的右侧入手推导：首先利用多项式乘法法则将$(x-x_1)(x-x_2)$展开，再结合一元二次方程根与系数的关系，把两根之和、两根之积用含a、b、c的式子替换，最后化简后和左侧的$ax^2+bx+c$对比，若二者完全一致即可完成证明。
【解析】
证明：
∵$x_1$，$x_2$是一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两个根，
根据根与系数的关系可得：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
对右侧代数式展开化简：
$\begin{aligned}a(x-x_1)(x-x_2)&=a[x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2]\\&=a(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a})\\&=ax^2+bx+c\end{aligned}$
右侧化简结果与左侧代数式完全相同，因此等式成立。
【答案】
$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$得证
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 多项式乘法运算
【点评】
本题是韦达定理的基础应用题型，通过推导二次三项式的因式分解形式，明确了一元二次方程的根与二次三项式因式分解的内在联系，解题核心是熟练掌握韦达定理的内容和整式运算规则。
【难度系数】
0.8
3. 已知关于$x$的一元二次方程$x^2 + (2k + 3)x + k^2 = 0$有两个不相等的实数根$x_1$，$x_2$。
(1)求$k$的取值范围；
(2)若$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = -1$，求$k$的值。
(1)求$k$的取值范围；
(2)若$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = -1$，求$k$的值。
答案
(1)依题意，$\Delta=(2k+3)^2-4×1× k^2=12k+9＞0$，$\therefore k＞-\frac{3}{4}$。
(2)由根与系数关系得$x_1+x_2=-(2k+3)$，$x_1x_2=k^2$，$\therefore \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{-(2k+3)}{k^2}=-1$，解得$k_1=3$，$k_2=-1$。经检验，$k_1=3$，$k_2=-1$都是方程的解。又$\because k＞-\frac{3}{4}$，$\therefore k=3$。
(2)由根与系数关系得$x_1+x_2=-(2k+3)$，$x_1x_2=k^2$，$\therefore \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{-(2k+3)}{k^2}=-1$，解得$k_1=3$，$k_2=-1$。经检验，$k_1=3$，$k_2=-1$都是方程的解。又$\because k＞-\frac{3}{4}$，$\therefore k=3$。
解析
【分析】
（1）已知一元二次方程有两个不相等的实数根，根据根的判别式的性质，当Δ＞0时方程有两个不相等的实数根，因此只需计算该方程的判别式，令其大于0，解不等式即可得到k的取值范围，本题二次项系数为1，无需考虑二次项系数为0的情况。
（2）对于所求的两根倒数和，先通过通分将其变形为用两根之和、两根之积表示的形式，再利用根与系数的关系（韦达定理）写出两根之和与两根之积关于k的表达式，代入变形后的等式求解k，最后结合（1）中得到的k的取值范围，舍去不符合条件的解即可。
【解析】
(1) 依题意，方程有两个不相等的实数根，因此判别式$\Delta＞0$：
$\Delta=(2k+3)^2-4×1× k^2=12k+9$
令$12k+9＞0$，解得$k＞-\frac{3}{4}$。
(2) 根据根与系数的关系得：
$x_1+x_2=-(2k+3)$，$x_1x_2=k^2$
对$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$通分得：
$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}$
代入$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=-1$得：
$\frac{-(2k+3)}{k^2}=-1$
整理得$k^2-2k-3=0$，解得$k_1=3$，$k_2=-1$。
经检验$k_1=3$、$k_2=-1$都是上述分式方程的解，结合(1)中$k＞-\frac{3}{4}$的取值范围，舍去$k=-1$，因此$k=3$。
【答案】
(1) $k＞-\frac{3}{4}$；(2) $k=3$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系
3. 分式方程验根
【点评】
本题是一元二次方程的典型综合题，解题核心是熟练掌握根的判别式的意义和韦达定理的应用，需要注意求出参数值后要结合前提条件验证，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
（1）已知一元二次方程有两个不相等的实数根，根据根的判别式的性质，当Δ＞0时方程有两个不相等的实数根，因此只需计算该方程的判别式，令其大于0，解不等式即可得到k的取值范围，本题二次项系数为1，无需考虑二次项系数为0的情况。
（2）对于所求的两根倒数和，先通过通分将其变形为用两根之和、两根之积表示的形式，再利用根与系数的关系（韦达定理）写出两根之和与两根之积关于k的表达式，代入变形后的等式求解k，最后结合（1）中得到的k的取值范围，舍去不符合条件的解即可。
【解析】
(1) 依题意，方程有两个不相等的实数根，因此判别式$\Delta＞0$：
$\Delta=(2k+3)^2-4×1× k^2=12k+9$
令$12k+9＞0$，解得$k＞-\frac{3}{4}$。
(2) 根据根与系数的关系得：
$x_1+x_2=-(2k+3)$，$x_1x_2=k^2$
对$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$通分得：
$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}$
代入$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=-1$得：
$\frac{-(2k+3)}{k^2}=-1$
整理得$k^2-2k-3=0$，解得$k_1=3$，$k_2=-1$。
经检验$k_1=3$、$k_2=-1$都是上述分式方程的解，结合(1)中$k＞-\frac{3}{4}$的取值范围，舍去$k=-1$，因此$k=3$。
【答案】
(1) $k＞-\frac{3}{4}$；(2) $k=3$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系
3. 分式方程验根
【点评】
本题是一元二次方程的典型综合题，解题核心是熟练掌握根的判别式的意义和韦达定理的应用，需要注意求出参数值后要结合前提条件验证，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
