4. 已知关于$x$的一元二次方程$x^2 + k^2 + 2k = (2k + 1)x$有两个实数根$x_1$，$x_2$.
(1)求$k$的取值范围.
(2)是否存在$k$，使$x_1x_2 - x_1^2 - x_2^2 ≥ 0$成立？若存在，请求出$k$的值；若不存在，请说明理由.

(1)原方程整理为$x^2-(2k+1)x+k^2+2k=0$。依题意，$\Delta=[-(2k+1)]^2-4×1×(k^2+2k)=-4k+1\ge0$，解得$k\le\frac{1}{4}$。
(2)由(1)得，当$k\le\frac{1}{4}$时，根据根与系数关系可知$x_1+x_2=2k+1$，$x_1x_2=k^2+2k$。若$x_1x_2 -x_1^2 -x_2^2\ge0$，则$3(k^2+2k)-(2k+1)^2\ge0$，整理得$(k-1)^2\le0$，得$k=1$，与$k\le\frac{1}{4}$矛盾，故不存在实数$k$，使$x_1x_2 -x_1^2 -x_2^2\ge0$。

【分析】
(1) 求解一元二次方程参数取值范围时，首先将方程整理为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一般形式，再根据“方程有两个实数根则判别式$\Delta=b^2-4ac≥0$”列不等式，解不等式即可得到$k$的取值范围。
(2) 判断是否存在满足条件的$k$时，先利用完全平方公式将待求不等式中的$x_1^2+x_2^2$变形为$(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$，化简不等式后，结合根与系数的关系求出$x_1+x_2$和$x_1x_2$的表达式，代入不等式求出$k$的可能值，最后结合第(1)问的$k$的取值范围验证即可。
【解析】
(1) 将原方程移项整理为一般形式：
$x^2-(2k+1)x+k^2+2k=0$
∵ 方程有两个实数根，
∴ 判别式$\Delta\ge0$，代入$a=1,b=-(2k+1),c=k^2+2k$得：
$\Delta=[-(2k+1)]^2-4×1×(k^2+2k)=4k^2+4k+1-4k^2-8k=-4k+1\ge0$
解不等式得：$k\le\frac{1}{4}$。
(2) 不存在，理由如下：
根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=2k+1$，$x_1x_2=k^2+2k$
将不等式$x_1x_2 -x_1^2 -x_2^2\ge0$变形：
$x_1x_2-[(x_1+x_2)^2-2x_1x_2]\ge0$，整理得$3x_1x_2-(x_1+x_2)^2\ge0$
代入$x_1+x_2$、$x_1x_2$的表达式得：
$3(k^2+2k)-(2k+1)^2\ge0$
展开化简得：$-k^2+2k-1\ge0$，即$(k-1)^2\le0$
由平方的非负性可知仅当$k=1$时不等式成立，
但$k=1$不满足第(1)问$k\le\frac{1}{4}$的取值范围，故不存在符合条件的实数$k$。
【答案】
(1) $k\le\frac{1}{4}$；(2) 不存在，理由见解析。
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系
3. 完全平方公式变形
【点评】
本题是一元二次方程相关知识的综合应用题型，既考查了根的判别式、韦达定理的基础应用，也考查了代数式变形能力，解题时需注意所求参数要同时满足判别式的要求，避免遗漏限制条件出错。
【难度系数】
0.6

1. 综合实践.
探究主题 一元二次方程根的判别式拓展探究
探究情境 在学习一元二次方程根的判别式时，小明同学解答几道习题后，表示自己发现了判断一类方程有无实数根的一种简易方法并提出了猜想：“若一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的二次项系数$a$和常数项$c$异号（即两数为一正一负），那么这个方程一定有两个不相等的实数根.”请你结合所学知识，对小明的猜想进行探究.
实例验证 (1)解满足以下条件的一元二方程，验证小明的猜想：
①当$a＞0$，$c＜0$时，例如$x^2+x-2=0$，此方程的解是；
②当$a＜0$，$c＞0$时，例如$-x^2-2x+3=0$，此方程的解是；
这两个实例可以验证小明的猜想（填“正确”或“错误”）.
严谨证明 (2)小明的猜想是否正确？若正确，请给予证明；否则，请举出反例.
拓展延伸 (3)已知关于$x$的一元二次方程$(m-1)x^2+2mx+(m+2)=0$，其中$m$为整数，满足二次项系数和常数项异号，求$m$的值及方程的解.

1. (1)①$x_1=1$，$x_2=-2$ ②$x_1=1$，$x_2=-3$ 正确
(2)正确。$\because$一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的二次项系数$a$和常数项$c$异号，$\therefore ac＜0$，$-4ac＞0$。$\because b^2\ge0$，$\therefore b^2-4ac＞0$，故这个方程有两个不相等的实数根。
(3)依题意，$(m-1)(m+2)＜0$，且$(m-1)≠0$，$\therefore -2＜m＜1$。又$\because m$为整数，$\therefore m=-1$或$0$。当$m=-1$时，方程为$-2x^2-2x+1=0$，解得$x_1=\frac{-1+\sqrt{3}}{2}$，$x_2=\frac{-1-\sqrt{3}}{2}$；当$m=0$时，方程为$-x^2+2=0$，解得$x_1=\sqrt{2}$，$x_2=-\sqrt{2}$。

【分析】
本题围绕一元二次方程根的判别式展开分层探究，解题思路如下：1. 实例验证部分：通过因式分解法求解给出的两个一元二次方程，观察根的数量和特征，初步判断猜想是否成立；2. 严谨证明部分：结合根的判别式$\Delta = b^2-4ac$的性质，利用$a$和$c$异号的条件推导$\Delta$的正负性，即可从理论层面证明猜想；3. 拓展延伸部分：先根据“二次项系数和常数项异号”列乘积小于0的不等式，结合一元二次方程二次项系数不为0的要求，确定整数$m$的取值，再将$m$的取值分别代入原方程求解即可。
【解析】
(1)①解方程$x^2+x-2=0$，因式分解得$(x+2)(x-1)=0$，解得$x_1=1$，$x_2=-2$；
②解方程$-x^2-2x+3=0$，两边同乘$-1$整理得$x^2+2x-3=0$，因式分解得$(x+3)(x-1)=0$，解得$x_1=1$，$x_2=-3$；
两个方程都有两个不相等的实数根，因此小明的猜想正确。
(2)小明的猜想正确，证明如下：
已知一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$中$a$和$c$异号，因此$ac＜0$，可得$-4ac＞0$。又因为任意实数的平方都是非负数，即$b^2≥0$，因此根的判别式$\Delta = b^2-4ac＞0$，所以该方程一定有两个不相等的实数根，猜想成立。
(3)依题意，二次项系数为$m-1$，常数项为$m+2$，二者异号，且一元二次方程二次项系数不为0，因此列条件：$\begin{cases}(m-1)(m+2)＜0 \\ m-1≠0\end{cases}$。
分析不等式$(m-1)(m+2)＜0$：两个因式乘积为负，说明两因式一正一负，分情况讨论：
①$\begin{cases}m-1＞0 \\ m+2＜0\end{cases}$，无解；
②$\begin{cases}m-1＜0 \\ m+2＞0\end{cases}$，解得$-2＜m＜1$。
因为$m$为整数，所以$m=-1$或$m=0$。
当$m=-1$时，代入原方程得$-2x^2-2x+1=0$，即$2x^2+2x-1=0$，由求根公式得$x=\frac{-2\pm\sqrt{4+8}}{4}=\frac{-1\pm\sqrt{3}}{2}$，即$x_1=\frac{-1+\sqrt{3}}{2}$，$x_2=\frac{-1-\sqrt{3}}{2}$；
当$m=0$时，代入原方程得$-x^2+2=0$，移项得$x^2=2$，解得$x_1=\sqrt{2}$，$x_2=-\sqrt{2}$。
【答案】
(1)①$x_1=1$，$x_2=-2$ ②$x_1=1$，$x_2=-3$ 正确
(2)正确。$\because$一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的二次项系数$a$和常数项$c$异号，$\therefore ac＜0$，$-4ac＞0$。$\because b^2\ge0$，$\therefore b^2-4ac＞0$，故这个方程有两个不相等的实数根。
(3)$m$的值为$-1$或$0$；当$m=-1$时，方程的解为$x_1=\frac{-1+\sqrt{3}}{2}$，$x_2=\frac{-1-\sqrt{3}}{2}$；当$m=0$时，方程的解为$x_1=\sqrt{2}$，$x_2=-\sqrt{2}$。
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 解一元二次方程
3. 不等式的应用
【点评】
本题从实例验证到理论证明再到拓展应用，层层递进考查一元二次方程的核心知识，既检验了基础运算能力，也锻炼了逻辑推理和分类讨论的数学思维，符合知识点考查的核心要求。
【难度系数】
0.7