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2. 阅读材料：
材料1：如果实数 $ p $，$ q $ 满足 $ p^2+p-1=0 $，$ q^2+q-1=0 $，且 $ p≠q $，可利用根的定义构造一元二次方程 $ x^2+x-1=0 $，将 $ p $，$ q $ 看作此方程的两个不相等的实数根。
材料2：关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2+mx-1=0 $，当 $ m=1 $ 时，该方程的正根称为黄金分割数。黄金分割数广泛用于建筑、艺术、设计、经济等多个领域。
根据上述材料回答下面的问题：
(1)已知实数 $ a $，$ b $ 满足 $ a^2+a-1=0 $，$ b^2+b-1=0 $，且 $ a≠b $，则 $ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}= $
(2)求黄金分割数；
(3)已知实数 $ m $，$ n $，$ t $ 满足：$ m^2-4m=11+t $，$ n^2-4n=11+t $，且 $ 0＜m＜n $，求 $ (m+1)(n+1) $ 的取值范围。
材料1：如果实数 $ p $，$ q $ 满足 $ p^2+p-1=0 $，$ q^2+q-1=0 $，且 $ p≠q $，可利用根的定义构造一元二次方程 $ x^2+x-1=0 $，将 $ p $，$ q $ 看作此方程的两个不相等的实数根。
材料2：关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2+mx-1=0 $，当 $ m=1 $ 时，该方程的正根称为黄金分割数。黄金分割数广泛用于建筑、艺术、设计、经济等多个领域。
根据上述材料回答下面的问题：
(1)已知实数 $ a $，$ b $ 满足 $ a^2+a-1=0 $，$ b^2+b-1=0 $，且 $ a≠b $，则 $ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}= $
1
；(2)求黄金分割数；
(3)已知实数 $ m $，$ n $，$ t $ 满足：$ m^2-4m=11+t $，$ n^2-4n=11+t $，且 $ 0＜m＜n $，求 $ (m+1)(n+1) $ 的取值范围。
答案
2. (1)1
(2)解方程$x^2+x-1=0$，解得$x_1=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$，$x_2=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$，$\therefore$黄金分割数为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
(3)依题意，$m$，$n$是一元二次方程$x^2-4x-11-t=0$的解，由根与系数的关系得$m+n=4$，$mn=-11-t$，$\therefore (m+1)(n+1)=mn+(m+n)+1=-t-6$。$\because 0＜m＜n$，$\therefore \Delta=16-4×1×(-11-t)＞0$，$mn=-11-t＞0$，解得$-15＜t＜-11$，$\therefore 5＜-t-6＜9$，故$5＜(m+1)(n+1)＜9$。
(2)解方程$x^2+x-1=0$，解得$x_1=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$，$x_2=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$，$\therefore$黄金分割数为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
(3)依题意，$m$，$n$是一元二次方程$x^2-4x-11-t=0$的解，由根与系数的关系得$m+n=4$，$mn=-11-t$，$\therefore (m+1)(n+1)=mn+(m+n)+1=-t-6$。$\because 0＜m＜n$，$\therefore \Delta=16-4×1×(-11-t)＞0$，$mn=-11-t＞0$，解得$-15＜t＜-11$，$\therefore 5＜-t-6＜9$，故$5＜(m+1)(n+1)＜9$。
解析
【分析】
(1) 根据材料1的构造思路，a、b满足相同结构的二次方程且a≠b，可将a、b看作一元二次方程$x^2+x-1=0$的两个不等实根，利用韦达定理得到$a+b$和$ab$的值，再将所求式子通分变形为$\frac{a+b}{ab}$后代入计算即可。
(2) 按照材料2的定义，当$m=1$时方程$x^2+mx-1=0$的正根为黄金分割数，先解该一元二次方程，再选取正根即可得到结果。
(3) 先将m、n满足的等式整理为同结构形式，可知m、n是一元二次方程$x^2-4x-(11+t)=0$的两个不等正根；先用韦达定理求出$m+n$和$mn$的表达式，展开$(m+1)(n+1)$得到关于t的代数式；再结合方程有两个不等正根的条件：判别式$\Delta＞0$、两根之积大于0，求出t的取值范围，最后换算得到所求式子的取值范围。
【解析】
(1) 由题意得，a、b是方程$x^2+x-1=0$的两个不相等的实数根，根据根与系数的关系：
$a+b=-1$，$ab=-1$
则$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{ab}=\frac{-1}{-1}=1$
(2) 根据材料2，当$m=1$时，一元二次方程为$x^2+x-1=0$，
代入求根公式得：$x=\frac{-1\pm\sqrt{1^2-4×1×(-1)}}{2×1}=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$
黄金分割数是该方程的正根，因此黄金分割数为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
(3) 将已知等式整理得：$m^2-4m-(11+t)=0$，$n^2-4n-(11+t)=0$，
结合$0＜m＜n$，可知m、n是一元二次方程$x^2-4x-(11+t)=0$的两个不等正实数根。
根据根与系数的关系得：$m+n=4$，$mn=-(11+t)$，
则$(m+1)(n+1)=mn+m+n+1=-(11+t)+4+1=-t-6$。
因为方程有两个不等正实根，因此满足：
① 判别式$\Delta=(-4)^2-4×1×[-(11+t)]＞0$，解得$t＞-15$；
② 两根之积$mn=-(11+t)＞0$，解得$t＜-11$。
综上t的取值范围为$-15＜t＜-11$，
不等式变形得$11＜-t＜15$，两边减6得$5＜-t-6＜9$，
即$5＜(m+1)(n+1)＜9$。
【答案】
(1) $\boxed{1}$；(2) $\boxed{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}$；(3) $\boxed{5＜(m+1)(n+1)＜9}$
【知识点】
根与系数的关系；一元二次方程的解法；根的判别式
【点评】
本题以阅读材料的形式考查一元二次方程的相关知识，需要先掌握材料中构造同根一元二次方程的方法，再结合韦达定理、判别式和不等式性质求解，侧重考查知识迁移能力和综合应用能力。
【难度系数】
0.6
(1) 根据材料1的构造思路，a、b满足相同结构的二次方程且a≠b，可将a、b看作一元二次方程$x^2+x-1=0$的两个不等实根，利用韦达定理得到$a+b$和$ab$的值，再将所求式子通分变形为$\frac{a+b}{ab}$后代入计算即可。
(2) 按照材料2的定义，当$m=1$时方程$x^2+mx-1=0$的正根为黄金分割数，先解该一元二次方程，再选取正根即可得到结果。
(3) 先将m、n满足的等式整理为同结构形式，可知m、n是一元二次方程$x^2-4x-(11+t)=0$的两个不等正根；先用韦达定理求出$m+n$和$mn$的表达式，展开$(m+1)(n+1)$得到关于t的代数式；再结合方程有两个不等正根的条件：判别式$\Delta＞0$、两根之积大于0，求出t的取值范围，最后换算得到所求式子的取值范围。
【解析】
(1) 由题意得，a、b是方程$x^2+x-1=0$的两个不相等的实数根，根据根与系数的关系：
$a+b=-1$，$ab=-1$
则$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{ab}=\frac{-1}{-1}=1$
(2) 根据材料2，当$m=1$时，一元二次方程为$x^2+x-1=0$，
代入求根公式得：$x=\frac{-1\pm\sqrt{1^2-4×1×(-1)}}{2×1}=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$
黄金分割数是该方程的正根，因此黄金分割数为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
(3) 将已知等式整理得：$m^2-4m-(11+t)=0$，$n^2-4n-(11+t)=0$，
结合$0＜m＜n$，可知m、n是一元二次方程$x^2-4x-(11+t)=0$的两个不等正实数根。
根据根与系数的关系得：$m+n=4$，$mn=-(11+t)$，
则$(m+1)(n+1)=mn+m+n+1=-(11+t)+4+1=-t-6$。
因为方程有两个不等正实根，因此满足：
① 判别式$\Delta=(-4)^2-4×1×[-(11+t)]＞0$，解得$t＞-15$；
② 两根之积$mn=-(11+t)＞0$，解得$t＜-11$。
综上t的取值范围为$-15＜t＜-11$，
不等式变形得$11＜-t＜15$，两边减6得$5＜-t-6＜9$，
即$5＜(m+1)(n+1)＜9$。
【答案】
(1) $\boxed{1}$；(2) $\boxed{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}$；(3) $\boxed{5＜(m+1)(n+1)＜9}$
【知识点】
根与系数的关系；一元二次方程的解法；根的判别式
【点评】
本题以阅读材料的形式考查一元二次方程的相关知识，需要先掌握材料中构造同根一元二次方程的方法，再结合韦达定理、判别式和不等式性质求解，侧重考查知识迁移能力和综合应用能力。
【难度系数】
0.6
